2021年湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高考数学仿真模拟试卷

这是一份2021年湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高考数学仿真模拟试卷，共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高考数学仿真模拟试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝lnx}，则A∩B＝（　　）
A．φ B．{1} C．{（1，0）} D．（1，0）
2．（5分）复数+（1﹣i）2的实部为a，虚部为b，则a+b＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
3．（5分）函数f（x）＝sinx•ln（ex+e﹣x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：
甲说：获奖者在乙丙丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中的一人获奖；
丁说：乙猜测的是对的．
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符，已知两人获奖，则获奖的是（　　）
A．甲和丁 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁
5．（5分）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为正三角形，PC⊥AC，PA＝PB，且PC+AC＝4．若三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，则球O的半径的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）设函数f（x）＝（x2+a）ex在R上存在最小值（其中e为自然对数的底数，a∈R），则函数g（x）＝x2+x+a的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的有（　　）
A．ab≤1 B．a+b≤2 C．a2+b2≥2 D．
10．（5分）初中学习过反比例函数（k≠0），了解其图象是关于原点O中心对称的双曲线．下列关于双曲线（k≠0）的几何性质正确的是（　　）
A．实轴和虚轴长都为
B．焦点坐标为，
C．离心率
D．渐近线方程为xy＝0，对称轴方程为y＝±x
11．（5分）已知奇函数f（x）与偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）＝ex（其中e为自然对数的底数），则下列结论中正确的是（　　）
A．f2（x）﹣g2（x）＝1
B．g（2x）＝f2（x）+g2（x）
C．f（2x）＝2f（x）g（x）
D．当x＜0，时，恒有g（x）+x﹣1＞f（x）+ax2成立
12．（5分）设随机变量ξ的分布列如表：
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
则下列正确的是（　　）
A．当{an}为等差数列时，
B．数列{an}的通项公式可以为
C．当数列{an}满足时，
D．当数列{an}满足P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，⋯10）时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是　 　．
14．（5分）已知三棱锥有一个面是边长为2的正三角形，两个面为等腰直角三角形，该三棱锥的体积可能为 　 　.（只需要写出一个即可，不必全部写出）
15．（5分）已知函数，（a＞0，ω＞0）的最大值为，若f（x）在区间[0，π]上的取值范围是，则实数ω的取值范围是 　 　．
16．（5分）已知实数a，b，c，d，满足（其中e是自然对数的底数），那么（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinA＝3sinB，a＝6bcosC，．
（Ⅰ）求角C和b的值；
（Ⅱ）求的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝logkx（k为常数，k＞0且k≠1）．
（1）在下列条件中选择一个，使数列{an}是等比数列，并说明理由．
①数列{f（an）}是首项为2，公比为2的等比数列；
②数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列{f（an）}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当时，设b1＝a1，bn＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，（n≥2，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如表：
用气居民编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用气量（立方米）
95
106
112
161
210
227
256
313
325
457
（1）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；
（2）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P（k），求使P（k）取到最大值时，k的值．
20．（12分）已知椭圆Ω：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为椭圆Ω上的动点，且满足的最大值为3．
（1）求椭圆Ω的标准方程；
