高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精品导学案

3.3：幂函数

知识导图：

知识点1：幂函数的概念

1.幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.

2.幂函数的特征

（1）的系数为1；

（2）的底数是自变量；

（3）的指数为常数.

只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等的函数都不是幂函数.

例1-1：在函数中，幂函数的个数为（   ）.

1. 0           B. 1            C. 2             D. 3

答案：B

知识点2：幂函数的图像与性质

1.五个具体幂函数的图像

当时，我们得到五个幂函数，在同一平面直角坐标系中，通过描点得到五个幂函数的图像.如图所示：

2.五个具体幂函数的性质

观察图像，可以得到五个幂函数的性质如下：

例2-2：已知，则使函数的定义域为R且函数为奇函数的所有的值为（   ）

1. -1,3           B. -1,1           C. 1,3            D. -1,1,3

答案：C

例2-3：下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ）

A.         B.         C.           D.

答案：D

重难拓展

知识点3：一般幂函数的图像和性质

1.幂函数的图像

观察五个具体幂函数在第一象限内的图像可知，幂函数的图像在第一象限内具有如下特征：在平面直角坐标系中，直线将直线的右侧部分分为（I）（II）（III）三个区域，如图所示.的图像经过区域（I）；的图像经过区域（II）；的图像经过区域（III）.在直线的右侧，从轴向上，幂函数的指数由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”

利用幂函数在第一象限内的图像特征，可以做出幂函数的图像，其步骤一般是：先利用上述特征，由给定的幂函数，做出幂函数在第一象限内的图像；再研究其定义域，看当时函数是否有意义；若函数在上有意义，则研究函数的奇偶性，利用奇函数（或偶函数）图像的对称性，作出y轴左侧的图像，从而得到幂函数的图像。

例3-4：幂函数在第一象限内的图像依次是下图中的曲线（   ）

A.             B.

C.             D.

答案：D

例3-5：给出下列说法：

①幂函数的图像均经过（1,1）；

②幂函数的图像均在两个象限里出现；

③幂函数在第四象限内可以有图像；

④任意两个幂函数的图像最多有两个交点.

答案：A

2.幂函数的图像和性质

拓展延伸：对于上表幂函数的性质的补充说明.

1.定义域：在（0，+）上都有定义，定义域与的取值有关，要保证函数解析式有意义.具体如下：

2.幂函数奇偶性的判断方法

例3-6：给定一组函数图像和函数解析式：

①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.

请把图像对应的解析式的序号填在图下面的括号内.

答案：⑥ ④ ③ ② ⑦ ① ⑤

题型与方法

题型1：幂函数的定义域和值域

例7：（1）函数的定义域是        ，值域是        .

（2）函数的定义域是        ，值域是        .

（3）函数的定义域是        ，值域是        .

（4）函数的定义域是        ，值域是        .

答案：（1）R        （2）   

（3）        （4）   

例8：讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函数的大致图象.

（1）   （2）    （3）    （4）

答案：（1）定义域为R，值域为，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，图像如图（1）所示.

（2）定义域为，值域为，既不是奇函数也不是偶函数，在上单调递增，图像如图（2）所示.

（3）定义域为，值域为，为奇函数，在上单调递减，图像如图（3）所示.

（4）定义域为R，值域为，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，图像如图（4）所示.

知识拓展：幂函数对图像的影响

当时，是一条直线；

当时，的图像是一条不包含（0,1）的直线；

当为其他值时，相应幂函数的图像如下表.

题型3：幂函数单调性的应用

1.比较幂的大小

例9：           

答案：（1）＜         （2）＞          （3）＜

2.已知单调性求参数

例10：已知幂函数，当时，随的增大而减小，则实数的值为          .

答案：-3

3.解不等式

例11：若，则实数的取值范围是          .

答案：

易错提醒

易错1：对幂函数的概念理解不清致误

例12：已知函数是幂函数，求的取值范围.

答案：{0}

易错2：对幂函数的性质把握不准

例13：若，求实数的取值范围.

答案：

高考链接

考向1：幂函数的图象

例14：函数的图像是（   ）

答案：B

考向2：幂函数的性质及应用

例15：下列函数中，既是奇函数又是偶函数的为（   ）

A.        B.        C.         D.

答案：D

基础巩固

1.幂函数的图像经过点（2,8），则它的单调递增区间是（    ）

A.          B.        C.         D.

2.已知常数，如图所示为幂函数的图像，则的值可以为（    ）

A.            B.           C.           D. 

3.若幂函数在上单调递减，则实数的值是         .

4.有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：

（1）是偶函数；（2）值域是；（3）在上单调递增.

如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是      .（填序号）

5.已知函数（为常数）.

（1）为何值时此函数为幂函数？

（2）为何值时此函数为正比例函数？

（3）为何值时此函数为反比例函数？

6.已知幂函数的图像与轴、轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出函数的大致图象.

能力提升

7.已知一函数具有如下性质：.则（   ）.

A.是奇函数                        B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数            D.既不是奇函数也不是偶函数

8.函数的图象如图所示，则（    ）

A.是奇数，

B.是偶数，是奇数，

C.是偶数，是奇数，

D.是奇数，是偶数，

9.若函数是幂函数，且在上单调递增，则（   ）.

A.             B.            C. 2              D. 4

10.如图，函数的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（   ）

A.          B.       

C.         D.

11.已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增.

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

1. D
2. C
3. 3
4. ②
5. （1）；（2）；（3）.
6. ，图象略
7. B
8. C
9. D
10. B
11. （1）；（2）.