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2021年江苏省南京第五高级中学高考数学一模热身试卷
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这是一份2021年江苏省南京第五高级中学高考数学一模热身试卷，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省南京第五高级中学高考数学一模热身试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1） D．[﹣2，1）
2．（5分）复数＝（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．（5分）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足，若，则λ+μ的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．（5分）2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
5．（5分）函数f（x）＝x2﹣|sinx|在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航．已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强p（单位：mmHg）和高度h（单位：m）之间的关系为p＝760e﹣hk（e是自然对数的底数，k是常数），根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则我军战机在1000m高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ）
A．645mmHg B．646mmHg C．647mmHg D．648mmHg
7．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，两渐近线分别为l1：y＝x，l2：y＝﹣x，过F作l1的垂线，垂足为M，该垂线交l2于点N，O为坐标原点，若|OF|＝|FN|，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）＝a（x+1）ex﹣x，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣，） B．[，）
C．[，） D．[，）
二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）
9．（5分）习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图：
已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ）
A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润
B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元
C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长
D．该企业2019年11月份的月利润最大
10．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＞b，则
C．若a＞0，b＞0，则
D．若a＞b＞0，则
11．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，点P为线段AD1上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线PB1∥平面BC1D
B．三棱锥P﹣BC1D的体积为
C．三棱锥D1﹣BC1D外接球的表面积为
D．直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦值的最大值为
12．（5分）已知数列{an}满足：an+1an＝1+an，a1＝1，设bn＝lnan（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn，则下列选项正确的是（ ）（ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A．数列{a2n﹣1}单调递增，数列{a2n}单调递减
B．bn+bn+1≤ln3
C．S2020＞693
D．b2n﹣1＞b2n
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）已知（2+mx）（1+x）3的展开式中x3的系数为5，则m＝ ．
14．（5分）已知，则tan2α＝
15．（5分）已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（4）＝0，则不等式xf（x+1）＞0的解集为 ．
16．（5分）已知直线l与抛物线C：y2＝8x相切于点P，且与C的准线相交于点T，F为C的焦点，连接PF交C于另一点Q，则△PTQ面积的最小值为 ；若|TF|＝5，则|PQ|的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）在①b2+，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____，A＝，b＝，
（1）求角B；
（2）求△ABC的面积．
18．（12分）已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan＝（n﹣1）•2n+1+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若2，则在数列{bn}中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由．
19．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面为直角梯形，且满足AB∥CD，BC⊥AB，AB＝9，BC＝CD＝SD＝6，SB＝12，平面SCD⊥平面SBC．M为线段SC的中点，N为线段上的动点．
（1）求证：平面SCD⊥平面ABCD；
（2）设AN＝λNB（λ＞0），当二面角C﹣DM﹣N的大小为60°时，求λ的值．
20．（12分）在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
