2021年广东省高考数学预测猜题试卷

这是一份2021年广东省高考数学预测猜题试卷，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省高考数学预测猜题试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，则M∩N＝（　　）
A．（1，3] B．∅ C．{2，3} D．{1，2，3}
2．（5分）复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（　　）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面
C．若m⊥α，n∥α，则直线m与n一定垂直
D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n一定平行
4．（5分）某公司为了改进管理模式，决定对销售员实行目标管理，即给销售员确定一个具体的月销售目标，目标是否合适，将直接影响公司的效益和发展，如果目标过高，多数销售员完不成任务，会使销售员失去信心；目标过低，不利于挖掘销售员的工作潜力．现该公司统计了100名职工某月的销售额，制成如图所示的频率分布直方图，则使65%的员工都能够完成的销售额指标是（　　）

A．7.5万元 B．8万元 C．7.6万元 D．7.7万元
5．（5分）一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（　　）
A．na（1﹣b%） B．a（1﹣nb%） C．a（1﹣b%）n D．a[1﹣（b%）n]
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+）﹣在[0，π]上有两个零点，则实数m的取值范围为（　　）
A．[﹣，2] B．[，2） C．（，2] D．[，2]
7．（5分）已知单位向量，满足|﹣|+2•＝0，则|t+|（t∈R）的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）如图，直线x＝t与函数f（x）＝log3x和g（x）＝log3x﹣1的图象分别交于点A，B，若函数y＝f（x）的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为（　　）

A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．（5分）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦点．若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则（　　）
A．双曲线的方程可以是
B．双曲线的渐近线方程是
C．双曲线的离心率为
D．△PF1F2的面积为
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b＜4，c＝7，且满足（2a﹣b）cosC＝ccosB，则下列结论正确的是（　　）
A．C＝60° B．△ABC的面积为
C．b＝2 D．△ABC为锐角三角形
11．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝，则f（x）、g（x）满足（　　）
A．f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）
B．f（﹣2）＜f（3），g（﹣2）＜g（3）
C．f（2x）＝2f（x）•g（x）
D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝1
12．（5分）某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C，D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点个数，则（　　）
A．该游客至多游览一个景点的概率为
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知直线和圆C：x2+（y﹣1）2＝1相切，则实数k＝　 　．
14．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝3（a2+a3），则＝　 　．
15．（5分）的展开式中，x5项的系数是 　 　．
16．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，点A在平面BCD上的射影与点D重合，AD＝CD＝4．若∠CBD＝135°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若2b，csinC的等比中项为c．
（1）求B的大小；
（2）若a＞b，求的取值范围．
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15＝225，a3+a6＝16．
（Ⅰ）证明：是等差数列；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：天）
[0，2]
（2，4]
（4，6]
（6，8]
（8，10]
（10，12]
（12，14]
人数
85
205
310
250
130
15
5
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

潜伏期≤6天
潜伏期＞6天
总计
50岁以上（含50岁）


100
50岁以下
55


总计


200
（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：
P（K2≥k0）
0.05
0.025
0.010
k0
3.841
5.024
6.635
，其中n＝a+b+c+d．
20．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC的中点，F为AD的中点，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面BEF⊥平面PAD；
（2）若PC与底面ABCD所成的角为，求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．

21．（12分）已知函数，a，b∈R．
（1）当b＝﹣1时，讨论函数f（x）的零点个数；
（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，且c≤e2a+b，求c的最大值．
22．（12分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．

2021年广东省高考数学预测猜题试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，则M∩N＝（　　）
A．（1，3] B．∅ C．{2，3} D．{1，2，3}
【分析】可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：M＝{x|0＜x﹣1≤2}＝{x|1＜x≤3}，N＝{x∈Z|x＜﹣1或x＞1}，
∴M∩N＝{x∈Z|1＜x≤3}＝{2，3}．
故选：C．
2．（5分）复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何含义，即可求解．
【解答】解：，其在复平面内对应点，位于第二象限．
故选：B．
3．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（　　）
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面
C．若m⊥α，n∥α，则直线m与n一定垂直
D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n一定平行
【分析】对于A，直线m与n相交、平行或异面；对于B，由线面垂直、面面垂直的性质得直线m与n垂直；对于C，由线面垂直、线面平行的性质得直线m与n一定垂直；对于D，直线m与n平行或异面．
【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
对于A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质得直线m与n垂直，故B错误；
对于C，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直、线面平行的性质得直线m与n一定垂直，故C正确；
对于D，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．
故选：C．
4．（5分）某公司为了改进管理模式，决定对销售员实行目标管理，即给销售员确定一个具体的月销售目标，目标是否合适，将直接影响公司的效益和发展，如果目标过高，多数销售员完不成任务，会使销售员失去信心；目标过低，不利于挖掘销售员的工作潜力．现该公司统计了100名职工某月的销售额，制成如图所示的频率分布直方图，则使65%的员工都能够完成的销售额指标是（　　）

