人教B版 (2019)必修 第四册9.1.2 余弦定理第1课时教案

9.1.2余弦定理（1）

本节内容是《解三角形》一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据.

【教学重点】

余弦定理的证明、余弦定理在解三角形中的简单应用

【教学难点】

余弦定理在解三角形中的应用

引入：

利用如图所示的现代测量工具，可以方便地测出3点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离和角。

例如，如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及的大小，你能根据这三个量求出AB吗？

情境中的问题可以转化为：已知和角，如何求

方法1：（向量法）

如图所示，注意到：

所以：，

而且，因此

又因为，因此：

类似地，可得：

这是余弦定理，三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍.

方法2：（坐标法）

如图以A为原点，AC为x轴建立平面直角坐标系，

则．所以

，

同理可证，

方法3：（几何法）

当A为锐角时，在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A，作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA

当A为直角时：由勾股定理，又

成立

当A为钝角同理可证.

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

总结：若中，C=，则，这时，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

例1.在中，已知，求

解：由余弦定理可知

因此

注：当已知三角形的两边及夹角时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SAS一致.

例2.在中，已知，求

解：由可得：

可解得：

又因为

注：已知三角形的3条边时，可以求出该三角形的3个角，而且该三角形也唯一确定，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SSS一致。

事实上，余弦定理可以改写成如下形式：

注：（1）熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等

（2）余弦定理的应用：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

（3）当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）

（4）变形：     

【变式练习】

 在△ABC中：

(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；

(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；

(3)已知a＝3，c＝2，B＝150°，求b；

(4)已知a＝2，b＝，c＝＋1，求A.

(5)已知在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，求角C.

解：(1)由a2＝b2＋c2－2bccosA得a2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a＝7.

(2)由cosB＝得  cosB＝＝0，∴B＝90°.

(3)由b2＝a2＋c2－2accosB得b2＝(3)2＋22－2×3×2cos150°＝49，∴b＝7.

(4)由cosA＝得cosA＝＝，∴A＝45°.

(5) 解：由余弦定理得  ()2＝12＋c2－2ccos60°，

∴c2－c－6＝0，   解得c1＝3，c2＝－2(舍去).∴c＝3.

例3. 边长为的三角形中，求最大角与最小角的和

解：不妨设5，7，8所对的角分别为A，B，C

由于5>7>8,

故C为最大角，A为最小角

由于，故

【变式练习】

1. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角.

解：∵＝＝＝k

∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶

设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k  (k＞0)

则最大角为C

cosC＝＝＝－

∴C＝120°.

2.在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.

解：设三角形的三边长分别为x，x＋1，x＋2，其中x∈N*，又设最小角为α，则

＝＝，∴cosα＝             ①

又由余弦定理可得

x2＝（x＋1）2＋（x＋2）2－2（x＋1）（x＋2）cosα    ②

将①代入②整理得x2－3x－4＝0  解之得x1＝4，x2＝－1（舍）

所以此三角形三边长为4，5，6.

例4.已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.

解：法一：由正弦定理得＝∴A1＝81.8°，A2＝98.2°∴C1＝38.2°，C2＝21.8°，

由＝，得c1＝3，c2＝5  ∴S△ABC＝ac1sinB＝6或S△ABC＝ac2sinB＝10

法二：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacosB   ∴72＝c2＋82－2×8×ccos60°

整理得：c2－8c＋15＝0  解之得：c1＝3，c2＝5，

∴S△ABC＝ac1sinB＝6，或S△ABC＝ac2sinB＝10.

注：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决.

【变式练习】

1.a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12，bc＝48，b-c＝2，求a．

 解：由S△ABC＝bcsinA，得12＝×48×sinA   ∴　sinA＝∴　A＝60°或A＝120°

　a2＝b2＋c2-2bccosA＝(b-c)2＋2bc(1-cosA)＝4＋2×48×(1-cosA)

　当A＝60°时，a2＝52，a＝2

　当A＝120°时，a2＝148，a＝2

2.在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，解此三角形.

解：由a2＝b2＋c2－2bccosA 得22＝()2＋c2－2ccos45°， c2－2c－2＝0

解得c＝1＋或c＝1－ (舍去)

∴c＝1＋，cosB＝＝＝. ∴B＝30°

C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.

小结：

1.余弦定理：

，，

2. 变形：     

3. 余弦定理的应用：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角