分数区间
频数
[50，60）
3
[60，70）
3
[70，80）
16
[80，90）
38
[90，100]
20
男生评分结果的频数分布表
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50，70）的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（，）在椭圆C上．A、B分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交椭圆C于P、Q两点，满足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足为H．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△ABH面积的最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＝1，证明．
2021年江苏省南京第五高级中学高考数学一模热身试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1） D．[﹣2，1）
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，
B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，
∴A∪B＝{x|x≤3}＝（﹣∞，3]．
故选：A．
2．（5分）复数＝（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【分析】利用复数的运算法则直接求解．
【解答】解：复数＝＝＝
＝＝﹣1﹣i．
故选：C．
3．（5分）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足，若，则λ+μ的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【分析】利用M为CD的中点，点N满足，得到，再将等式转化成的关系，从而得到λ，μ的方程，求解即可．
【解答】解：根据题意可得，，
因为，
所以
＝
＝
＝，
故，
由平面向量基本定理可得，
解得，
所以．
故选：D．
4．（5分）2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
【分析】根据题意，分3步进行分析：①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，有C42C31＝18种情况，
②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，有C21C21＝4种情况，
③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有1种情况，
则有18×4＝72种不同的安排方案，
故选：C．
5．（5分）函数f（x）＝x2﹣|sinx|在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D；通过特殊值排除选项A，即可推出结果．
【解答】解：因为f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C与D．
因为，所以排除A，
故选：B．
6．（5分）国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航．已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强p（单位：mmHg）和高度h（单位：m）之间的关系为p＝760e﹣hk（e是自然对数的底数，k是常数），根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则我军战机在1000m高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ）
A．645mmHg B．646mmHg C．647mmHg D．648mmHg
【分析】由题意知，700＝760e﹣500k，求出e﹣500k的值，再代入p＝760e﹣1000k中，求得p的值，即可．
【解答】解：∵500m高空处的大气压强是700mmHg，
∴700＝760e﹣500k，即e﹣500k＝，
当h＝1000m时，有p＝760e﹣1000k＝760•（e﹣500k）2＝760×（）2≈645．
故选：A．
7．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，两渐近线分别为l1：y＝x，l2：y＝﹣x，过F作l1的垂线，垂足为M，该垂线交l2于点N，O为坐标原点，若|OF|＝|FN|，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知求得FM所在直线方程，进一步求得N点坐标，再由两点间的距离公式结合|OF|＝|FN|列式求解双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，F（c，0），
∵FM⊥l1，∴，则直线FM的方程为y＝﹣（x﹣c），
联立，解得，得N（，﹣），
∵b2＝c2﹣a2，
∴|FN|＝＝，
∵|OF|＝|FN|，∴c＝，整理得4a2＝3c2，
即e＝＝，
故选：D．
8．（5分）已知函数f（x）＝a（x+1）ex﹣x，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣，） B．[，）
C．[，） D．[，）
【分析】构造新函数h（x）＝a（x+1），g（x）＝，将问题转化为存在唯一的正整数x，使得h（x）＜g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性，进而求出g（x）的最大值，然后利用h（x）经过定点（﹣1，0），a即为h（x）的斜率，利用图象进行分析求解，即可得到答案．
【解答】解：函数f（x）＝a（x+1）ex﹣x，
因为存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，
即存在唯一的正整数x，使得，
令h（x）＝a（x+1），g（x）＝，
问题即转化为存在唯一的正整数x，使得h（x）＜g（x），
，令g'（x）＝0，解得x＝1，
所以g（x）在（﹣∞，1）上为单调递增函数，在区间（1，+∞）上为单调递减函数，
所以，
h（x）＝a（x+1）过定点C（﹣1，0），
当a≤0时，有无穷多个x的值使得h（x）＜g（x），
当a＞0时，函数h（x）单调递增，