A．7.5万元 B．8万元 C．7.6万元 D．7.7万元
【分析】按照频率分布直方图中求数据第百分之六十五分位数求法计算即可．
【解答】解：由频率分布直方图可知，销售额在区间[7.5，10.5]上的频率为0.25+0.23+0.17＝0.65，
因此使65%的员工都能够完成的销售额指标为7.5万元．
故选：A．
5．（5分）一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（　　）
A．na（1﹣b%） B．a（1﹣nb%） C．a（1﹣b%）n D．a[1﹣（b%）n]
【分析】根据题意可知第一年后，第二年后以及以后的每年的价值成等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得答案．
【解答】解：依题意可知第一年后的价值为a（1﹣b%），第二年价值为a（1﹣b%）2，
依此类推可知每年的价值成等比数列，其首项a（1﹣b%）公比为1﹣b%，
进而可知n年后这批设备的价值为a（1﹣b%）n
故选：C．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+）﹣在[0，π]上有两个零点，则实数m的取值范围为（　　）
A．[﹣，2] B．[，2） C．（，2] D．[，2]
【分析】由f（x）＝0得sin（x+）＝，然后求出函数y＝sin（x+）在[0，π]上的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由f（x）＝0得sin（x+）＝，
作出函数y＝g（x）＝sin（x+）在[0，π]上的图象，如图：
由图象可知当x＝0时，g（0）＝sin＝，
函数g（x）的最大值为1，
∴要使f（x）在[0，π]上有两个零点，
则，即，
故选：B．

7．（5分）已知单位向量，满足|﹣|+2•＝0，则|t+|（t∈R）的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用已知条件推出的值，化简|t+|，利用二次函数的性质求解最小值即可．
【解答】解：由|﹣|+2•＝0，得|﹣|＝﹣2•，
两边平方，得，
即，
所以＝，或，
因为|﹣|＝﹣2•≥0，所以＝，
所以|t+|＝＝＝≥，t＝时，表达式取得最小值．
故选：B．
8．（5分）如图，直线x＝t与函数f（x）＝log3x和g（x）＝log3x﹣1的图象分别交于点A，B，若函数y＝f（x）的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】求出A，B的坐标，设出C的坐标，根据中点坐标公式求出t的值即可．
【解答】解：由题意A（t，log3t），B（t，log3t﹣1），|AB|＝1，
设C（x，log3x），因为△ABC是等边三角形，
所以点C到直线AB的距离为，所以，，
根据中点坐标公式可得，
所以，解得，
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．（5分）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦点．若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则（　　）
A．双曲线的方程可以是
B．双曲线的渐近线方程是
C．双曲线的离心率为
D．△PF1F2的面积为
【分析】利用双曲线的定义以及性质，通过求解三角形，转化推出双曲线方程，得到渐近线方程，离心率以及面积，判断选项的正误即可．
【解答】解：如图，∵O为F1F2的中点，∴，∴，
即．
又∵，∴．①
又由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴．
即．②
由①﹣②得，∴．
在△F1PF2中，由余弦定理得，∴8a2＝20a2﹣4c2，即c2＝3a2．
又∵c2＝a2+b2，∴b2＝2a2，即．∴双曲线的渐近线方程为．
双曲线的离心率为，双曲线的方程可以是，△PF1F2的面积．故BC正确．

