高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案

5.2.1：三角函数的概念

知识点1：任意角的三角函数

1.利用单位圆定义任意的三角函数

设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆相交于点P.

（1）把点P的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；

（2）把点P的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；

（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即（这是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数）.

我们将正弦函数、余弦函数和正确函数统称为三角函数，通常将它们记为：

2.用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图所示，设是一个任意角，它的终边上任一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为.则.

例1-1：已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（   ）

A.           B.          C.         D.

答案：B

例1-2利用定义求的正弦、余弦和正切值.

答案：

知识点2：三角函数的定义域和函数值的符号.

1.三角函数的定义域

2.三角函数值在各象限的符号.

由于角的终边上任意一点到原点的距离是正值，根据三角函数的定义，知：

①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；

②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；

③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号得正，异号得负.

因此，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号如图所示.

例2-3：函数的定义域为             .

答案：

例2-4：确定下列各三角函数值的符号.

（1）；     （2）；     （3）

答案：（1）；（2）；（3）

例2-5：若，则角是（    ）

1. 第一或第二象限角         B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角         D.第二或第四象限角

答案：D

知识点3：诱导公式一

由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等.由此可以得到一组公式（公式一）：

附：部分特殊三角函数值

例3-6：求下列各式的值.

（1）    （2）      （3）.

答案：（1）；   （2）；    （3）    （4）1

重难拓展

知识点4：余切、正割、余割函数.

设是一个任意角，，角的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标是，点P与原点的距离（），那么：

（1）当时，把比值叫做角的余切，记作，

（2）当时，把比值叫做角的正割，记作，

（3）当时，把比值叫做角的余割，记作，

注意：事实上，由三角函数的定义可知，，，

例4-7：已知角的终边上一点，则       ，      .

答案：

题型与方法

题型1：三角函数的定义及应用

1.对三角函数的定义及应用

解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.

例8：有下列命题：

①终边相同的角的同名三角函数值相等；

②终边不同的角的同名三角函数值不等；

③若，则是第一象限角；

④若是第二象限角，且是其终边上一点，则.

其中真命题的个数是（    ）

1. 1            B. 2           C. 3             D. 4

答案：A

2.已知角的终边经过某一定点，求三角函数值.

例9：已知的终边经过点P（2，-3），则=       ，       ，       .

答案：            

例10：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦、正切值.

答案：当时，       

当时，     

3.已知角的终边落在某一条线上，求其三角函数值

例11：已知角的终边落在直线上，求，，的值.

答案：     或     .

变式训练1：已知角的终边为射线，求角的正弦、余弦、正切值.

答案：    

题型2：三角函数在各象限的符号

1.判断三角函数值的符号

例12：设角的终边不在坐标轴上，则函数的值域       .

答案：{-1,3}

例13：判断下列各三角函数式的符号：

（1）；      （2）

答案：（1）；      （2）

2.由三角函数式符号确定所在象限

例14：若，且，则角是（   ）

A.第一象限角     B.第二象限角     C.第三象限角      D.第四象限角

答案：C

例15：若，且，试确定角的终边所在的象限.

答案：角的终边位于第三象限.

变式训练2：的符号为        （填“正”或“负”）

答案：负

题型3：诱导公式一的应用

例16：计算下列各式的值：

（1）

（2）

答案：（1）     （2）

变式训练：=       .

答案：0

易错提醒

易错1：求三角函数值时对终边位置考虑不全

例17：已知角的终边在直线上，则=         .

答案：

例18：函数的定义域为         .

答案：

高考连接

例19：在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边.若，则P所在的圆弧是（    ）.

1.               B.           

C.              D.

答案：C

考向2：三角函数值的符号

例20：若，则（    ）

A.        B.       C.         D.

答案：C

考向3：诱导公式一的应用

例21：         .

答案：

基础巩固：

1.已知角的终边经过点P（-2,4），则的值等于（    ）

A.          B.        C.            D.

2.已知角的终边经过点P，且，则=（   ）

A. 8           B. -8            C.4            D.-4

3.的值等于（    ）

A.          B.        C.            D.

4.给出下列函数值：①；②；③.其中符号为负的个数为（    ）

A. 0          B. 1          C. 2             D. 3

5.若角的终边上一点在函数的图像上，则的值为        .

6.已知角的终边在直线上，求的值.

7.化简下列各式：

（1）

（2）

（3）

能力提升

8.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点P（-1，m），则下列各式的值一定为负的是（   ）

A.         B.       C.       D.

9.若，则角的终边在（    ）

A.第一象限                  B.第四象限       

C.第二或第四象限            D.第一或第四象限

10.已知角的终边经过点P（3，t）且，则t等于（   ）

A.          B.        C.            D.

11.函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得的图像过定点P，且角的终边过点P，则的值为（   ）

A.            B.         C.            D.

12.已知，那么下列命题正确的是（    ）

A.若是第一象限的角，则

B.若是第二象限的角，则

C.若是第三象限的角，则

D.若是第四象限的角，则

13.平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点P的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作.若，则=（    ）.

A.          B.        C.            D.

14.若是第一象限角，则中一定为正值的个数为        .

15.已知，则是第       象限角.

参考答案：

1. A
2. B
3. A
4. B

7.（1）  （2）     （3）

8.D

9.D

10.B

11.C

12.D

13.D

14.2

15.二