由图象可以分析得到只有正整数x＝1使得h（x）＜g（x），
令，
则，，
由图可知，实数a的取值范围为．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）
9．（5分）习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图：
已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ）
A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润
B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元
C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长
D．该企业2019年11月份的月利润最大
【分析】由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图直接求解．
【解答】解：由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：
在A中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：
x1＝（30+40+35+30+50+60）﹣（20+25+10+20+22+30）＝118，
该企业2019年7月至12月的总利润约为：
（80+75+75+80+90+80）﹣（28+22+30+40+45+50）＝265，
∴该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确；
在B中，该企业2019年第一季度的利润约约是：
（30+40+35）﹣（20+25+10）＝50万元，故B错误；
在C中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为（单位：万元）：10，28，30，52，
∴该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；
在D中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．
故选：AC．
10．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＞b，则
C．若a＞0，b＞0，则
D．若a＞b＞0，则
【分析】直接利用不等式的性质和对数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：若ac2＞bc2，则a＞b，故A正确；
对于B：当a＞b＞0时，所以，故B正确；
对于C：若a＞0，b＞0，根据不等式中算术平均数和调和平均数的关系，则成立，故C正确；
对于D：由于a＞b＞1，所以lga＞lgb，整理得，故D错误．
故选：ABC．
11．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，点P为线段AD1上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线PB1∥平面BC1D
B．三棱锥P﹣BC1D的体积为
C．三棱锥D1﹣BC1D外接球的表面积为
D．直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦值的最大值为
【分析】根据平行平面判断A，用等体积法判断B，求外接球表面积判断C，求线面成角判断D．
【解答】解：作辅助线如图．
对于A，因为AD1∥BC1，∥AB1∥DC1∥，所以平面AB1D1∥平面BC1D，PB1⊂平面AC1D1从而直线PB1∥平面BC1D，则A对；
对于B，由A知，平面AB1D1∥平面BC1D，P点在平面AC1D1，所以＝；则B对；
对于C，三棱锥D1﹣BC1D外接球的半径R＝，
所以三棱锥D1﹣BC1D外接球的表面积为S＝，则C错；
对于D，因为当B1P⊥AD1时，B1P最短，此时直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦值的最大，
先用等面积法求B1P，
⇒B1P＝⇒直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦的最大值为，则D对；
故选：ABD．
12．（5分）已知数列{an}满足：an+1an＝1+an，a1＝1，设bn＝lnan（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn，则下列选项正确的是（ ）（ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A．数列{a2n﹣1}单调递增，数列{a2n}单调递减
B．bn+bn+1≤ln3
C．S2020＞693
D．b2n﹣1＞b2n
【分析】根据an+1an＝1+an，可得，从而可得，构造函数，利用导数研究其单调性从而可判定选项A，利用分析法欲证bn+bn+1≤ln3，即证an≤2，从而可判定B，根据an的范围可求出bn+bn+1的范围，从而可判定选项C，由数学归纳法可判定选项D．
【解答】解：因为a1＝1，an+1an＝1+an，所以即，
令，则，所以g（x）单调递增，
所以，所以{a2n}，{a2n﹣1}都单调，
又因为a1＜a3，a2＞a4所以{a2n﹣1}单调递增，{a2n}单调递减，故A正确；
欲证bn+bn+1＝lnan+lnan+1＝ln（anan+1）≤ln3，即an•an+1≤3，即an+1≤3，即an≤2，
由，上式可化为，即an﹣1≥1，
显然n＝2时，a1＝1，当n≥3时，，故an﹣1≥1成立，
所以原不等式成立，故B正确，
因为an∈[1，2]，所以，
所以bn+bn+1∈[ln2，ln3]，S2020≥1010ln2＞693，故C正确；
因为a1＝1＜，若a2n﹣1＜，则a2n+1＝2﹣，
因为a2＝2＞，若a2n＞，则a2n+2＝2﹣，
由数学归纳法，a2n﹣1＜＜a2n，则a2n﹣1＜a2n，b2n﹣1＜b2n，故D不正确．
（D选项另解：由b1＝0，b2＝ln2，可知b1＜b2，故D不正确）．
故选：ABC．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）已知（2+mx）（1+x）3的展开式中x3的系数为5，则m＝ 1 ．
【分析】根据多项式乘积的关系进行讨论求解即可．
【解答】解：当第一式子为2时，第二个式子为x3，
当第一式子为mx时，第二个式子为x2，
则x3的系数为2×1+m•＝2+3m，
∵x3的系数为5，
∴2+3m＝5，
得3m＝3，
m＝1，
