2021年山东省高考数学冲刺模拟试卷（5月份）

这是一份2021年山东省高考数学冲刺模拟试卷（5月份），共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省高考数学冲刺模拟试卷（5月份）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．5
2．（5分）已知直线m⊂平面α，则直线l⊥平面α是直线l⊥m的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．（5分）中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（　　）

A． B． C． D．
4．（5分）设a＝sin，b＝，c＝（），则（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
5．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A，B分别为双曲线的左，右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
7．（5分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则•的取值范围是（　　）

A．[6，12] B．[6，16] C．[8，12] D．[8，16]
8．（5分）已知函数f（x）＝ax3+x2（a＞0），若存在实数x0∈（﹣1，0），且x0≠﹣，使f（x0）＝f（﹣），则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．（4，5）
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号全部涂在答题卡上）
9．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3＝0，a4＝6，则（　　）
A． B．
C．an＝3n﹣6 D．an＝2n
10．（5分）若（1+x）+（1+x）2+⋅⋅⋅+（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+anxn，且a1+a2+⋅⋅⋅+an﹣1＝125﹣n．则下列结论正确的是（　　）
A．n＝6
B．a1＝21
C．（1+2x）n展开式中二项式系数和为729
D．a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan＝321
11．（5分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（　　）

A．函数f（x）最靠近原点的零点为
B．函数f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为
C．函数是偶函数
D．函数f（x）在（2π，）上单调递增
12．（5分）已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于点A，B，若A，B两点在准线上的射影分别为M，N，线段MN的中点为C，则（　　）
A．AC⊥BC
B．四边形AMCF的面积等于|AC|•|MF|
C．|AF|+|BF|＝|AF|•|BF|
D．直线CA与抛物线相切
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1﹣i（i为虚数单位），则|z12+z2|＝　 　．
14．（5分）重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久．奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉．据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），现任取100个奉节脐橙，设其果实横径在[75，90）的个数为X，则E（X）＝　 　．
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545；
15．（5分）设函数f（x）＝，若f（f（））＝4，则a＝　 　．
16．（5分）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36°按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于 　 　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA＝2bcosB．
（1）求B；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．（12分）数列{bn}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Tn，b1＝2，T4＝5T2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝b3，a1+a9＝﹣4．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）是否存在大于2的正整数m，使得4S1，S3，Sm成等比数列？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19．（12分）如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB为圆锥底面⊙O的直径，在底面内以线段AO为直径作⊙M，点P为⊙M上异于点A，O的动点．
（1）证明：平面SAP⊥平面SOP；
（2）当三棱锥S﹣APO的体积最大时，求二面角A﹣SP﹣B的余弦值．

20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且经过点（1，），点F1，F2为椭圆C的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线x＝1交于点P．若＝，且点Q满足＝，求△PQF1面积的最小值．

21．（12分）某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如图频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）．
（2）为推进精准扶贫，某企业开设电商平台进行扶贫，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲计划在A店，乙计划在B店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由n（n≥2，n∈N*）个商品W构成，假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品W总数量分别为X，Y．
①求X的分布列及数学期望E（X）；
②若，，求当Y的数学期望E（Y）取最大值时正整数n的值．

22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x2+x．
（1）若f（x）单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数F（x）＝f（x+1）﹣3x﹣2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．

2021年山东省高考数学冲刺模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．5
【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B的元素个数．
【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，B＝{（x，y）|x+1＞0}，
∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）}，
∴A∩B的元素个数为6．
故选：C．
2．（5分）已知直线m⊂平面α，则直线l⊥平面α是直线l⊥m的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】根据线面垂直的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：∵直线m⊂平面α，
∴若直线l⊥平面α，则直线l⊥m，即充分性成立，
反之不成立，
即直线l⊥平面α是直线l⊥m的充分不必要条件，
故选：B．
3．（5分）中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先求出从五种书体中任意选两种进行研习及恰好不选草书体的事件的结果数，然后结合古典概率公式可求．
【解答】解：从五种书体中任意选两种进行研习的可能结果有＝10种，
则他恰好不选草书体的共有＝6种，
故他恰好不选草书体的概率为P＝＝．
故选：A．
4．（5分）设a＝sin，b＝，c＝（），则（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【分析】利用三角函数、对数函数、指数函数的单调性直接求解．
【解答】解：∵＝sin＜a＝sin＜1，
b＝＞＝1，
c＝（）＝（）＜，
∴c＜a＜b．
故选：C．
5．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【分析】根据所给材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．
【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t*﹣53）＝，
两边取对数有﹣0.23（t*﹣53）＝﹣ln19，
解得t*≈66，
故选：C．
6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A，B分别为双曲线的左，右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】作出图形，作PM⊥OF，垂足为M，过B作BD⊥x轴，交渐近线第一象限部分于点D，利用双曲线的对称性得到边角关系，得到△OPF为等腰三角形，由三角形相似的性质可得,代入求解，可得a与c的关系，即可得到离心率．
【解答】解：如图所示，因为OQ∥PF，所以∠AOQ＝∠OFP，
又因为双曲线的渐近线关于y轴对称，
所以∠FOP＝∠AOQ，则∠OFP＝∠FOP，
所以△OPF为等腰三角形，
作PM⊥OF，垂足为M，过B作BD⊥x轴，交渐近线第一象限部分于点D，
则Rt△OMP∽Rt△OBD，
|OB|＝a，|BD|＝b，|OM|＝|OF|＝c，
|OP|＝a，|PM|＝，
由三角形相似的性质可得,
所以，
整理可得c4＝4a4，
所以．
故选：D．

