人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台导学案及答案

11.1.4棱锥与棱台

【学习重点】

棱锥与棱台的概念和结构特征、棱锥与棱台的棱长和表面积运算

【学习难点】

运动变化的观点理解棱锥、棱台的概念和相互之间的关系、空间问题转化为平面问题的转化方法

问题1：棱锥

知识点1：棱锥的定义

如果一个多面体              ，且其余各面都是                     ，则称这个多面体为棱锥．

思考：（1）各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗？

（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？试举例说明．

知识点2：棱锥的结构特征

棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的            ，有公共顶点的各三角形称为棱锥的              ，各侧面的公共顶点称为棱锥的              ，相邻两侧面的公共边称为棱锥的              ．

知识点3：棱锥的分类

按              分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)，五棱锥(底面是五边形)，…….

如图11-1-31，（2）是一个四棱柱、（3）是一个              、（4）是一个             

知识点4：棱锥的表示

棱锥可以用              来表示，例如四棱锥可表示为：四棱锥P－ABCD或四棱锥P－AC．

知识点5：棱锥的高和侧面积

                            ，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高．              之和称为棱锥的侧面积．

如图，PO为棱锥的高，因此面ABCD

从而可知：              

知识点6：正棱锥及其性质

(1)正棱锥的定义：如果棱锥的底面是         ，且棱锥的顶点与底面中心的连线  

             于底面，则称这个棱锥为正棱锥．

(2)正棱锥的性质：正棱锥的侧面都              ，而且都是         三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的      ．

例1.如图是底面边长为1且侧棱长为的正六棱锥

（1）写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系；

（2）求棱锥的高和斜高；

（3）求棱锥的侧面积

【变式练习】

已知正四棱锥的底面边长为4，高是2，则它的表面积为________.

问题2：棱台

知识点1：棱台的定义

一般地，用      于棱锥底面的平面去截棱锥，所得                 称为棱台．原棱锥的底面与截面分别称为棱台的        和        ，其余各面称为棱台的      ，相邻两侧面的公共边称为棱台的         ．

知识点2：棱台的分类及表示

按         分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)、……，棱台可用上底面与下底面的顶点表示，例如底面是四边形的棱台可表示为四棱台ABCD－A′B′C′D′.

如图所示的棱台 ，可以看出是从棱锥P-ABCD上截去棱锥得到的.

知识点3：棱台的高和表面积

过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为            ．棱台所有侧面的面积之和称为棱台的           ．

知识点4：正棱台及其性质

(1)正棱台的定义：由      截得的棱台称为正棱台．

(2)正棱台的性质：正棱台上、下底面都是         ，两者中心的连线是棱台的      ；正棱台的侧面都        ，且都是         梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的        ．

【概念辨析】

1．思考辨析

(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．(　　)(2)棱台的侧面都是等腰梯形．(　　)

2．下列命题中正确的是(　　)

A．棱台的侧面可以是平行四边形

B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．棱台的底面是两个相似的正方形

D．棱台的侧棱延长后必交于一点

例2.如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长和侧棱长都为1，与分别是下底面和上底面的中心.

（1）求棱台的斜高；

（2）求棱台的高.

【变式练习】

1.关于几何体ABC－A1B1C1，平面ABC与平面A1B1C1平行，其中能构成棱台的是(　　)

A．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝2，A1C1＝2，B1C1＝2

B．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝3，A1C1＝4，B1C1＝4

C．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝2，A1C1＝4，B1C1＝4

D．AB＝2，AC＝4，BC＝3，A1B1＝5，A1C1＝3，B1C1＝4

2. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为2，求该三棱台的侧面积．