高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.4 棱锥与棱台一课一练

                   11.1.4　棱锥与棱台

一、选择题

1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是（    ）

A．圆柱 B．圆台 C．球体 D．棱台

【答案】D

【解析】圆柱、圆台、球体的截面不可能是三角形，棱台的截面可能是三角形.故选：D

2．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（  ）

A．快、新、乐 B．乐、新、快

C．新、乐、快 D．乐、快、新

【答案】A

【解析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，故选A．

3.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是

A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

【答案】D

【解析】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共个，且每个面都是三角形．所以选项A、B、C正确，选项D错误．故选D．

4．甲、乙两足球队决赛互罚点球时，罚球点离球门约10米，乙队守门员违例向前冲出了3米，扑住了球，结果被判犯规，扑球无效.事实上乙队守门员违例向前冲出了3米时，其要封堵的区域面积变小了，此时乙队守门员需封堵区域面积是原来球门面积的（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图,从罚球点向球门四个顶点引线,构成四棱锥.作交于.守门员从平面中的E点向前移动3米至平面的,只需封堵区域即可,

则,由相似比与面积比的关系可得.故选:D

5．（多选题）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）（多选）

A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④是棱柱

【答案】CD

【解析】题图①中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的，且上、下底面不是相似的图形，所以不是棱台；题图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③中的几何体是三棱锥；

题图④中的几何体前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，所以④是棱柱.故选:CD.

6．（多选题）下列说法错误的是（    ）

A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥

B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥

D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体

【答案】ABC

【解析】选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.

二、填空题

7．已知四棱锥的四个侧面均是边长为2的等边三角形，则该四棱锥的高为________.

【答案】

【解析】如图所示，设底面，因为四边形两组对边分别相等，所以四边形为平行四边形.因为，所以，

所以四边形为边长为2的正方形，且顶点在底面的投影是正方形的中心.

所以该四棱锥的高为．

8．对如图所示的几何体描述正确的是_____（填序号）.

①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.

【答案】①③④⑤

【解析】①正确，因为有六个面，属于六面体.②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确.③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱.④⑤都正确，如图（1）（2）所示.

9. 如下图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为，则它的侧棱长为__________．

【答案】

【解析】如下图所示， ,那么 ,,所以根据勾股定理，可得 ,所以侧棱长为6.

10．在四棱锥的4个侧面中，直角三角形最多可有________个；在四面体的4个面中，直角三角形最多可有________个．

【答案】4;  4   

【解析】画出正方体如下图所示，根据正方体的几何性质可知，在四棱锥中，都是直角三角形，共个.在四面体中，都是直角三角形，共个.

故填：（1）；（2）.

三、解答题

11．如图所示，正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高PO为h，求它的侧棱PA的长和斜高PD的长．

【答案】侧棱PA的长为,斜高PD的长为

【解析】如图，连接AD，则点O在AD上．

∵正三棱锥P-ABC的底面边长为a，O为的中心，

∴OA=a，OD=a．

在中，根据勾股定理，

得PA=．

在中，根据勾股定理，

得PD=，

所以此正三棱锥的侧棱PA的长为，

斜高PD的长为．

12.在正方形中，分别为的中点，现在沿及把和折起，使三点重合，重合后的点记为．

（1）依据题意制作这个几何体．

（2）这个几何体有几个面，每个面的三角形为什么形状的三角形？

（3）若正方形的边长为，则每个面的三角形的面积为多少？

【答案】（1）

（2）四个面，为等腰三角形，，，为直角三角形；（3），，.

【解析】（1）

.

（2）这个几何体有四个面，即面、面、面、面.由平面几何知识可知，，

所以为等腰三角形，，，为直角三角形.

（3）因为，，

所以，，

.