7．（5分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则•的取值范围是（　　）

A．[6，12] B．[6，16] C．[8，12] D．[8，16]
【分析】先利用平面向量的线性运算法则，将用向量来表示，然后将所求表达成的形式，结合函数思想求范围．
【解答】解：由正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，
故正六边形ABCDEF的内切圆半径为r＝，外接圆半径R＝4．
而＝＝．
易知，即||．
所以的取值范围是[8，12]．
故选：C．

8．（5分）已知函数f（x）＝ax3+x2（a＞0），若存在实数x0∈（﹣1，0），且x0≠﹣，使f（x0）＝f（﹣），则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．（4，5）
【分析】根据题意，结合函数的解析式求出函数的零点，求出函数的导数，分析函数的单调性和单调区间，可得函数的草图，由此分析可得关于a的不等式组，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax3+x2，
若f（x）＝0，则x＝0或x＝﹣，
其导数f′（x）＝ax2+2x，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝﹣，
当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数递增，
当x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，函数递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，函数递增，
则f（x）的草图如图：
若存在实数x0∈（﹣1，0），且x0≠﹣，使f（x0）＝f（﹣），
则有或﹣＜﹣＜﹣，
解可得：＜a＜4或4＜a＜6，
故a∈（，4）∪（4，6）；
故选：A．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号全部涂在答题卡上）
9．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3＝0，a4＝6，则（　　）
A． B．
C．an＝3n﹣6 D．an＝2n
【分析】根据题意可得，解得a1＝﹣3，d＝3，即可求出通项公式和求和公式．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，设公差为d，
由S3＝0，a4＝6，可得，解得a1＝﹣3，d＝3，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，
Sn＝＝，
故选：BC．
10．（5分）若（1+x）+（1+x）2+⋅⋅⋅+（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+anxn，且a1+a2+⋅⋅⋅+an﹣1＝125﹣n．则下列结论正确的是（　　）
A．n＝6
B．a1＝21
C．（1+2x）n展开式中二项式系数和为729
D．a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan＝321
【分析】先求出a0和an的值，注意根据式子的特点，通过求导数、给变量赋值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：∵（1+x）+（1+x）2+⋅⋅⋅+（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+anxn，且a1+a2+⋅⋅⋅+an﹣1＝125﹣n，
令x＝0，可得a0＝n，显然，an＝＝1，
再令x＝1，可得n+a1+a2+⋅⋅⋅+an﹣1+1＝2+22+•••+2n＝＝2n+1﹣2，
即n+125﹣n+1＝2n+1﹣2，即2n+1＝128，∴n＝6，故A正确；
a1＝1+++++＝1+2+3+4+5+6＝21，故B正确；
故（1+2x）n展开式中二项式系数和为2n＝64，故C错误；
对所给的等式两边取导数，可得1+2（1+x）+⋅⋅⋅+6（1+x）5＝a1+2a2x+⋅⋅⋅+6a6x5，
再令x＝1，可得1+2×2+3×22+•••+6×25＝a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+6a6，
即a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+6a6＝321，故D正确，
故选：ABD．
11．（5分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（　　）