（2）过椭圆Ω的右焦点F2的直线l与椭圆Ω交于A，B两点，若原点O为△ABC的重心，当△ABC的面积时，求直线l的方程．
21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC，AP＝PC，∠ABC＝60°，AP⊥PC，直线BP与平面ABC成30°角，D为AC的中点，＝λ，λ∈（0，1）．
（Ⅰ）若PB＞PC，求证：平面ABC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PB＜PC，求直线BQ与平面PAB所成角的正弦值的取值范围．

22．（12分）已知函数f（x）＝axlnx+bx在点处取极值（其中e是自然对数的底数），函数g（x）＝﹣x2+λx﹣3．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对∀x1，，且x1≠x2都有成立，求实数λ的取值范围．

2021年湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高考数学仿真模拟试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝lnx}，则A∩B＝（　　）
A．φ B．{1} C．{（1，0）} D．（1，0）
【分析】可解出方程组，然后即可得出A∩B．
【解答】解：解得，，
∴A∩B＝{（1，0）}．
故选：C．
2．（5分）复数+（1﹣i）2的实部为a，虚部为b，则a+b＝（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出a与b的值得答案．
【解答】解：∵+（1﹣i）2＝＝，
∴a＝，b＝，
则a+b＝．
故选：B．
3．（5分）函数f（x）＝sinx•ln（ex+e﹣x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，先分析f（x）的奇偶性，再分析区间（0，π）和（π，2π）上f（x）的符号，利用排除法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝sinx•ln（ex+e﹣x），其定义域为R，
有f（﹣x）＝﹣sinx•ln（ex+e﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，排除D，
在区间（0，π）上，sinx＞0，ex+e﹣x＞2，则有f（x）＝sinx•ln（ex+e﹣x）＞0，排除A，
在区间（π，2π）上，sinx＜0，ex+e﹣x＞2，则有f（x）＝sinx•ln（ex+e﹣x）＜0，排除B，
故选：C．
4．（5分）甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：
甲说：获奖者在乙丙丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中的一人获奖；
丁说：乙猜测的是对的．
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符，已知两人获奖，则获奖的是（　　）
A．甲和丁 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁
【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，
可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．
【解答】解：由题意，可知：
∵乙、丁的预测是一样的，
∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．
①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，
根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；
这与丙的预测不成立相矛盾．
故乙、丁的预测不成立，
②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，
∵甲、丙的预测成立，
∴丁必获奖．
∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，
∴丙不获奖，乙获奖．
从而获奖的是乙和丁．
故选：D．
5．（5分）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】这是求4个人去的景点不完全相同的前提下，小赵独自去一个景点的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．
【解答】解：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为3×3×3＝27种
所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27＝108种，
因为4 个人去的景点不相同的可能性44﹣4＝252种，
所以P（B|A）＝＝．
故选：A．
6．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义及条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．
【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），满足为AB的中点，
则|AF|＝2|BF|，∴x1+1＝2（x2+1），∴x1＝2x2+1，
∵|y1|＝2|y2|，∴x1＝4x2，∴x1＝2，x2＝，
∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]＝．
故选：B．
