高中数学11.4.2 平面与平面垂直第2课时教学设计

11.4.2 平面与平面垂直（2）

本课时是《平面与平面垂直》的第二课时，本节课的内容的主要内容是：（1）平面与平面垂直的性质定理的推导和应用；（2）平面与平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用。学生已经学习了直线与平面的判定定理和性质定理、平面与平面的判定定理，教学中可以引导学生思考这些定理之间的相互联系，对于本节课的知识点有很好的铺垫作用，同时本节课的内容也是之后解决空间几何位置关系问题的必要基础。本节课的教学，要求学生掌握平面与平面垂直的性质，会根据面面垂直证明线面垂直，在探索证明平面与平面垂直的性质时，提升逻辑推理能力和空间观念，在自主探索中感受成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。

【教学重点】

平面与平面垂直的性质定理的推导和应用、平面与平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用

【教学难点】

空间问题与平面问题的转化

复习回顾：

一、二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.

(2)图形表示：

(3)记法：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α－AB－β.如果C和D分别是半平面α和β内的点，也可记作C－AB－D.

(4)二面角的平面角：在二面角α－AB－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．

如图，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

(5)二面角的平面角的取值范围：0°≤θ≤180°.平面角是直角的二面角称为直二面角．

(6)平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小．范围为0°＜θ≤90°.

二.平面与平面垂直的定义

1．定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.

2．画法

三、平面与平面垂直的判定定理

(1)文字叙述：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

(2)图形表示：

(3)符号表示：如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β.

(4)作用：证明平面与平面垂直.

问题1：平面与平面垂直的性质定理

如果平面与平面相互垂直，能得出什么性质呢？

平面与平面垂直的性质定理

(1)文字叙述：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

(2)图形表示：

(3)符号表示：如果α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β.

(4)作用：证明直线与平面垂直.

证明：如图所示，设，过O在平面内作与垂直的直线OB，则为二面角的平面角。

因为，所以，因此 

又因为且，所以

注：面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系

例1.如图所示，已知，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，并且，求的长。

解：连接

因为，所以

又因为，所以，因此是直角三角形

在中，有

进而在中，有

例2. 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，

求证：BC⊥AC．

证明　过A作AE⊥PC于E，由平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC．

又BC⊂平面PBC，故AE⊥BC．

又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC．

∵PA∩AE＝A，PA，AE⊂平面PAC．∴BC⊥平面PAC．

又AC⊂平面PAC，故BC⊥AC．

【解题方法】

在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．

【变式练习】

如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB的中点，N为BC的中点，沿DE将△ADE折起．若平面ADE⊥平面BCDE，求证：AB＝AC．

证明　(1)取DE的中点M，连接AM，

∵在翻折前，ABCD为矩形，AB＝2AD，E为AB的中点，

∴翻折后AD＝AE，且AM⊥DE，

又平面ADE⊥平面BCDE，

∴AM⊥平面BCDE，

∴AM⊥BC，又N为BC的中点，∴MN⊥BC，[来源:学科网]

∵AM∩MN＝M，

∴BC⊥平面AMN，

∴BC⊥AN，

又N为BC的中点，∴AB＝AC．

问题2：平面与平面垂直的判定和性质定理综合应用

例3.如图所示，已知中，，是斜边上的高，如图所示，以AD为折痕将折起，使为直角，在图（2）中，求证：

（1）面面BDC，面面BDC；

（2）

证明：（1）由已知有，因此在图（2）中，有

面

又因为面，所以面面

同理，面面

（2）因为，所以图（1）中，有 ，从而

因此图（2）中是等腰直角三角形，所以

从而，所以 

【变式练习】

如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.

(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明.

(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.

解:(1)BC⊥平面PAC.

证明:因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.

又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC.

(2)因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.

【解题方法】

1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．

2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．

例4. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出点E的位置,并求解;若不能,请说明理由.

解:如图,作EM⊥A1C于点M,因为截面A1EC⊥平面AA1C1C,

所以EM⊥平面AA1C1C.取AC的中点N,连接BN,MN.

因为AB=BC,所以BN⊥AC.

而AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C,

所以平面ABC⊥平面AA1C1C,且交于AC,

所以BN⊥平面AA1C1C.

所以BN∥EM,BN⊥MN.

又BE∥平面AA1C1C,平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,

所以BE∥MN∥A1A.

所以四边形BEMN为平行四边形.

因为AN=NC,所以A1M=MC.

所以BE=MN=A1A,

即E为BB1的中点时,平面A1EC⊥平面AA1C1C.

【解题方法】

探究型问题的两种解题方法

(1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件.

(2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾,否定假设,确定使结论成立的条件不存在.

【变式练习1】

如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且=λ(0<λ<1).

(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.

(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD.

(1)证明:因为AB⊥平面BCD,

所以AB⊥CD.

因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,

所以CD⊥平面ABC.

又因为=λ(0<λ<1),

所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.

所以EF⊥平面ABC,EF⊂平面BEF.

所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.

(2)解:由(1)知,BE⊥EF,

因为平面BEF⊥平面ACD,

所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.

因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,

所以BD=,AB=tan 60°=.

所以AC=.

由AB2=AE·AC,得AE=.所以λ=.

【变式练习2】

如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?

解:∵四边形ABCD是正方形,

∴AC⊥BD.

∵BB1⊥底面ABCD,∴AC⊥B1B.

∵B1B∩BD=B,∴AC⊥对角面BB1D1D.

又∵AC⊂截面ACB1,

∴截面ACB1⊥对角面BB1D1D.

小结：

1．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．

2．面面垂直的判定和性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：