A．函数f（x）最靠近原点的零点为
B．函数f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为
C．函数是偶函数
D．函数f（x）在（2π，）上单调递增
【分析】根据函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，求出f（x）的解析式，利用余弦函数的图象与性质判断各个选项即可求解答案．
【解答】解：根据函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的图象知，A＝2，＝﹣＝，
∴T＝2π，ω＝＝1，
根据五点法画图知，
当x＝时，ωx+φ＝+φ＝0，
∴φ＝﹣，
∴f（x）＝2cos（x﹣），
令f（x）＝2cos（x﹣）＝0，可得x﹣＝kπ+，k∈Z，则x＝kπ+，k∈Z，
当k＝﹣1时，x＝﹣，k＝0时，x＝，
所以函数f（x）最靠近原点的零点为，故A正确；
因为f（0）＝2cos（﹣）＝，所以函数f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为，故B正确；
＝2cos（x﹣﹣）＝2cos（x﹣π）＝﹣2cosx，是偶函数，故C正确；
当x∈（2π，）时，x﹣∈（，），
此时函数f（x）＝2cos（x﹣）不单调，故D错误．
故选：ABC．
12．（5分）已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于点A，B，若A，B两点在准线上的射影分别为M，N，线段MN的中点为C，则（　　）
A．AC⊥BC
B．四边形AMCF的面积等于|AC|•|MF|
C．|AF|+|BF|＝|AF|•|BF|
D．直线CA与抛物线相切
【分析】联立抛物线方程与直线方程，可得y2﹣4ty﹣4＝0，再应用向量乘法的数量积，即可判断A选项，运用向量乘法的数量积，可得，即二者垂直，四边形AMCF的面积为，故选项B错误，分别计算|AF|+|BF|和|AF|•|BF|的值，即可判断C选项，先求出以A为切点的切线，C点在切线上，即直线CA与抛物线相切，即可判断D选项．
【解答】解：∵抛物线y2＝4x，
∴2p＝4，即p＝2，焦点F（1，0），准线方程x＝﹣1，
设，直线AB的方程为x＝ty+1，
联立方程，
可得y2﹣4ty﹣4＝0，
∴y1y2＝﹣4，
∵A，B两点在准线上的射影分别为M，N，线段MN的中点为C，
∴，
∴，，
∴＝，
∵y1y2＝﹣4，
∴，故A选项正确，
∵M(﹣1，y1），F（1，0），
∴，
∴＝，
∴AC⊥MF，
∴四边形AMCF的面积等于，故B选项错误，
根据抛物线的定义可得|AF|＝，，
∴，
∵y1y2＝﹣4，
∴＝，
∴|AF|+|BF|＝|AF|•|BF|，故C选项正确，
设点 在x轴上方，
当y＞0时，∵y2＝4x，
∴，
∴抛物线以点A为切线的方程为＝，
当x＝﹣1时，＝，
∵点C的坐标为，
∴点C在以点A为切点的切线上，
∴直线CA与抛物线相切，故D选项正确，
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1﹣i（i为虚数单位），则|z12+z2|＝　　．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何含义和复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵z1＝1﹣i，
∴复数z1在复平面内的对应点为（1，﹣1），
∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴复数z2在复平面内的对应点为（﹣1，﹣1），
∴z2＝﹣1﹣i，
∴|z12+z2|＝|（1﹣i）2+（﹣1﹣i）|＝．
故答案为：．
14．（5分）重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久．奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉．据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），现任取100个奉节脐橙，设其果实横径在[75，90）的个数为X，则E（X）＝　81.86　．
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545；
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性和期望公式，即可求解．
【解答】解：∵奉节脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），
∴σ＝5，P（80﹣5＜X＜80+5）＝0.6827，即P（75＜X＜85）＝0.6827，
∵P（80﹣10＜X＜80+10）＝0.9545，
∴P（85＜X＜90）＝，
∴果实横径在[75，90）的概率P＝0.6827+0.1359＝0.8186，
E（X）＝nP＝100×0.8186＝81.86．
故答案为：81.86．
15．（5分）设函数f（x）＝，若f（f（））＝4，则a＝　　．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（）＝﹣a，对﹣a分2种情况讨论，结合函数的解析式求出a的值，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，
则f（）＝2×﹣a＝﹣a，
当﹣a＜1，即a＞﹣，则f（f（））＝f（﹣a）＝2×（﹣a）﹣a＝1﹣3a＝4，
解可得：a＝﹣1，不符合题意，
当﹣a≥1，即a≤﹣，则f（f（））＝f（﹣a）＝＝4，
解可得：a＝﹣，符合题意，
综合可得：a＝﹣，
故答案为：﹣．
16．（5分）早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36°按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于 　　．

