高中数学第十章 复数10.1 复数及其几何意义10.1.2 复数的几何意义学案设计

10.1.2  复数的几何意义

1.理解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．

2.掌握复数的几何意义，并能适当应用．

3.掌握复数模的定义及求模公式.

重点： 复平面、实轴、虚轴、共轭复数、复数的模等概念；

难点：复数的几何意义的简单应用；

新知自学

1．复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为       ．

在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，x轴称为    ，y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，y轴称为     ．

x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.

复平面;实轴;虚轴

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点        ．

(2)复数z＝a＋bi平面向量     .     Z(a，b)

3．复数的模、共轭复数

(1)复数的模

设＝a＋bi(a，b∈R)，则向量的长度叫做复数a＋bi的  

(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝         .

(2)共轭复数

①如果两个复数的实部    ，而虚部            ，则称这两个复数互为    复数．复数z的共轭复数用表示．

②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于    对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于    对称，则这两个复数互为共轭复数．

相等;互为相反数;共轭;实轴;实轴

一、    情境与问题

我们知道实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型，让我能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？
      一方面根据复数相等的定义，复数 被它的实部与虚部唯一确定,即复数被有序实数对 唯一确定；另一方面，有序实数对 在平面直角坐标系中对应着唯一的点 ，因此不难发现，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，

                     即复数点

       例如复数1对应的点为A（1,2）复数3对应的点为B（3,0）而点C（0，-1）对应的复数为，如图所示

建立了直角坐标系来表示复数的平面，也称为复平面， 轴上的点对应的都是实数，因此轴称为实轴， 轴上的点除了原点以外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称轴为虚轴

      设3与3在复平面内对应的点分别为A与B,则A,B两点，位置关系是怎样的？

一般地，当时，复数与在复平面内对应的点有什么位置关系？

        一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数的共轭复数用 表示，因此，当

       复数还有另外一种几何意义：因为平面直角坐标系中的点能唯一确定一个以原点O为始点， 为终点的向量所以复数也可以用向量来表示，这样以来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成集合之间建立一一对应关系，即

                    复数

         因此我们也就能借助向量来描述复数，一般的向量的长度称为复数的模（或绝对值），复数的模用表示，因此

      可以看出，当b=0时, 说明复数的模是实数绝对值概念的推广

例如，复数对应的向量复数对应的向量，因此有==
如图所示，

一般地两个共轭复数的模相等，即

试一试

1．已知a，b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是(　　)

A．关于x轴对称                        B．关于y轴对称

C．关于原点对称                        D．关于直线y＝x对称

2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限                           B．第二象限

C．第三象限                           D．第四象限

3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)

A．1或3            B．1              C．3     D．2

4．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________．

二、典例解析

例1 设复数在复平面内对应的点为，对应的向量为；复数在复平面内对应的点为，对应的向量为.已知与关于虚轴对称，求并判断与的大小关系.

例2.设复数z在复平面内对应的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示.

（1）；（2）.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上． (　　)

(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数． (　　)

(3)复数的模一定是正实数．(  )

2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为(　　)

A．(1，i)　     B．(1，－i)          C．(1,1)           D．(1，－1)

3．已知复数z＝3＋2i，则＝________；|z|＝________.

4．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)的模是2，则点(x，y)表示的图形是________．

5．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：

(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．

1．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．

(3)根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用下图表示：

2．复数的模

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；

(2)从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点Z和原点间的距离．

(3)互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称．

参考答案：

学习过程

试一试

1． B　[在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．]

2． C　[z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．]  

3．A　[依题意可得＝2，解得m＝1或m＝3.]

4． 5　[∵z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数，∴

∴z＝－4＋3i，∴|z|＝＝5.]

二、典例解析

例1【解】由题意可知，又因为与关于虚轴对称，所以，

从而有，

因此.

又因为，，

所以.

例2.【解】（1）由可知向量的长度等于2,，即点Z到原点的距离始终等于2，

因此点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆.如图（1）所示.

（2）不等式等价于不等式组.

又因为满足的点Z的集合，是圆心在原点、半径为3的圆及其内部，

而满足的点Z的集合，是圆心在原点、半径为1的圆的外部，

所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括外边界但不包括内边界）.如图（2）所示.

达标检测

1．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．D　[复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．]

3．3－2i　　[∵z＝3＋2i，∴＝3－2i，|z|＝＝.]

4． 以原点为圆心，以2为半径的圆　

[∵|z|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝8.则点(x，y)表示以原点为圆心，以2为半径的圆．]

5． [解]　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．

(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．

(2)当实数x满足即2＜x＜5时，点Z位于第四象限．

(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，

点Z位于直线x－y－3＝0上．