高中11.4.2 平面与平面垂直一课一练

11.4.2 平面与平面垂直(1)

一、选择题

1．已知、是不重合的平面，a、b、c是两两互不重合的直线，则下列命题：

①；    ②；    ③.

其中正确命题的个数是（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【解析】①由面面垂直的判定定理，∵，a⊂β，∴α⊥β，故正确；②，则平行，相交，异面都有可能，故不正确；③，则与α平行，相交都有可能，故不正确．

2．如图，是一个正方形，平面，则图中（侧面，底面）互相垂直的平面共有（   ）

A．4组 B．5组 C．6组 D．7组

【答案】B

【解析】由平面，可得平面平面,平面平面,

又因为是一个正方形，所以平面平面平面,同理可得平面平面,平面平面,故共有5组，故选：B.

3.下列说法中:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,其中正确的有(　　)

A.①③ B.②④ C.③④ D.①②

【答案】B

【解析】对①,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对②,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对③,因为不垂直于棱,所以是错误的;④是正确的,故选B.

4．设，为两个平面，则的充要条件是（    ）

A．内有一条直线与垂直 B．内有一条直线与内两条直线垂直

C．与均与同一平面垂直 D．与均与同一直线垂直

【答案】A

【解析】对A，符合面面垂直的判定定理描述，正确；对B，两平面斜交时，若内的直线垂直于两平面交线，而内两条直线与交线平行时，符合描述，但两平面不垂直，故错误；对C，垂直于同一平面的两平面也可能平行，故错误；对D，垂直于同一直线的两平面平行，故错误；故选：A

5．（多选题）1．已知两条直线，及三个平面，下列条件中能推出的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直知选项A正确；选项B显然正确；

如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面 那么另一个平面也垂直这个平面知选项C

正确；D选项有可能与可能平行.故选：ABC.

6．（多选题）如图，圆柱的轴截面是四边形，E是底面圆周上异于的一点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C．平面 D．平面平面

【答案】ABD

【解析】由是底面圆的直径，得，即.

∵圆柱的轴截面是四边形，底面，底面.

，又，，平面，

平面，.同理可得，，易得平面平面.

可得正确.，（或其补角）为与所成的角，显然，平面不正确，即错误.故选：.

二、填空题

7.已知平面α,β和直线m,给出条件:

①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.

(1)当满足条件　　　　时,有m∥β; 

(2)当满足条件　　　　时,有m⊥β.(填所选条件的序号). 

【答案】③⑤　②⑤

【解析】线面平行、线面垂直的判定定理可得

8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,二面角C1-BD-C的大小为　　　　　. 

【答案】30°

【解析】连接AC交BD于点O,连接C1O,

∵C1D=C1B,O为BD中点,∴C1O⊥BD,∵AC⊥BD,

∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,

在Rt△C1CO中,C1C=,可以计算C1O=2,

∴sin∠C1OC=,∴∠C1OC=30°.

9．如图，二面角的大小是60°，线段.，

与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是        .

【答案】

【解析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，

在β内过C作l的垂线．垂足为D，

连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，

故∠ADC为二面角α-l-β的平面角，为60°，

又由已知，∠ABD=30°，

连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角

设AD=2，则AC=，CD=1

AB==4

∴sin∠ABC==；

10.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是　　　　　. 

【答案】

【解析】如图,过D作DG⊥AF,

垂足为G,连接GK,

∵平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,

∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF.

∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.

容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.

所以t的取值范围是.

三、解答题

11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，、分别为、的中点，侧面底面.

（1）求证：平面；

（2）若，求证：平面平面.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）连结，则是的中点，为的中点，

故在中，，

因为平面，平面，所以平面

(2)由（1）可得，EF//PA，又EF⊥PC，

所以PA⊥PC

因为平面平面，平面ABCD为正方形

所以，平面，所以CD⊥PA，

又，所以PA⊥平面PDC

又平面，所以平面平面

12．如图，在四棱锥中，底面是梯形，∥，，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）证明：因为，，

所以，即，

因为，，所以平面，

因为平面，所以平面平面；

（2）因为，，，所以.

由（1）知平面平面，平面平面，

所以平面，

由平面，平面，所以，平面平面.

过点作于，则平面.

过作交于，则即为所求二面角的平面角，

在梯形中，求得，，

在中，，

所以即，

在中，，

在中，求得，

故二面角的余弦值为.