高中人教B版 (2019)第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.2 构成空间几何体的基本元素导学案

11.1.2 构成空间几何体的基本元素

【学习重点】

点、线、面之间的相互关系，以及文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化，直线与平面垂直的含义、点面距、线面距、面面距的定义

【学习难点】

从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系.

问题1：空间中的点、线、面

知识点1：空间几何体的基本元素

                               是构成空间几何体的基本元素.

知识点2：点、线、面运动的轨迹

点运动的轨迹是       、线运动的轨迹是       、面运动的轨迹是           

知识点3：点、线、面的表示方法

(1)点用                           表示，如点A，点B，点A1，…；

(2)直线              表示，如直线AB，直线A1B1，…，也可以                    表示，如直线l，直线m，…；

(3)平面用                         表示，如长方形ABCD所在的平面可记作面ABC，或面ABD，或面ABCD．也可用                     α，β，γ，…表示．

例1：如图所示的长方体中，

8个顶点可表示为：                                                   

12条棱可以表示为：                                                    

6个面可以表示为：                                                      

长方体可以表示为：                     

【变式练习】

根据如图所示的棱柱中，回答下列问题：

(1)6个顶点可表示为____________________；

(2)9条棱可以表示为____________________；

(3)5个平面可以表示为___________________；

(4)棱柱可以表示为______________________．

问题2：空间中点与直线，直线与直线的位置关系

例2：如图中的长方体，

（1）直线AB可简记为l，此时，A，B都是l上的点，且都不是l上的点，这可用符号简写为：                                

（2）如果记图中顶点确定的直线为m,顶点确定的直线为k,则有m与l相交（即有公共点），k与l不相交（即没有公共点），这可分别表示为：                                

（3）因为m与l相交于点B，所以                    ，一般简写为：                 .

知识点4：异面直线

一般地，空间中的两条直线，可以既不       ，也不       ，此时称这两条直线异面，上图中，直线l与k异面.

知识点5：直线与直线的位置关系

如果a,b是空间中的两条直线，则             与             ，有且仅有一种情况成立，而且当时，a与b要么             （记作             ），要么             .
问题3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

例3：下图所示的长方体中：

（1）面ABCD可以记为，此时，A是平面内的点，不是平面内的点，这可用符号简写为：             .

（2）点A，B确定的直线上的所有点都在平面内，这称为直线l在平面内（或平面过直线l）,记作：             ；

（3）点确定的直线m上至少有一个点不在平面内，这称为直线m在平面外，记作：.

直线m与有且只有一个公共点（称为直线,与平面相交），即             ,一般简写为：             .

（4）记图中长方形所在的平面为，点A，D确定的直线为，则与有公共点，这称为平面与平面相交，记作：             ，进一步，一个点是与的公共点，当且仅当这个点在直线k上，这可记作：             .

知识点6:直线与平面的位置关系

一般地，如果l是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则：             与             有且仅有一种情况成立.

（1）当时，要么             ，要么             ；

（2）当时，称直线l与平面平行，记作：             .

知识点7：平面与平面的位置关系

如果与是空间中的两个平面，则             与             有且仅有一种情况成立。

（1）当时，与的公共点组成             ；

（2）当时，称平面与平面平行，记作：             .

例4．思考辨析

(1)直线l在平面α内，记作l∈α.(　　)

(2)若a∩b＝∅，则a与b平行．(　　)

(3)若l∩α≠∅，则直线l与平面α有公共点．(　　)

(4)若直线l在平面α外，则直线l与平面α平行．(　　)

(5)若α∩β≠∅，则平面α与平面β相交，且交于一个点．(　　)

例5.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

(1)点P与直线AB；   (2)点C与直线AB；    (3)点M与平面ABCD；

(4)点A1与平面ABCD；        (5)直线AB与直线BC；

(6)直线AB与平面ABCD；      (7)平面A1ABB1与平面ABCD．

例6.给出下列四个命题：

①若直线l∩m＝∅，则l与m平行；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若m⊂α，m∩β＝M，那么平面α与平面β相交，其中真命题的个数为(　　)

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

例7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线、平面间的位置关系：

①A1B与D1C________；            ②A1B与B1C________；

③D1D与平面BCC1B1________；    ④AB1与平面BCC1________；

⑤平面ABB1与平面DCC1_________；     ⑥平面ABB1与平面DD1A1________.

问题4.直线与平面垂直

知识点8：直线与平面垂直的定义

一般地，如果直线l与平面相交于一点A，且对平面内任意一条过点A的直线m，都有，则称直线l与平面           （或l是平面的一条垂线，是直线l的一个垂面），记作             ），其中点A称为垂足.

因此，图中长方体中，有平面             ，类似的，有平面              平面             .

知识点9：点到平面的距离

给定空间中一个平面以及一个点A，过A可以作而且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为B，则称B为A在平面内的             （也称为             ），线段AB为平面的             ，AB的长为点A到平面的             .

知识点10.直线到平面的距离

特别的，当直线与平面平行时，                         称为这条直线到这个平面的距离；

知识点11：平行平面间的距离

当平面与平面平行时，                                称为两平行平面之间的距离.

因此，点到面ABCD的距离等于             ，直线到面ABCD的距离等于             ，面与面ABCD之间的距离等于             .

例8.下列命题中正确的个数是(　　)

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；

④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．

A．0 B．1

C．2 D．3

例9.下面叙述中：

①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；

②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；

③若直线l是平面α的一条垂线，则直线l垂直于平面α内的所有直线；

④若直线l垂直于平面α，则称平面α是直线l的一个垂面．

其中正确的有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

例10.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，AA1＝3 cm，则

(1)点A到平面DCC1D1的距离为________；

(2)直线AA1到平面BCC1B1的距离为________；

(3)平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为________.