故答案为：1
14．（5分）已知，则tan2α＝ ﹣4
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和应用求出结果．
【解答】解：由于，
所以：，
整理得：，
所以：tan，
则：＝﹣4，
故答案为：﹣4．
15．（5分）已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（4）＝0，则不等式xf（x+1）＞0的解集为 （﹣5，﹣1）∪（0，3） ．
【分析】先确定函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣4）＝0，再将不等式等价变形，即可得到结论．
【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（4）＝0，
∴f（x） 在（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣4）＝﹣f（4）＝0，
∴当x＜﹣4或0＜x＜4时，f（x）＞0，当﹣4＜x＜0或x＞4时，f（x）＜0，
∵xf（x+1）＞0 等价于或，
∴或，
解得0＜x＜3或﹣5＜x＜﹣1
∴不等式xf（x+1）＞0的解集为（﹣5，﹣1）∪（0，3）．
故答案为：（﹣5，﹣1）∪（0，3）．
16．（5分）已知直线l与抛物线C：y2＝8x相切于点P，且与C的准线相交于点T，F为C的焦点，连接PF交C于另一点Q，则△PTQ面积的最小值为 16 ；若|TF|＝5，则|PQ|的值为 ．
【分析】设出直线PQ的方程与抛物线联立，设抛物线在点P处的切线方程与抛物线联立，利用切线与抛物线只有一个交点，得到得t＝﹣2m2的关系，得到抛物线在点P处的切线为，利用点T在抛物线的准线上，求出点T的坐标，然后利用点到直线的距离公式求出三角形的高，把三角形的面积表示出来求解最值即可，然后将PQ表示出来即可得到答案．
【解答】解：设直线PQ的方程为x＝ny+2（恒过定点F（2，0））与抛物线联立，
可得y2﹣8ny﹣16＝0，所以△＝64n2+64＞0恒成立，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有y1+y2＝8n，y1y2＝﹣16，
设抛物线在点P处的切线为x＝my+t，与抛物线方程联立，
可得y2﹣8my﹣8t＝0，
切线与抛物线只有一个公共点，
所以△＝64m2+32t＝0，解得t＝﹣2m2，
方程可变为y2﹣8my+16m2＝0，
故y＝4m，
所以，
抛物线在点P处的切线为，
因为点T在抛物线的准线上，
则有，，
所以点T的坐标为（﹣2，4n），
设点T到直线PQ的距离为d，将直线PQ写成一般式即x﹣ny﹣2＝0，
故，
所以，
所以当n＝0时，S△TPQ有最小值16，
点T的坐标为（﹣2，4n），F（2，0），
所以，
所以16n2+16＝25，即，
故PQ＝PF+QF＝（x1+2）+（x2+2）＝（ny1+4）+（ny2+4）
＝，
所以．
故答案为：16；．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）在①b2+，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____，A＝，b＝，
（1）求角B；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）若选①，由余弦定理即可得解；
若选②，利用正弦定理将将acosB＝bsinA中的边化为角，可求得tanB的值，从而得解；
若选③，结合辅助角公式可推出，再由B∈（0，π），即可得解；
（2）由正弦定理求出a的值，由正弦的两角和公式求出sinC，根据S＝absinC，即可得解．
【解答】解：（1）若选①，由余弦定理得，，
因为B∈（0，π），所以．
若选②，由正弦定理知，，
因为acosB＝bsinA，所以sinAcosB＝sinBsinA，
又A∈（0，π），所以sinA＞0，所以cosB＝sinB，
又B∈（0，π），所以tanB＝1，即．
若选③，由得，，
所以，
又B∈（0，π），所以，
所以，解得．
（2）由正弦定理得，，
又，，，
所以，，
所以，
所以＝．
18．（12分）已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan＝（n﹣1）•2n+1+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若2，则在数列{bn}中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式和已知条件建立等量关系，进一步求出数列的通项公式；
（2）直接利用尝试法进行判断．
【解答】解：（1）由题意，得，
当n≥2时，，
两式相减，得，
即．
当n＝1时，a1＝2，也满足上式，
所以数列{an}的通项公式．
（2），
法一：b1＝1，，显然不适合；，适合，
即，，构成公差为的等差数列；
，适合，
即，，构成公差为的等差数列；
当n≥4时，假设bn，bn+1，bn+k（k≥2）成等差数列，
则2bn+1＝bn+bn+k，
即，
而当n≥4时，，
所以bn+k不是数列{bn}中的项，
所以当n≥4时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列．
综上，b2，b3和b3，b4适合条件．
法二：b1＝1，显然不适合；
当n≥2时，设bn，bn+1，bn+k（k≥2）成等差数列，则2bn+1＝bn+bn+k，
即，解得．
当n＝2时，k＝4，则，，构成公差为的等差数列；
当n＝3时，k＝3，则，，构成公差为的等差数列；
当n≥4时，，则k∉N*，所以bn+k不是数列{bn}中的项，
所以当n≥4时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列．
综上，b2，b3和b3，b4适合条件．
19．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面为直角梯形，且满足AB∥CD，BC⊥AB，AB＝9，BC＝CD＝SD＝6，SB＝12，平面SCD⊥平面SBC．M为线段SC的中点，N为线段上的动点．
（1）求证：平面SCD⊥平面ABCD；
（2）设AN＝λNB（λ＞0），当二面角C﹣DM﹣N的大小为60°时，求λ的值．
【分析】（1）证明DM⊥SC．推出DM⊥平面SBC．DM⊥BC，结合BC⊥CD，推出CD⊥平面CDS，然后证明平面SCD⊥平面ABCD．
（2）（方法一）求出∠SDC＝120°．过点N作NG⊥CD于点G，G为垂足，则NG∥BC，点G作GK⊥DM于点K，K为垂足，连接NK．说明∠GKN即为二面角C﹣DM﹣N的平面角，通过求解三角形推出结果即可．