故选：BC．
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b＜4，c＝7，且满足（2a﹣b）cosC＝ccosB，则下列结论正确的是（　　）
A．C＝60° B．△ABC的面积为
C．b＝2 D．△ABC为锐角三角形
【分析】先利用正弦定理化简，整理后可求出角C判断A，利用余弦定理判断CD，利用三角形的面积公式判断B．
【解答】解：∵（2a﹣b）cosC＝ccosB，∴（2sinA﹣sinB）cosC＝sinCcosB，
∴2sinAcosC＝sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC＝sin（B+C），
∴2sinAcosC＝sinA．
∵在△ABC中，sinA≠0，∴，∴C＝60°，A正确，
由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，得49＝64+b2﹣2×8bcos60°，
即b2﹣8b+15＝0，解得b＝3或b＝5，又b＜4，∴b＝3，C错误，
∵△ABC的面积，B正确，
又∵，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，D错误．
故选：AB．
11．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝，则f（x）、g（x）满足（　　）
A．f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x）
B．f（﹣2）＜f（3），g（﹣2）＜g（3）
C．f（2x）＝2f（x）•g（x）
D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝1
【分析】根据函数解析式分别代入进行验证即可．
【解答】解：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），g（﹣x）＝＝g（x）．故A正确，
f（x）为增函数，则f（﹣2）＜f（3），成立，g（﹣2）＝，g（3）＝＞g（﹣2），故B正确，
2f（x）•g（x）＝2ו＝2×＝2f（2x），故C正确，
[f（x）]2﹣[g（x）]2＝[f（x）+g（x）]．[f（x）﹣g（x）]＝ex•（﹣e﹣x）＝﹣1，故D错误，
故选：ABC．
12．（5分）某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C，D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览的景点个数，则（　　）
A．该游客至多游览一个景点的概率为
B．
C．
D．
【分析】X的所有可能取值为0，1，2，3，4．
A．分类讨论，该游客一个景点也没有旅游和只游一个景点两种情况：利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出结论．
B．利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出P（X＝2）．
C．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出P（X＝4）．
D．利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出P（X＝3），进而得出E（X）．
【解答】解：X的所有可能取值为0，1，2，3，4．
A.，P（x＝1）＝×+3××＝，
∴该游客至多游览一个景点的概率为，故A正确．
B．P（X＝2）＝×××+×××＝，故B正确．
C.，故C错误．
D．P（X＝3）＝×××+（1﹣）××＝，
∴，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知直线和圆C：x2+（y﹣1）2＝1相切，则实数k＝　或0　．
【分析】利用圆心到切线的距离等于半径，由点到直线的距离公式列出等式，求解即可．
【解答】解：由直线与圆相切可知，，化简得，解得或0．
故答案为：或0．
14．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝3（a2+a3），则＝　　．
【分析】根据等差数列是性质可得S5＝5a3，结合已知条件S5＝3（a2+a3）即可求出的值．
【解答】解：由题意知，又S5＝3（a2+a3），
所以5a3＝3（a2+a3），则．
故答案为：．
15．（5分）的展开式中，x5项的系数是 　﹣4　．
【分析】求出（x﹣）5的通项公式，即可求出x5项的系数．
【解答】解：的展开式的通项为＝．
令5﹣2r＝5，则r＝0，因此的展开式中，x5项的系数是；
令5﹣2r＝3，则r＝1，因此的展开式中，x3项的系数是．
故（x2+1）的展开式中，x5项的系数是1﹣5＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，点A在平面BCD上的射影与点D重合，AD＝CD＝4．若∠CBD＝135°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为 　　．
【分析】由题意画出图形，求解三角形可得三角形BCD外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，代入球的体积公式可得三棱锥A﹣BCD的外接球的体积．
【解答】解：如图，
设△BCD的外接圆的圆心为O1，半径为r，三棱锥A﹣BCD的外接球的球心为O，
半径为R，则OO1⊥平面BCD，故，
在△BCD中，由正弦定理得2r＝＝4，故r＝，
则R＝，
故球O的体积为V＝．
故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若2b，csinC的等比中项为c．
（1）求B的大小；
（2）若a＞b，求的取值范围．
【分析】（1）由已知结合等比中项行政可得2bsinC＝，然后结合正弦定理可求sinB，进而可求B，
（2）由已知结合大边对大角可得A＞B，从而可求A的范围，然后结合正弦定理及正弦函数的性质可求．
【解答】解：（1）由已知得，3c2＝2b×csinC，即2bsinC＝，
由正弦定理得2sinBsinC＝sinC，
由△ABC为锐角三角形可知sinC＞0，
所以sinB＝，B＝，
（2）由a＞b得A＞B，因而A∈（，），
由正弦定理，得＝＝，
＝＝，
＝＝＝，
又，
所以tan，
所以∈（），
所以∈（，），
即的范围（，）．
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15＝225，a3+a6＝16．
（Ⅰ）证明：是等差数列；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，求得Sn，即可得证；
（Ⅱ）＝（2n﹣1）•2n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（Ⅰ）证明：等差数列{an}的公差设为d，前n项和为Sn，且S15＝225，a3+a6＝16．
可得15a1+105d＝225，2a1+7d＝16，
解得a1＝1，d＝2，
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
Sn＝n（1+2n﹣1）＝n2，即有＝n，
可得是首项，公差均为1的等差数列；
（Ⅱ）＝（2n﹣1）•2n，
前n项和Tn＝1•21+3•22+…+（2n﹣1）•2n，
2Tn＝1•22+3•23+…+（2n﹣1）•2n+1，
相减可得﹣Tn＝2+2[22+…+2n]﹣（2n﹣1）•2n+1，
＝2+2•﹣（2n﹣1）•2n+1，
化简可得Tn＝6+（2n﹣3）•2n+1．
19．（12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：天）
[0，2]
（2，4]
（4，6]
（6，8]
（8，10]
（10，12]
（12，14]
人数
85
205
310
250
130
15
5
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

