数学必修 第四册9.1.1 正弦定理第2课时导学案及答案

9.1.1  正弦定理及其应用（2）

1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题.

2.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.

通过正弦定理的灵活运用，提升学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.

重点：熟记正弦定理的有关变形公式．

难点：能结合正弦定理解决较为复杂的解三角形问题．

1.什么是正弦定理？

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 

即  

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；

（2）等价于，，

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

2.课前小测

1．思考辨析

(1)在△ABC中，等式b＝asin B总能成立．(　　)

(2)在△ABC中，若∠A＝30°，a＝2，b＝2，则B＝60°.(　　)

(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解．(　　)

2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　)

A．直角三角形　　　　　                       B．等腰三角形

C．锐角三角形                                 D．钝角三角形

3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)

A．一解                                       B．两解

C．无解                                       D．无法确定

一、探索与研究

1.已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导

出正弦定理．（提示：先考虑直角三角形）

2．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？

这些变形形式有什么功能？

二、例题解析

例5．在△ ABC中，已知，求证：△ ABC是直角三角形.

跟踪训练1.在△ABC中，若sin A＝2sin B，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.

母题探究：(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin B，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝a”其它条件不变，试判断△ABC的形状．

例6.如图9-1-5所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，

求证；.

跟踪训练2．如果在△ABC中，角A的外角平分线AD与BC的延长线相交于点D，

求证：.

1．满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为(　　)

A．0　　　　　B．1                 C．2          D．无数多

2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　)

A．3              B．3       C．6           D．6

3．在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.

4．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________.

5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求的值．

6．求证：在△ABC中，.

1.正弦定理的表示形式：＝＝＝2R，

或a＝k，b＝k，c＝k(k＞0)．

2．正弦定理的应用范围

(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．

3．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．

参考答案：

知识梳理

2.课前小测

1．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　

解析：（1）正确(2)由正弦定理可知＝，即＝，

所以sin B＝，则B＝60°或120°，又因为b>a，所以B>A，故B＝60°或120°.

(3)当bsin A<a<b时，△ABC有两解．

2．B　[由正弦定理可得sin A＝sin C⇒a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]

3．A　[由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]

学习过程

1.证明：如图，连接BO并延长交圆O于点D，

连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，

在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，

所以a＝2Rsin A，即＝2R，

同理＝2R，＝2R，

所以＝＝＝2R.

2．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？

这些变形形式有什么功能？

提示：由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：

sin A＝，a＝2Rsin A；sin B＝，b＝2Rsin B；

sin C＝，c＝2Rsin C．

由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．

二、例题解析

例5．证明：设,则,

且,,.

又因为,

所以,

即,

因此由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形.

跟踪训练1.

思路探究：解决本题的关键是利用sin A＝，sin B＝，sin C＝

把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，

从而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin Bcos C求解．

[解]　法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，

得＝＝，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，

∴A是直角，B＋C＝90°，

∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，

∴sin B＝.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，

得＝＝，

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，

∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．

∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，

∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，

∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，

∴△ABC是等腰直角三角形．

母题探究：(变条件)将本例题条件“sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acos C”其它条件不变，试判断△ABC的形状．

[解]　∵b＝acos C，

由正弦定理，得sin B＝sin Acos C．   (*)

∵B＝π－(A＋C)，

∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为

sin(A＋C)＝sin Acos C.

∴cos Asin C＝0.

又∵A，C∈(0，π)，

∴cos A＝0，A＝，即△ABC是直角三角形．

例6.

证明：如图,设,,

则由题意可知,.

在△ ABD和△ ADC中,分别应用正弦定理,

可得,

,

两式相除即可得.

另解：过点C作,交BA的延长线于点E,如图所示.

∵,∴.

又∵AD平分∠BAC,∴.在△BCE中,由

知,,,∴,

∴,∴.

跟踪训练2．证明：如图所示,∠BAC的外角（∠CAE）的平分线AD与BC的延长找相交于点D,

∴,∴.

∵,∴.

在△CAD和△BAD中,由正弦定理得

,

∴,∴.

达标检测

1．【答案】B　[因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，所以△ABC的个数为1.]

2．【答案】B　[由S＝absin C＝×4×3×得S＝3，故选B.]

3．【答案】1

[由＝得sin C＝＝×＝，又0<C<，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝.

所以＝＝＝1.]

4．【答案】　2　

[由tan A＝2，得sin A＝2cos A，由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，

∵b＝5，B＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝2.]

5．【答案】　由条件得＝＝，

∴sin A＝sin C.同理可得sin B＝sin C.

∴＝＝－.

6．证明：令,

则,,.

∴.

另解：由正弦定理,

得,,

∴.