7．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为正三角形，PC⊥AC，PA＝PB，且PC+AC＝4．若三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，则球O的半径的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】取AB的中点D，连结PD，DC，则AB⊥PD，AB⊥DC，AB⊥面PCD，AB⊥PC，且PC⊥AC，PC⊥平面ABC，设AC＝x，则PC＝4﹣x，球O的半径为R，△ABC重心为E，过E作EO⊥平面ABC，当EO＝＝时，O是三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，球半径R＝OP＝OC，由此能求出球O的半径的最小值．
【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为正三角形，则AC＝BC，PA＝PB，
取AB的中点D，连结PD，DC，则AB⊥PD，AB⊥DC，
∵PD∩DC＝D，∴AB⊥面PCD，∴AB⊥PC，且PC⊥AC，
∵AB∩AC＝A，∴PC⊥平面ABC，设AC＝x，则PC＝4﹣x，
设球O的半径为R，△ABC重心为E，
则AE＝＝，
过E作EO⊥平面ABC，当EO＝＝时，
O是三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，球半径R＝OP＝OC，
则R2＝（）2+（x）2＝﹣2x+4，
当x＝时，R2min＝，
∴球O的半径的最小值为Rmin＝．
故选：D．

8．（5分）设函数f（x）＝（x2+a）ex在R上存在最小值（其中e为自然对数的底数，a∈R），则函数g（x）＝x2+x+a的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【分析】法一：f′（x）＝（x2+2x+a）ex，x2+2x+a＝0的判别式△＝4（1﹣a），对a分类讨论，当a≥1时，f'（x）≥0在R恒成立，可得函数f（x）＝（x2+a）ex在R上单调递增，没有最小值；当a＜1时，令f′（x）＝0得，，且x1＜x2，通过研究函数的单调性极值与最值，即可得出a的范围，进而得出结论．
法二：特殊值检验，取a＝0时，函数f（x）＝x2ex在R的最小值为0，即可得出结论．
【解答】解：法一：f′（x）＝（x2+2x+a）ex，x2+2x+a＝0的判别式△＝4（1﹣a），
当a≥1时，x2+2x+a≥0在R恒成立，所以f'（x）＝（x2+2x+a）ex≥0在R恒成立，
所以函数f（x）＝（x2+a）ex在R上单调递增，没有最小值；
当a＜1时，令f′（x）＝0得，，且x1＜x2
x
（﹣∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
当x→﹣∞时，f（x）→0，所以若f（x）有最小值，只需要f（x2）≤0
∵，
∴x2+x+a＝0的判别式△＝1﹣4a≥1＞0，因此g（x）＝x2+x+a有两个零点
法二：特殊值检验，取a＝0时，函数f（x）＝x2ex在R的最小值为0，函数g（x）＝x2+x有两个零点．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的有（　　）
A．ab≤1 B．a+b≤2 C．a2+b2≥2 D．
【分析】利用基本不等式逐一分析四个结论的正误，可得答案．
【解答】解：A：∵a＞0，b＞0，a+b＝2，
∴a+b＝2≥2，∴≤1，即ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，故A正确，
B：∵a+b＝2，2≤2成立，∴a+b≤2成立，故B正确，
C：∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab≥4﹣2＝2，故C正确，
D：∵+＝（+）（a+b）×＝（++3）×≥（2+3），
当且仅当＝时取等号，∴+≥（2+3），故D错误，
故选：ABC．
10．（5分）初中学习过反比例函数（k≠0），了解其图象是关于原点O中心对称的双曲线．下列关于双曲线（k≠0）的几何性质正确的是（　　）
A．实轴和虚轴长都为
B．焦点坐标为，
C．离心率
D．渐近线方程为xy＝0，对称轴方程为y＝±x
【分析】由反比例函数的性质，可得其渐近线为两坐标轴，且为等轴双曲线，分析可得a与b的值，逐一分析各选项得答案．
【解答】解：反比例函数的图象为双曲线，其两条渐近线为坐标轴，即a＝b，即为等轴双曲线，
不妨取k＞0，则实轴在直线y＝x上，

对于A，当k＞0，y＝与y＝x的交点为A（，﹣），B（，），
即为实轴两端点，则实轴|AB|＝2a＝，
∴实轴和虚轴长都为，故A错误；
对于B，c2＝a2+b2＝4|k|，解得c＝2，设焦点F（x，x），
则，解得x＝，
∴焦点坐标为F1（﹣，﹣），F2（，），故B错误；
对于C，∵a＝b，∴离心率e＝＝，故C正确；
对于D，渐近线方程为x＝0和y＝0，即xy＝0，对称轴方程为y＝±x，故D正确．
故选：CD．
11．（5分）已知奇函数f（x）与偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）＝ex（其中e为自然对数的底数），则下列结论中正确的是（　　）
A．f2（x）﹣g2（x）＝1
B．g（2x）＝f2（x）+g2（x）
C．f（2x）＝2f（x）g（x）
D．当x＜0，时，恒有g（x）+x﹣1＞f（x）+ax2成立
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和解析式可得f（x）+g（x）＝ex和f（x）﹣g（x）＝﹣e﹣x，联立可得f（x）、g（x）的解析式，由此分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，奇函数f（x）与偶函数g（x）满足：f（x）+g（x）＝ex，①