（方法二）以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系．求出平面DMN的法向量，平面CDM的法向量利用空间向量的数量积求解a，然后转化求解λ即可．
【解答】证明：（1）∵SD＝CD．∴△SDC为等腰三角形．
又∵M为SC的中点，∴DM⊥SC．
又∵平面SCD⊥平面SBC，平面SCD∩平面SBC＝SC且DM⊂平面SCD，
由平面与平面垂直的性质定理可知，DM⊥平面SBC．
又∵BC⊂平面SBC，由直线与平面垂直的性质可知DM⊥BC，
又∵BC⊥CD，DM∩DC＝D，DM⊂平面SCD，CD⊂平面SCD．
∴CD⊥平面CDS，
∵BC⊂平面SCD，
又∵BC⊂平面ABCD，
∴平面SCD⊥平面ABCD．
（2）（方法一）由（1）可知，BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．
在Rt△SCB中，＝．
在△SDC中，由余弦定理可知，，
∵∠SDC∈（0°，180°），∴∠SDC＝120°．
过点N作NG⊥CD于点G，G为垂足，则NG∥BC，
∵BC⊥平面SCD，∴NG⊥平面SCD，
∵DM⊂平面SCD，∴DM⊥NG．过点G作GK⊥DM于点K，K为垂足，连接NK．
∵DM⊥GK，DM⊥NG，NG∩GK＝G，∴DM⊥平面NGK．
又∵NK⊂平面NGK，∴DM⊥NK，
∴∠GKN即为二面角C﹣DM﹣N的平面角，
在Rt△NGK中∠NKG＝60°，∴，∴＝，
在，
∴，
∴GC＝CD﹣DG＝6﹣4＝2，
∴NB＝GC＝2，AN＝AB﹣NB＝9﹣2＝7，
∴．
（方法二）由（1）可知，BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．
在Rt△SCB中，＝，
在△SDC中，由余弦定理可知＝，
∵∠SDC∈（00，180°），∴∠SDC＝120°，
过S点作线段CD的延长线的垂线，垂足为O，
∵∠SDC＝120°∴∠SDO＝60°，∴，∴OC＝9，
∴四边形ABCO为矩形．
由平面SCD⊥平面ABCD可知，SO⊥平面ABCD
以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
则，
设AN＝a（a＞3），则，
设平面DMN的法向量，
由，令，得，
∴，
又∵平面CDM的法向量，
∴，
∴，
∴∴，∴，
∵a＞3，∴，∴a＝7，
即AN＝7，∴NB＝AB﹣AN＝9﹣7＝2，
∴．
20．（12分）在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
分数区间
频数
[50，60）
3
[60，70）
3
[70，80）
16
[80，90）
38
[90，100]
20
男生评分结果的频数分布表
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50，70）的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．
【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图列方程，能求出a．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．
（Ⅲ）设事件A＝“随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”．因为样本人数200人，其中男生共有80人，从而样本中女生共有120人．由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有24人．由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，由此能求出随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率．
【解答】解：（Ⅰ）因为（0.005+a+0.020+0.040+0.020）×10＝1，
所以 a＝0.015．
（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
（Ⅲ）设事件A＝“随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”．
因为样本人数200人，其中男生共有80人，
所以样本中女生共有120人．
由频率分布直方图可知，
女生对食堂“比较满意”的人数共有：120×0.020×10＝24人．
由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，．
所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（，）在椭圆C上．A、B分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交椭圆C于P、Q两点，满足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足为H．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△ABH面积的最大值．
【分析】（1）由题意可知，解得即可求出；
（2）设直线PQ方程为y＝kx+m，根据韦达定理，以及AP⊥AQ，可求出m＝﹣，再根据△ABH的几何意义，根据面积公式即可求出．
【解答】解：（1）由题意可知，解得a＝，b＝2，c＝，
所以椭圆C的标准方程为+＝1；
（2）由题意知PQ的斜率存在，设直线PQ方程为y＝kx+m，其中m≠2，
由，消y得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣12＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵AP⊥AQ，
∴•＝x1x2+（y1﹣2）（y2﹣2）＝x1x2+（kx1+m﹣2）（kx2+m﹣2）＝（k2+1）x1x2+k（m﹣2）（x1+x2）+（m﹣2）2＝0，
即（k2+1）•﹣k（m﹣2）•+（m﹣2）2＝0，
即（k2+1）（3m+6）﹣6k2m+（m﹣2）（3k2+2）＝0，
∵m≠2，
∴（k2+1）（3m2﹣12）﹣6k2m（m﹣2）+（m﹣2）2（3k2+2）＝0，
∴3k2m+6k2+3m+6﹣6k2m+3k2m+2m﹣6k2﹣4＝0，
∴m＝﹣，满足△＞0，
设PQ所过定点D，∵AH⊥PQ，
∴点H在以AD为直径的圆上，
∴△ABH面积的最大值S＝|AB|×＝×4×＝．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＝1，证明．
