高中人教B版 (2019)10.2.2 复数的乘法与除法教案

这是一份高中人教B版 (2019)10.2.2 复数的乘法与除法教案，共14页。教案主要包含了教学重点，教学难点，典型例题，变式练习等内容，欢迎下载使用。
10.4 复数习题课本章首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等．在第二部分，介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式.第三部分，引入了复数的三角形式，赋予了复数的乘法、除法几何意义，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具.考点教学目标核心素养复数的相关概念通过习题课进一步掌握复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等相关概念数学抽象、数形结合复数的加法和减法及几何意义通过习题课进一步掌握复数的加法和减法运算法则，运算律和几何意义数学运算、数形结合复数的乘法和除法通过习题课进一步掌握复数的加法和减法运算法则及运算律数学运算复数的三角形式、三角形式的的乘法和除法及几何意义通过习题课进一步掌握复数的三角形式及三角形式的乘法、除法运算和几何意义数学运算、数形结合 【教学重点】复数的相关概念、复数的加法和减法及几何意义、复数的乘法和除法、复数的三角形式的乘法和除法及几何意义【教学难点】复数的三角形式、三角形式的的乘法和除法及几何意义考点1：复数的相关概念1．虚数单位i：(1)i2＝－1；(2)i和实数在一起，服从实数的运算律．2．代数形式：a＋bi(a、b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．3．复数的分类复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，z是实数⇔b＝0，　z是虚数⇔b≠0z是纯虚数⇔.4．a＋bi与a－bi(a、b∈R)互为共轭复数5.复数相等的条件：a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R)⇔a＝c且b＝d.特别a＋bi＝0(a、b∈R)⇔a＝0且b＝0.【典型例题】例1. 实数m取什么数值时，复数分别是：(1)实数？  (2)虚数？  (3)纯虚数？【答案】（1）；（2）；（3）.解：(1)当，即时，复数z是实数；(2)当，即时，复数z是虚数；(3)当，且时，即时，复数z是纯虚数.例2. 欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可得：，所以虚部为.故选C例3. 已知，则是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 ,因此是“”的充分不必要条件,选A.例4. 已知（其中是虚数单位），则（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】,，故选C.【变式练习】1．若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为________.【答案】－1【解析】，∴的虚部为，故答案为.2．已知复数，复数，给出下列命题：①；②；③复数与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数的虚部为0.其中真命题的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】由复数，复数，可得复数，复数，对于①:复数中虚数与实数无大小关系,∴①错误；对于②: ， ，,∴②正确；对于③: 复数与其共轭复数，在复平面内的点分别为，关于实轴对称,∴③正确；对于④:复数为实数，虚部为0,∴④正确.综上,真命题3个，故选：C.考点2：复数的运算法则z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．（1）z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；（2）z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（3）＝＋i. 【典型例题】例5.若复数，则______. 【答案】【解析】复数，．故答案为：．例6.已知，i为虚数单位.（1）若，求；（2）若，求实数a，b的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）已知，，，.（2），，，解得.【变式练习】1．表示虚数单位，则______.【答案】1【解析】解：且，，，，……故答案为： 2．已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求；(2)求的值.【答案】（1）；（2）2【解析】 (1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2.3. 已知复数，为虚数单位.（1）求的值；（2）类比数列的有关知识，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】（1）复数为虚数单位），，，（2） 考点3：复数的几何意义1.建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点O为起点，复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量，与复数z一一对应，的模叫做复数z的模．2.复数加法的几何意义：如果复数所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以与为两条邻边作平行四边形，则所对应的向量就是，3.复数减法的几何意义：如果复数所对应的向量分别为与根据向量加法的三角形法则有：．于是：．由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应．【典型例题】例7. 在复平面内，O是原点，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i, 1＋5i，那么对应的复数为(　   　)A．4＋7i B．1＋3i C．4－4i D．－1＋6i【答案】C【解析】，选C.【变式练习】1.若复数的对应点在直线上，则（    ）A． B． C． D．1【答案】C【解析】∵，∴在复平面内对应点的坐标为，由题意，则．故选：C．2．1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票（如图）.这枚邮票上印有4个复数，其中的两个复数的和：（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A.3. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在(    )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D. 考点4：复数的三角形式及几何意义1.复数的三角形式z＝a+bi＝r（cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式，其中的θ称为z的辐角.在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.2.复数三角形式的乘法法则法则：r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］模相乘，辐角相加.几何意义：设对应的向量分别为，将绕原点旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为则对应的复数为，当时，按逆时针方向旋转角，当时，按顺时针方向旋转角.3.复数三角形式的除法法则法则：模相除，辐角相减.几何意义：设对应的向量分别为，将绕原点O旋转，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为则对应的复数为.当时，按顺时针方向旋转角，当时，按逆时针方向旋转角【典型例题】例8. 计算：(1)× ；(2)2；(3) 2÷解：　(1)原式＝×＝＝－i.(2)原式＝2×2＝4＝4＝4＝－2－2i.(3) 原式＝＝.例9.如图，向量对应的复数为－1＋i，把绕点O按逆时针方向旋转150°，得到1.求向量1对应的复数(用代数形式表示)解：向量1对应的复数为(－1＋i)(cos 150°＋isin 150°)＝(－1＋i)＝－i. 例10. 如图，若1与2分别表示复数Z1＝1＋2i，Z2＝7＋i，求∠Z2OZ1，并判断△OZ1Z2的形状．解　＝＝＝(1＋i)＝， ∴∠Z2OZ1＝，且＝.∴△OZ1Z2为直角三角形．【变式练习】1.复数2×＝_________.【答案】5i2. 设3＋4i的辐角主值为θ，则(3＋4i)·i的辐角主值是(　　)A．＋θ B．－θC．θ－ D．－θ【答案】A【解析】根据复数乘法的几何意义得，(3＋4i)·i对应的向量是由复数3＋4i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转得到的，所以(3＋4i)·i的辐角主值为θ＋.3. 复平面内向量对应的复数为2＋i，A点对应的复数为－1，现将绕A点顺时针方向旋转90°后得到的向量为，则点C对应的复数为_________.【答案】－2i【解析】向量对应的复数为＝＝－(2＋i)i＝1－2i，∵＝＋，∴对应的复数为－1＋(1－2i)＝－2i.即点C对应的复数为－2i.小结：