潜伏期≤6天
潜伏期＞6天
总计
50岁以上（含50岁）


100
50岁以下
55


总计


200
（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：
P（K2≥k0）
0.05
0.025
0.010
k0
3.841
5.024
6.635
，其中n＝a+b+c+d．
【分析】（1）根据统计数据计算平均数即可；
（2）根据题意补充完整列联表，计算K2，对照临界值得出结论；
（3）根据题意知随机变量X～B（20，），计算概率P（X＝k），列不等式组并结合题意求出k的值．
【解答】解：（1）根据统计数据，计算平均数为
＝×（1×85+3×205+5×310+7×250+9×130+11×15+13×5）＝5.4（天）；
（2）根据题意，补充完整列联表如下；

潜伏期≤6天
潜伏期＞6天
总计
50岁以上（含50岁）
65
35
100
50岁以下
55
45
100
总计
120
80
200
根据列联表计算K2＝＝≈2.083＜3.841，
所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；
（3）根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为＝，
设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X～B（20，），
P（X＝k）＝••，k＝0，1，2，…，20；
由，
得，
化简得，解得≤k≤；
又k∈N，所以k＝8，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人．
20．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC的中点，F为AD的中点，平面PAD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面BEF⊥平面PAD；
（2）若PC与底面ABCD所成的角为，求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．

【分析】（1）连接PF，易知四边形BCDF为平行四边形，故BF∥CD，BF⊥AD；由面面垂直的性质可证得PF⊥平面ABCD，于是PF⊥BF，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证；
（2）连接CF，由（1）知，PF⊥平面ABCD，故∠PCF为直线PC与平面ABCD所成的角；取CF的中点M，过M作MO⊥BF于点O，连接EM、EO，易知EM⊥平面ABCD，故∠EOM为二面角E﹣BF﹣D的平面角；然后由勾股定理、中位线的性质等可求得EM和OM的长，于是可得tan∠EOM和cos∠EOM；最后根据二面角E﹣BF﹣D与二面角E﹣BF﹣A互补即可得解．
【解答】（1）证明：连接PF，
∵F为AD的中点，∴DF＝AD＝BC，
又∵BC∥AD，∴四边形BCDF为平行四边形，∴BF∥CD，
∵AD⊥DC，∴BF⊥AD．
∵PA＝PD，F为AD的中点，∴PF⊥AD，
∵PF⊂平面PAD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，∴PF⊥平面ABCD，∴PF⊥BF．
∵AD、PF⊂平面PAD，AD∩PF＝F，∴BF⊥平面PAD，
∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD．