而有f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）＝e﹣x，变形可得f（x）﹣g（x）＝﹣e﹣x，②
联立①②可得：f（x）＝（ex﹣e﹣x），g（x）＝（ex+e﹣x），
依次分析选项：
对于A，f2（x）﹣g2（x）＝[f（x）+g（x）][f（x）﹣g（x）]＝﹣1，A错误；
对于B，g（2x）＝（e2x+e﹣2x），而f2（x）+g2（x）＝（e2x+e﹣2x），故有g（2x）＝f2（x）+g2（x），B正确；
对于C，f（2x）＝（e2x﹣e﹣2x），而2f（x）g（x）＝2××（ex﹣e﹣x）（ex+e﹣x）＝（e2x﹣e﹣2x），故有f（2x）＝2f（x）g（x），C正确；
对于D，g（x）+x﹣1＞f（x）+ax2变形可得e﹣x＞ax2﹣x+1，（x＜0），等价于ex＞ax2+x+1，（x＞0）
又，则有
只需要证明，（x＞0）即可，
设h（x）＝ex﹣﹣x﹣1，则其导数h′（x）＝ex﹣x﹣1，h″（x）＝ex﹣1，
当x＞0时，h″（x）＝ex﹣1＞0，则h′（x）＝ex﹣x﹣1为增函数，
且h′（0）＝0，则有h′（x）＞h′（0）＝0在（0，+∞）恒成立，
故h（x）在（0，+∞）上为增函数，
又由h（0）＝0，故h（x）＝ex﹣﹣x﹣1＞0在（0，+∞）恒成立，
故有，（x＞0）即可，
则恒有g（x）+x﹣1＞f（x）+ax2成立，D正确；
故选：BCD．
12．（5分）设随机变量ξ的分布列如表：
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
则下列正确的是（　　）
A．当{an}为等差数列时，
B．数列{an}的通项公式可以为
C．当数列{an}满足时，
D．当数列{an}满足P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，⋯10）时，
【分析】推导出a1+a2+⋯+a10＝1．
对于选项A，由{an}为等差数列，得a1+a2+⋯+a10＝5（a5+a6）＝1，从而；
对于选项B，，求出前10项和不为1，不满足分布列的性质；
对于选项C，由，得；
对于选项D，法一：P（ξ≤k）＝k2ak，则P（ξ≤10）＝100a10＝1，从而，推导出；
法二：令，则，（k＝1，2，⋯9），推导出．
【解答】解：由题目可知a1+a2+⋯+a10＝1．
对于选项A，若{an}为等差数列，则a1+a2+⋯+a10＝5（a5+a6）＝1，所以，因此选项A正确；
对于选项B，，，因此选项B不正确；
对于选项C，，所以，因此选项C正确；
对于选项D，方法一：P（ξ≤k）＝k2ak，
则P（ξ≤10）＝100a10＝1，所以满足题意，
当k≥2时，，则，
所以满足题意，
当2≤n≤9时，＝
则当1≤n≤8时，，因此选项D正确．
方法二：令，则
即，（k＝1，2，⋯9），
于是有＝，
，
解得，于是有，因此选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是　3　．
【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．
【解答】解：∵而项式 ＝（x2+2）•（•﹣•+•﹣•+•﹣1），
故它的展开式的常数项为 ﹣2＝3，
故答案为 3．
14．（5分）已知三棱锥有一个面是边长为2的正三角形，两个面为等腰直角三角形，该三棱锥的体积可能为 　或或　.（只需要写出一个即可，不必全部写出）
【分析】分类讨论可得：
①△BCD是等边三角形，且BA⊥AC，DA⊥AC时，求出三棱锥A﹣BCD的体积为；
②△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC，求出三棱锥体A﹣BCD的体积为；
③△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，求出三棱锥A﹣BCD的体积为．
【解答】解：由题意，分类讨论可得：
①△BCD是等边三角形，且BA⊥AC，DA⊥AC，如图1所示：

所以三棱锥A﹣BCD的体积为V＝××××＝；
②△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC，如图2所示：

所以三棱锥体A﹣BCD的体积为V＝××22×2＝；
③△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，如图3所示：

取AD的中点O，连接BO，CO，可得BO＝CO＝AD＝，
且BO2+CO2＝BC2，所以BO⊥CO，
所以三棱锥A﹣BCD的体积为V＝××××2＝．
故答案为：或或．
15．（5分）已知函数，（a＞0，ω＞0）的最大值为，若f（x）在区间[0，π]上的取值范围是，则实数ω的取值范围是 　[，]　．
【分析】先求出a，利用辅助角公式化简f（x），再得到sin（ωx+）在区间[0，π]上的取值范围是[，1]，最后利用正弦函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：∵函数，（a＞0，ω＞0）的最大值为，
∴+（1+a）2＝，∴a＝2，
∴f（x）＝sinωx+3cosωx＝2sin（ωx+），
∵若f（x）在区间[0，π]上的取值范围是，
∴sin（ωx+）在区间[0，π]上的取值范围是[，1]，
∵当x＝0时，＝，
∴当x＝π时，≤ωπ+≤，∴≤ω≤，
故答案为：[，]．
16．（5分）已知实数a，b，c，d，满足（其中e是自然对数的底数），那么（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为　　．
【分析】根据题意可得b＝ea，d＝ec﹣2，即点A（a，b）的轨迹方程为y＝ex，点B（c，d）的轨迹方程为：y＝ex﹣2，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义为|AB|2，即可计算出答案．
【解答】解：由，得b＝ea，d＝ec﹣2，
