人教B版 (2019)必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法教案及反思

课程目标

学科素养

A. 理解复数的乘除运算法则；掌握共轭复数的运算性质，会进行复数的乘除运算；

B.会进行实系数一元二次方程在复数范围内的求解.

C.体会类比推理的思考方法，发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养

1.数学抽象：复数的乘法与除法运算法则；

2.逻辑推理：复数除法与乘法的关系；

3.数学运算：复数的乘法与除法运算；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情境与问题

复数的乘法

我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即时，有

而且，实数的正整数次幂满足，

, , ,

其中均为正整数,那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？

    设，，你认为的值与的值分别等于多少，由此尝试给出任意两个复数相乘的运算规则。
     一般地，设, ，称（或）为，并规定

（）（ ）

   这就是说,为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用即可。

二、例题解析

【例1】(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　)

A．5－4i     B．5＋4i       C．3－4i     D．3＋4i

(2)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于(　　)

A．－2－3i      B．－2＋3i     C．2－3i         D．2＋3i

(3)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.

(1)D　(2)C　(3)5－5i　[(1)由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.

(2)∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i.∴＝2－3i.故选C.

(3)(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.]

复数乘法运算的方法与常用公式

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；

(3)(1±i)2＝±2i.

跟踪训练1．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝_____________.

4＋3i或－4－3i　

[设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝＝5，即a2＋b2＝25，

z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.

∵z1·z2是纯虚数，∴解得或

∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.]

复数的除法
     我们知道，在实数中

下面我们按照类似的方法得到复数除法的定义

  如果复数 ,则满足复数为除以的商，

并记作在(或)
而且同以前一样，为被除数，为除数。

      利用复数除法的定义，可以证明当为非零复数时，有

设实数满足

利用方程组求的值，并思考是否有其他方法可以求出

 上述尝试与发现的式子可以改写为

为了求出的值，我们将上述等式右边看成一个分式，这样一来就只要想办法把变成一个

实数即可,注意到

因此，===

上面这种方法称为“分母实数化”

     一般的给定复数 称为的倒数，的商也可以看成与的倒数之积，显然，利用“分母实数化” 可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商（除数不能为零）

【例2】　＝(　　)

A．1＋I   B．1－I        C．－1＋I      D．－1－i

(2)i是虚数单位，复数＝(　　)

A．1－I     B．－1＋I     C.＋I      D．－＋i

(1)D　(2)A　[(1)法一：＝＝＝＝＝－1－i.故选D.

法二：＝(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．

(2)＝＝＝1－i，故选A．]

复数除法运算方法与常用公式

1．两个复数代数形式的除法运算方法

(1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.

跟踪训练2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)

A．＋i　 B．－I    C．－＋I  D．－－i

(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1     B．2            C.     D．

(1)B　(2)C　[(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．

∴z＝＝＝＝－i.

(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，

∴|z|＝＝.]

实系数一元二次方程在复数范围内的解集

我们已经知道虚数单位 是方程的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？如果实数，那么方程在复数范围内的解集是什么？

可以

例3.在复数范围内求方程的解集.

【解】因为，

所以原方程可以化为，从而可知或，

因此或，所求解集为.

实系数一元二次方程在复数范围内的解集

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ，b，c∈R且a≠0)在复数范围内总有解，而且

(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；

(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个          的虚数根

通过对实数乘法运算法则的的回顾，提出复数乘法运算问题，引导学生进行类比思考。发展学生逻辑推理和直观想象的核心素养。

通过联系实数的除法运算，类比复数的除法运算及其运算法则。发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养。

通过典例解析，加深对复数乘法与除法的理解，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理、直观想象的核心素养。

三、达标检测

1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝(　　)

A．4＋2i         B．2＋I        C．2＋2i        D．3

A　[z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3－i＋3i－i2＝4＋2i.]

2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

B　[由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限．]

3．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.

2　[因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.]

4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．

 [设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，所以所以a＝.]

5．计算：

(1)(1－i)(1＋i)；(2)；(3)(2－i)2.

[解]　(1)法一：(1－i)(1＋i)＝(1＋i)

＝(1＋i)＝＋i＋i＋i2＝－1＋i.

法二：原式＝(1－i)(1＋i)＝(1－i2)＝2＝－1＋i.

(2)＝＝

＝＝＝i.

(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，增强学生的数学运算、直观想象的核心素养。

四、小结

1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．

2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．

3．根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和．

4．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。