（2）解：连接CF，
由（1）知，PF⊥平面ABCD，∴∠PCF为直线PC与平面ABCD所成的角，即∠PCF＝．
取CF的中点M，过M作MO⊥BF于点O，连接EM、EO，则点O为BF的中点，
∵E为PC的中点，∴EM∥PF，∴EM⊥平面ABCD，
∴∠EOM为二面角E﹣BF﹣D的平面角．
在Rt△CDF中，CF＝＝＝，
在Rt△PFC中，∠PCF＝，∴PF＝，∴EM＝PF＝，
∵O、M分别为BF和CF的中点，∴OM＝BC＝，
∴tan∠EOM＝＝，cos∠EOM＝．
由图可知，二面角E﹣BF﹣D与二面角E﹣BF﹣A互补，
故二面角E﹣BF﹣A的余弦值为．
21．（12分）已知函数，a，b∈R．
（1）当b＝﹣1时，讨论函数f（x）的零点个数；
（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，且c≤e2a+b，求c的最大值．
【分析】（1）当b＝﹣1时，，x∈（0，+∞），由f（x）＝0⇒，构造函数，令，则，分析其单调情况，并作出函数g（x）的大致图象，即可判断函数f（x）的零点个数；
（2）f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）＝ax+b﹣lnx≥0在（0，+∞）上恒成立．设h（x）＝ax+b﹣lnx，则．分①若a＝0，②若a＜0，③a＞0，三类讨论，结合题意c≤e2a+b，即可求得c的最大值．
【解答】解：（1）当b＝﹣1时，，定义域为（0，+∞），
由f（x）＝0可得，
令，则，
由g'（x）＞0，得0＜x＜e，由g'（x）＜0，得x＞e，
所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
则g（x）的最大值为，
且当x＞e时，，当0＜x≤e时，，
由此作出函数g（x）的大致图象，如图所示．

由图可知，当时，直线和函数g（x）的图象有两个交点，即函数f（x）有两个零点；
当或，即或a≤0时，直线和函数g（x）的图象有一个交点，即函数f（x）有一个零点；
当即时，直线与函数g（x）的图象没有交点，即函数f（x）无零点．
（2）f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）＝ax+b﹣lnx≥0在（0，+∞）上恒成立．
设h（x）＝ax+b﹣lnx，则．
①若a＝0，则h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，显然f'（x）＝b﹣lnx≥0
在（0，+∞）上不恒成立，
②若a＜0，则h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，当时，ax+b＜0，﹣lnx＜0，故h（x）＜0，f（x）单调递减，不符合题意．
③若a＞0，当时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以，
由h（x）min≥0，得2a+b≥2a﹣1﹣lna，
设m（x）＝2x﹣1﹣lnx，x＞0，则，
当时，m'（x）＜0，m（x）单调递减，
当时，m'（x）＞0，m（x）单调递增，
所以，所以2a+b≥ln2，
又c≤e2a+b，所以c≤2，即c的最大值为2．
22．（12分）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
【分析】（1）由F为C1的焦点且AB⊥x轴，F为C2的焦点且CD⊥x轴，分别求得F的坐标和|AB|，|CD|，由已知条件可得p，c，a，b的方程，消去p，结合a，b，c和e的关系，解方程可得e的值；
（2）由（1）用c表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得M的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得c，进而得到所求曲线方程．
【解答】解：（1）因为F为C1的焦点且AB⊥x轴，
可得F（c，0），|AB|＝，
设C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），
因为F为C2的焦点且CD⊥x轴，所以F（，0），|CD|＝2p，
因为|CD|＝|AB|，C1，C2的焦点重合，所以，
消去p，可得4c＝，所以3ac＝2b2，
所以3ac＝2a2﹣2c2，
设C1的离心率为e，由e＝，则2e2+3e﹣2＝0，
解得e＝（﹣2舍去），故C1的离心率为；
（2）由（1）可得a＝2c，b＝c，p＝2c，
所以C1：+＝1，C2：y2＝4cx，
联立两曲线方程，消去y，可得3x2+16cx﹣12c2＝0，
所以（3x﹣2c）（x+6c）＝0，解得x＝c或x＝﹣6c（舍去），
从而|MF|＝x+＝c+c＝c＝5，
解得c＝3，
所以C1和C2的标准方程分别为+＝1，y2＝12x．