【分析】设正二十面体的棱长为l，可以把正五边形的外接圆半径为r用l表示，正五棱锥的顶点到底面的距离h也用l表示，再由勾股定理建立关于R的方程，把R也用l表示，从而求出正二十面体的外接球表面积用l表示，正二十面体的表面积即20个等边三角形的面积之后，求出来用l表示，从而作商得到答案．
【解答】解：由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，
设其半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为l，
则，得，
所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，
所以R2＝r2+（R﹣h）2，即，解得．
所以该正二十面体的外接球表面积为，
而该正二十面体的表面积是，
所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA＝2bcosB．
（1）求B；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可得解cosB的值，进而可求B．
（2）由已知结合三角形面积公式可求出ac，然后结合余弦定理可求a+c，进而可求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵2bcosB＝acosC+ccosA，由正弦定理可得：2cosBsinB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB＝，
∵0＜B＜π，
∴B＝．
（2）由，△ABC的面积为＝acsinB＝ac，解得ac＝20，
由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，可得12＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣60，
所以a+c＝6，
故△ABC的周长为a+b+c＝6+2．
18．（12分）数列{bn}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Tn，b1＝2，T4＝5T2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3＝b3，a1+a9＝﹣4．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）是否存在大于2的正整数m，使得4S1，S3，Sm成等比数列？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由已知结合等比数列的求和公式列式求解q，即可求得等比数列的通项公式；再由已知列等差数列的首项与公差的方程组，求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）求出等差数列的前n项和，结合等比数列的性质即可求得m值．
【解答】解：（1）由题意可知，q＞0且q≠1，
则，
∴1+q2＝5，解得q＝2（q＞0），则；
在等差数列{an}中，
由a1+a3＝b3，a1+a9＝﹣4，得，解得．
∴an＝6﹣2(n﹣1)＝﹣2n+8；
（2），
若4S1，S3，Sm成等比数列，则，
∴122＝24（﹣m2+7m），即m2﹣7m+6＝0，
解得m＝6或m＝1（舍）．
∴存在大于2的正整数m＝6，使得4S1，S3，Sm成等比数列．
19．（12分）如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB为圆锥底面⊙O的直径，在底面内以线段AO为直径作⊙M，点P为⊙M上异于点A，O的动点．
（1）证明：平面SAP⊥平面SOP；
（2）当三棱锥S﹣APO的体积最大时，求二面角A﹣SP﹣B的余弦值．

【分析】（1）推导出SO⊥AP，PO⊥AP，从而AP⊥平面SOP，由此能证明平面SAP⊥平面SOP．
（2）设圆锥的母线长为l，底面半径为r，推导出l＝2r，OA⊥OC，SO⊥OA，SO⊥OC，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SP﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵SO垂直于圆锥的底面，∴SO⊥AP，
∵AO为⊙M的直径，∴PO⊥AP，∴AP⊥平面SOP，
∵AP⊂平面SAP，∴平面SAP⊥平面SOP．
（2）解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
∴圆锥的侧面积S侧＝，底面积S底＝πr2，
∴依题意2πr2＝πrl，∴l＝2r，
取r＝2，l＝4，则在△ABS中，AB＝AS＝BS＝4，∴SO＝＝2，
如图，在底面作⊙O的半径OC，使得OA⊥OC，
∵SO⊥OA，SO⊥OC，
∴以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），B（﹣2，0，0），S（0，0，2），
在三棱锥S﹣APO中，∵SO＝2，∴△AOP面积最大时，三棱锥S﹣APO的体积最大，此时MP⊥OA，
∵⊙M的半径为1，∴P（1，1，0），
＝（﹣1，1，0），＝（3，1，0），取a＝1，得＝（1，1，﹣2），
设平面SAP的法向量＝（a，b，c），
则，取a＝1，得＝（1，1，），
设平面SBP的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝﹣1，得＝（﹣1，3，），
设二面角A﹣SP﹣B的平面角为θ，由图得θ为钝角，
∴cosθ＝﹣＝﹣＝﹣，
∴二面角A﹣SP﹣B的余弦值﹣．

20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且经过点（1，），点F1，F2为椭圆C的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线x＝1交于点P．若＝，且点Q满足＝，求△PQF1面积的最小值．