【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导得f′（x）＝，分两种情况当a≥0时，当a＜0时，讨论f（x）的单调性．
（2）当a＝1时，f（x）＝﹣+lnx，令g（x）＝f（）﹣（﹣ex），x∈（0，+∞），只需证明g（x）min＞0，即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝，
当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）单调递减，f（x）在（﹣a，+∞）调递增．
（2）当a＝1时，f（x）＝﹣+lnx，
令g（x）＝f（）﹣（﹣ex），x∈（0，+∞），
则g（x）＝﹣x﹣lnx+ex，g′（x）＝1﹣+ex，
令h（x）＝﹣1﹣+ex，x∈（0，+∞），
h′（x）＝+ex＞0恒成立，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为h（）＝﹣3+＜0，h（1）＝﹣2+e＞0，
所以存在唯一的x0∈（，1），使得h（x0）＝﹣1﹣+e＝0，
即e＝1+①，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）在（x0，+∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（x0）＝﹣x0﹣lnx0+e，②
把①代入②得g（x0）＝﹣x0﹣lnx0+1+，x0∈（，1），
当x0∈（，1）时，﹣lnx0＞0，1﹣x0＞0，＞0，
所以g（x0）＞0，
所以g（x）＞0，
所以a＝1时，f（）＞﹣ex．
2021年江苏省南京第五高级中学高考数学一模热身试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1） D．[﹣2，1）
2．（5分）复数＝（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．（5分）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足，若，则λ+μ的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．（5分）2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
5．（5分）函数f（x）＝x2﹣|sinx|在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航．已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强p（单位：mmHg）和高度h（单位：m）之间的关系为p＝760e﹣hk（e是自然对数的底数，k是常数），根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则我军战机在1000m高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ）
A．645mmHg B．646mmHg C．647mmHg D．648mmHg
7．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，两渐近线分别为l1：y＝x，l2：y＝﹣x，过F作l1的垂线，垂足为M，该垂线交l2于点N，O为坐标原点，若|OF|＝|FN|，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）＝a（x+1）ex﹣x，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣，） B．[，）
C．[，） D．[，）
二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）
9．（5分）习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图：
已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ）
A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润
B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元
C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长
D．该企业2019年11月份的月利润最大
10．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＞b，则
C．若a＞0，b＞0，则
D．若a＞b＞0，则
11．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，点P为线段AD1上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线PB1∥平面BC1D
B．三棱锥P﹣BC1D的体积为
C．三棱锥D1﹣BC1D外接球的表面积为
D．直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦值的最大值为
12．（5分）已知数列{an}满足：an+1an＝1+an，a1＝1，设bn＝lnan（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn，则下列选项正确的是（ ）（ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A．数列{a2n﹣1}单调递增，数列{a2n}单调递减
B．bn+bn+1≤ln3
C．S2020＞693
D．b2n﹣1＞b2n
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）已知（2+mx）（1+x）3的展开式中x3的系数为5，则m＝ ．
14．（5分）已知，则tan2α＝
15．（5分）已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（4）＝0，则不等式xf（x+1）＞0的解集为 ．
16．（5分）已知直线l与抛物线C：y2＝8x相切于点P，且与C的准线相交于点T，F为C的焦点，连接PF交C于另一点Q，则△PTQ面积的最小值为 ；若|TF|＝5，则|PQ|的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）在①b2+，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____，A＝，b＝，