即点A（a，b）的轨迹方程为y＝ex，点B（c，d）的轨迹方程为：y＝ex﹣2，
则（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义为|AB|2，
设斜率为e的直线与曲线y＝ex相切且切点为C（x0，y0），
由y′＝ex，则e＝e，解得x0＝1，y0＝e，
由点到直线的距离公式得d＝＝，
即|AB|2min＝（）2＝，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinA＝3sinB，a＝6bcosC，．
（Ⅰ）求角C和b的值；
（Ⅱ）求的值．
【分析】（Ⅰ）由已知结合利用正弦定理求得cosA；再由余弦定理求得b；
（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得sinB，再由倍角公式求得sin2B，cos2B，展开两角和的正弦得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a＝3b，
则，
所以C＝60°．
由，
解得b＝1．
（Ⅱ）由正弦定理，
得，
因为B为锐角，所以，
可得，，
因此．
18．（12分）已知函数f（x）＝logkx（k为常数，k＞0且k≠1）．
（1）在下列条件中选择一个，使数列{an}是等比数列，并说明理由．
①数列{f（an）}是首项为2，公比为2的等比数列；
②数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列{f（an）}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当时，设b1＝a1，bn＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，（n≥2，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）利用等比数列的定义即可判定①③不能使{an}成等比数列，②能．
（2）由（1）知，（n∈N+）可利用错位相减法求和，也可以利用Tn＝b1+b2+⋯+bn＝a1+（2a2﹣a1）+（3a3﹣2a2）+⋯+（nan﹣（n﹣1）an﹣1）求和．
【解答】解：（1）①③不能使{an}成等比数列，②能．理由如下：
由题意，{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列，
∴f（an）＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，即logkan＝2n+2，得，
且，∴，
∵常数k＞0且k≠1，∴k2为非零常数，
∴数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，∴当时，，
∵b1＝a1＝4，，（n≥2，n∈N*），
∴，（n∈N+）
解法一：
∴，
，
两式相减可得：
，
∴，（n∈N*）
解法二：Tn＝b1+b2+⋯+bn＝a1+（2a2﹣a1）+（3a3﹣2a2）+⋯+（nan﹣（n﹣1）an﹣1）
＝，（n≥2，n∈N+），又T1＝b1＝4也适合．
∴，（n∈N*）
19．（12分）目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如表：
用气居民编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用气量（立方米）
95
106
112
161
210
227
256
313
325
457
（1）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；
（2）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P（k），求使P（k）取到最大值时，k的值．
【分析】（1）由题知，10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ服从超几何分布，且ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得ξ的分布列，并结合期望公式，即可求解．
（2）由题意知设从全市住户抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为η，则η服从二项分布n～，
且，由，解出k，即可求解．
【解答】解：（1）由题知，10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，
设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ服从超几何分布，且ξ的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
故随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P




所以．
（2）由题意知设从全市住户抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为η，则η服从二项分布n～，
且，
由可得，k∈N*，
所以k＝6，
故当P（k）取到最大值时，k＝6．
20．（12分）已知椭圆Ω：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为椭圆Ω上的动点，且满足的最大值为3．
（1）求椭圆Ω的标准方程；
（2）过椭圆Ω的右焦点F2的直线l与椭圆Ω交于A，B两点，若原点O为△ABC的重心，当△ABC的面积时，求直线l的方程．
【分析】（1）利用离心率，结合的最大值为3，求解a，b，然后得到椭圆方程．
（2）设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），把x＝my+1代入，利用韦达定理，以及三角形的面积，转化求解m，得到直线方程．
