人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.3 复数的三角形式及其运算导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.3 复数的三角形式及其运算导学案，共6页。学案主要包含了学习重点，学习难点等内容，欢迎下载使用。


【学习重点】
复数的三角表示、复数乘法运算的三角表示及其几何意义
【学习难点】
复数乘法运算的三角表示及其几何意义
问题1：复数的三角形式定义
一般地，如果非负复数在复平面内对应点，且为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边地一个角，则

根据任意角余弦、正弦地定义可知：

因此：
从而
称为非零实数的三角形式（对应的称为复数的代数形式），
其中称为的
在［0，2π）内的辐角称为z的 ，记作
例1.写出复数z＝1+3i的三角形式.
例2.把下列复数的代数形式改写成三角形式
（1） （2） （3）
练习：
1.复数的三角形式为
2.复数化为三角形式
3.写出下列复数的辐角主值
（1） （2）
例3.将复数化为代数形式为
练习：
1.复数对应的点在第 象限
2.已知，则对应的点在第 象限
问题2：复数的乘法的三角表示及几何意义
设z1＝r1（cs θ1+isin θ1），z2＝r2（cs θ2+isin θ2），试求出z1z2.
由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：
r1（cs θ1+isin θ1）×r2（cs θ2+isin θ2）＝
注： 等于的模（简记：模相乘）， 是z1z2的辐角
（简记：辐角相加）
例如.×=
设对应的向量分别为，将绕原点旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为则对应的复数为，如图所示.
当时， ，当时，
因为，所以一个复数与i相乘，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转 ，如图所示.

上述两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘.
特别地，如果，则：

例5. 5csπ6+isin π6×2csπ4+isin π4=
练习：
1.计算：
（1）=
（2）=
2.设z为复数，且z的辐角主值为，z-2的辐角主值为，则复数z为
考点
学习目标
复数的三角形式
掌握复数的三角表示、复数的代数表示与三角表示之间的关系，辐角、辐角主值等概念
复数的乘法的三角表示及几何意义
掌握复数乘法，乘方的三角表示及几何意义