【分析】（1）由离心率e＝，且经过点（1，），列方程组，解得a，b，即可得出答案；
（2）分直线l1的斜率为0和直线l1的斜率不为0，两种情况讨论S的最值即可．
【解答】解：（1）由题意，得，解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆的方程为+＝1．
（2）由（1）可得F1（﹣1，0），
若直线l1的斜率为0，则l2的方程为x＝﹣1与直线x＝1无交点，不满足条件；
设直线l1：x＝my﹣1，若m＝0，则λ＝1则不满足＝λ，所以m≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），
由，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
所以y1+y2＝，y1y2＝﹣，
因为，即，
则﹣y1＝λy2，y1﹣y0＝λ（y2﹣y0），
所以λ＝﹣＝，解得y0＝＝﹣，
于是|F1Q|＝•，直线l2的方程为x＝﹣y﹣1，
联立，解得P（1，﹣2m），所以|PF1|＝2．
所以S＝|F1Q|•|F1P|＝＝3（|m|+）≥6，
当且仅当m＝±1时，（S）min＝6．
21．（12分）某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如图频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计这50位农民的平均年收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）．
（2）为推进精准扶贫，某企业开设电商平台进行扶贫，让越来越多的农村偏远地区的农户通过经营网络商城脱贫致富．甲计划在A店，乙计划在B店同时参加一个订单“秒杀”抢购活动，其中每个订单由n（n≥2，n∈N*）个商品W构成，假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、商品W总数量分别为X，Y．
①求X的分布列及数学期望E（X）；
②若，，求当Y的数学期望E（Y）取最大值时正整数n的值．

【分析】（1）根据频率分布直方图，可以直接计算出平均数；
（2）由题意可知X的取值分别为0，1，2，分别计算出对应的概率即可，再对E（Y）进行分析即可解决．
【解答】解：（1）＝12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.1+22×0.06+24×0.04＝17.40（千元）；
（2）①X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝（1﹣p）（1﹣q），
P（X＝1）＝p（1﹣q）+q（1﹣p），
P（X＝2）＝pq，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P
（1﹣p）（1﹣q）
P（1﹣q）+q（1﹣p）
pq
E（X）＝p（1﹣q）+q（1﹣p）+2pq＝p+q，
②E（Y）＝nE（X）＝n＝2sin﹣，
令t＝∈（0，，
设f（t）＝2sin（πt）﹣πt，则E（Y）＝f（t），
又f′（t）＝2πcosπt﹣π，且，
当t∈（0，]时，f′（t）≥0，
t∈（时，f′（t）≤0，
即f（t）在（0，）上单调递增，在（）上单调递减，
故t＝，此时n＝3，时取最大值f（）＝，
即n＝3时，E（Y）取最大值为．
22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x2+x．
（1）若f（x）单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数F（x）＝f（x+1）﹣3x﹣2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．
【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≥﹣2x2﹣x恒成立，根据函数的单调性求出a的取值范围即可；
（2）求出a的取值范围，根据＝2x2ln（x2+1）﹣（x2﹣1）﹣，令t＝x2+1，则t∈（，1），得到＝2（t﹣1）lnt+2﹣t﹣，设函数r（t）＝2（t﹣1）lnt+2﹣t﹣（t∈（，1）），求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．
【解答】解：（1）由题意知对任意x∈（0，+∞），
f′（x）＝+2x+1≥0恒成立，
即对任意x∈（0，+∞），a≥﹣2x2﹣x恒成立，
易知函数y＝﹣2x2﹣x在（0，+∞）上单调递减，
故y＝﹣2x2﹣x＜0，x∈（0，+∞），
故a≥0，即a的取值范围是[0，+∞）．
（2）F（x）＝f（x+1）﹣3x﹣2＝aln（x+1）+x2（x＞﹣1），
由题意知x1，x2是F′（x）＝+2x＝＝0（x＞﹣1）的两个根，
即x1，x2是方程2x2+2x+a＝0（x＞﹣1）的两个根，
则，解得：0＜a＜，
且x1+x2＝﹣1，x1x2＝＞0，则﹣1＜x1＜﹣＜x2＜0，
要证F（x2）+（﹣ln2）x1＞0，只需证F（x2）＞（ln2﹣）x1，
即证＜ln2﹣，＝＝，
∵2+2x2+a＝0，∴a＝﹣2﹣2x2，
从而＝2x2ln（x2+1）﹣（x2﹣1）﹣，
令t＝x2+1，则t∈（，1），＝2（t﹣1）lnt+2﹣t﹣，
设函数r（t）＝2（t﹣1）lnt+2﹣t﹣（t∈（，1）），
则r′（t）＝2lnt+﹣+1，
设k（t）＝2lnt+﹣+1，（t∈（，1）），
则k′（t）＝﹣+＝，
易知存在t0∈（，1），使得+t0﹣1＝0，
且当t∈（，t0）时，k′（t）＜0，当t∈（t0，1）时，k′（t）＞0，
故函数r′（t）在（，t0）递减，在（t0，1）递增，
故r′（t）＜0，故r（t）＝2（t﹣1）lnt+2﹣t﹣在t∈（，1）上单调递减，
从而r（t）＜r（）＝ln2﹣，
故＜ln2﹣，原命题成立．