另解：由重心坐标公式求出点C的坐标，通过C到直线l的距离，弦长公式，转化求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，设p（x，y），由，
∵﹣a≤x≤a，
∴，
由a2＝b2+c2，a＝2c得a2＝4，
所以椭圆Ω的方程Ω：．
（2）由题意知直线l的斜率不为零（否则原点O不为△ABC的重心），
因此设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
把x＝my+1代入消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，从而，
∵，
又，∴，
化简得（18m2+17）（m2﹣1）＝0，解得m2＝1．∴m＝±1，
因此直线l的方程为x＝±y+1，即x+y﹣1＝0或x﹣y﹣1＝0，
另解：由重心坐标公式得，，
所以点到直线l的距离为，
又，∴以下处理同解法一．
21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC，AP＝PC，∠ABC＝60°，AP⊥PC，直线BP与平面ABC成30°角，D为AC的中点，＝λ，λ∈（0，1）．
（Ⅰ）若PB＞PC，求证：平面ABC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PB＜PC，求直线BQ与平面PAB所成角的正弦值的取值范围．

【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥AC，PD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，进而∠PBD＝30°，设AC＝2a，由余弦定理得PB＝a或PB＝2a，若PB＞PC，则PB＝2a，推导出PD⊥DB，从而PD⊥平面ABC，由此能证明平面ABC⊥平面PAC．
（Ⅱ）若PB＜PC，则PB＝a，PQ＝，BQ＝，设hQ是Q到面PAB的距离，hC是C到面PAB的距离，则hQ＝hP，由等体积法求出，hQ＝，由此能求出直线BQ与平面PAB所成角的正弦值的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB＝BC，AP＝PC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，PD⊥AC，∴AC⊥平面PBD，
∴直线BP与平面ABC所成角是∠PBD，
∠PBD＝30°，
设AC＝2a，则BD＝，PD＝a，
∴由余弦定理得PB＝a或PB＝2a，
若PB＞PC，则PB＝2a，
∴在△PBD中，PD2+DB2＝PB2，∴PD⊥DB，
又PD⊥AC，AC∩DB＝D，
∴PD⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面PAC．
（Ⅱ）若PB＜PC，则PB＝a，
∵＝，∴PQ＝，BQ＝，
设hQ是Q到面PAB的距离，hC是C到面PAB的距离，
则hQ＝hP，
由等体积法，＝，
解得，∴hQ＝，
设直线BQ与平面PAB所成角为α，
则sinα＝＝＝，
∵λ∈（0，1），∴∈（0，），
∴0＜sinα＜，
∴直线BQ与平面PAB所成角的正弦值的取值范围是（0，）．
22．（12分）已知函数f（x）＝axlnx+bx在点处取极值（其中e是自然对数的底数），函数g（x）＝﹣x2+λx﹣3．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对∀x1，，且x1≠x2都有成立，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）f'（x）＝alnx+a+b，由题意可得：，，解得a，b，并且经过验证即可得出结论．
（2）由不等式等价于或．由（1）知f（x）在区间上单调递增，不妨设x2＞x1，有f（x2）﹣f（x1）＞0，不等式或等价于g（x2）﹣g（x1）＞f（x2）﹣f（x1），或g（x2）﹣g（x1）＜f（x1）﹣f（x2），即g（x2）﹣f（x2）＞g（x1）﹣f（x1），或g（x2）+f（x2）＜g（x1）+f（x1）．为此构造函数F（x）＝g（x）﹣f（x），G（x）＝g（x）+f（x），，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵f'（x）＝alnx+a+b，∴由题意，，∴a＝1．
当a＝1，b＝0时，f（x）＝xlnx，
∵f'（x）＝lnx+1，∴当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在处取极小值．∴a＝1，b＝0符合题意．
（注意：此处如果没有检验极值，那么只给2分）
（2）∵不等式等价于或．
由（1）知f（x）在区间上单调递增，∴不妨设x2＞x1，有f（x2）＞f（x1），
即f（x2）﹣f（x1）＞0，
∴不等式或等价于g（x2）﹣g（x1）＞f（x2）﹣f（x1），或g（x2）﹣g（x1）＜f（x1）﹣f（x2），
即g（x2）﹣f（x2）＞g（x1）﹣f（x1），或g（x2）+f（x2）＜g（x1）+f（x1）．
为此构造函数F（x）＝g（x）﹣f（x），G（x）＝g（x）+f（x），，
则上式等价于F（x）函数为增函数，G（x）为减函数．
先考虑F'（x）＝g'（x）﹣f'（x）＝﹣2x+λ﹣lnx﹣1≥0得λ≥2x+lnx+1对恒成立．
∵函数φ（x）＝2x+lnx+1在上单调递增，∴φ（x）max＝φ（e）＝2+2e，λ≥2+2e．
再考虑G'（x）＝g'（x）+f'（x）＝﹣2x+λ+lnx+1≤0得λ≤2x﹣lnx﹣1对恒成立．
令函数ψ（x）＝2x﹣lnx﹣1，∵，
∴当时，ψ'（x）＜0，ψ（x）单调递减；当时，ψ'（x）＞0，ψ（x）单调递增，
∴，
∴λ≤ln2．
综上所述，实数λ的取值范围（﹣∞，ln2]∪[2+2e，+∞）．