（1）求角B；
（2）求△ABC的面积．
18．（12分）已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan＝（n﹣1）•2n+1+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若2，则在数列{bn}中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由．
19．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面为直角梯形，且满足AB∥CD，BC⊥AB，AB＝9，BC＝CD＝SD＝6，SB＝12，平面SCD⊥平面SBC．M为线段SC的中点，N为线段上的动点．
（1）求证：平面SCD⊥平面ABCD；
（2）设AN＝λNB（λ＞0），当二面角C﹣DM﹣N的大小为60°时，求λ的值．
20．（12分）在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
分数区间
频数
[50，60）
3
[60，70）
3
[70，80）
16
[80，90）
38
[90，100]
20
男生评分结果的频数分布表
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50，70）的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（，）在椭圆C上．A、B分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交椭圆C于P、Q两点，满足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足为H．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△ABH面积的最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＝1，证明．
2021年江苏省南京第五高级中学高考数学一模热身试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1） D．[﹣2，1）
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，
B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，
∴A∪B＝{x|x≤3}＝（﹣∞，3]．
故选：A．
2．（5分）复数＝（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【分析】利用复数的运算法则直接求解．
【解答】解：复数＝＝＝
＝＝﹣1﹣i．
故选：C．
3．（5分）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足，若，则λ+μ的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【分析】利用M为CD的中点，点N满足，得到，再将等式转化成的关系，从而得到λ，μ的方程，求解即可．
【解答】解：根据题意可得，，
因为，
所以
＝
＝
＝，
故，
由平面向量基本定理可得，
解得，
所以．
故选：D．
4．（5分）2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
【分析】根据题意，分3步进行分析：①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，有C42C31＝18种情况，
②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，有C21C21＝4种情况，
③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有1种情况，
则有18×4＝72种不同的安排方案，
故选：C．
5．（5分）函数f（x）＝x2﹣|sinx|在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D；通过特殊值排除选项A，即可推出结果．
【解答】解：因为f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C与D．
因为，所以排除A，
故选：B．
6．（5分）国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航．已知海面上的大气压强是760mmHg，大气压强p（单位：mmHg）和高度h（单位：m）之间的关系为p＝760e﹣hk（e是自然对数的底数，k是常数），根据实验知500m高空处的大气压强是700mmHg，则我军战机在1000m高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ）
A．645mmHg B．646mmHg C．647mmHg D．648mmHg
【分析】由题意知，700＝760e﹣500k，求出e﹣500k的值，再代入p＝760e﹣1000k中，求得p的值，即可．
【解答】解：∵500m高空处的大气压强是700mmHg，
∴700＝760e﹣500k，即e﹣500k＝，
当h＝1000m时，有p＝760e﹣1000k＝760•（e﹣500k）2＝760×（）2≈645．
故选：A．
7．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，两渐近线分别为l1：y＝x，l2：y＝﹣x，过F作l1的垂线，垂足为M，该垂线交l2于点N，O为坐标原点，若|OF|＝|FN|，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知求得FM所在直线方程，进一步求得N点坐标，再由两点间的距离公式结合|OF|＝|FN|列式求解双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，F（c，0），
∵FM⊥l1，∴，则直线FM的方程为y＝﹣（x﹣c），
联立，解得，得N（，﹣），
∵b2＝c2﹣a2，
∴|FN|＝＝，
∵|OF|＝|FN|，∴c＝，整理得4a2＝3c2，
即e＝＝，
故选：D．
8．（5分）已知函数f（x）＝a（x+1）ex﹣x，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣，） B．[，）
C．[，） D．[，）
【分析】构造新函数h（x）＝a（x+1），g（x）＝，将问题转化为存在唯一的正整数x，使得h（x）＜g（x），利用导数研究函数g（x）的单调性，进而求出g（x）的最大值，然后利用h（x）经过定点（﹣1，0），a即为h（x）的斜率，利用图象进行分析求解，即可得到答案．
【解答】解：函数f（x）＝a（x+1）ex﹣x，
因为存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，
即存在唯一的正整数x，使得，
令h（x）＝a（x+1），g（x）＝，
问题即转化为存在唯一的正整数x，使得h（x）＜g（x），
，令g'（x）＝0，解得x＝1，
所以g（x）在（﹣∞，1）上为单调递增函数，在区间（1，+∞）上为单调递减函数，
所以，
h（x）＝a（x+1）过定点C（﹣1，0），
当a≤0时，有无穷多个x的值使得h（x）＜g（x），
当a＞0时，函数h（x）单调递增，
由图象可以分析得到只有正整数x＝1使得h（x）＜g（x），
令，
则，，
由图可知，实数a的取值范围为．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）
9．（5分）习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图：
已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ）
A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润
B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元
C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长
D．该企业2019年11月份的月利润最大
【分析】由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图直接求解．
【解答】解：由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：
在A中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：
x1＝（30+40+35+30+50+60）﹣（20+25+10+20+22+30）＝118，
该企业2019年7月至12月的总利润约为：
（80+75+75+80+90+80）﹣（28+22+30+40+45+50）＝265，
∴该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确；
在B中，该企业2019年第一季度的利润约约是：
（30+40+35）﹣（20+25+10）＝50万元，故B错误；
在C中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为（单位：万元）：10，28，30，52，
∴该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；
在D中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．
故选：AC．
10．（5分）下列命题为真命题的是（ ）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＞b，则
C．若a＞0，b＞0，则
D．若a＞b＞0，则
【分析】直接利用不等式的性质和对数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：若ac2＞bc2，则a＞b，故A正确；
对于B：当a＞b＞0时，所以，故B正确；
对于C：若a＞0，b＞0，根据不等式中算术平均数和调和平均数的关系，则成立，故C正确；
对于D：由于a＞b＞1，所以lga＞lgb，整理得，故D错误．
故选：ABC．
11．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，点P为线段AD1上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线PB1∥平面BC1D
B．三棱锥P﹣BC1D的体积为
C．三棱锥D1﹣BC1D外接球的表面积为
D．直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦值的最大值为
【分析】根据平行平面判断A，用等体积法判断B，求外接球表面积判断C，求线面成角判断D．
【解答】解：作辅助线如图．
对于A，因为AD1∥BC1，∥AB1∥DC1∥，所以平面AB1D1∥平面BC1D，PB1⊂平面AC1D1从而直线PB1∥平面BC1D，则A对；
对于B，由A知，平面AB1D1∥平面BC1D，P点在平面AC1D1，所以＝；则B对；
对于C，三棱锥D1﹣BC1D外接球的半径R＝，
所以三棱锥D1﹣BC1D外接球的表面积为S＝，则C错；
对于D，因为当B1P⊥AD1时，B1P最短，此时直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦值的最大，
先用等面积法求B1P，
⇒B1P＝⇒直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦的最大值为，则D对；
故选：ABD．
12．（5分）已知数列{an}满足：an+1an＝1+an，a1＝1，设bn＝lnan（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn，则下列选项正确的是（ ）（ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A．数列{a2n﹣1}单调递增，数列{a2n}单调递减
B．bn+bn+1≤ln3
C．S2020＞693
D．b2n﹣1＞b2n
【分析】根据an+1an＝1+an，可得，从而可得，构造函数，利用导数研究其单调性从而可判定选项A，利用分析法欲证bn+bn+1≤ln3，即证an≤2，从而可判定B，根据an的范围可求出bn+bn+1的范围，从而可判定选项C，由数学归纳法可判定选项D．
【解答】解：因为a1＝1，an+1an＝1+an，所以即，
令，则，所以g（x）单调递增，
所以，所以{a2n}，{a2n﹣1}都单调，
又因为a1＜a3，a2＞a4所以{a2n﹣1}单调递增，{a2n}单调递减，故A正确；
欲证bn+bn+1＝lnan+lnan+1＝ln（anan+1）≤ln3，即an•an+1≤3，即an+1≤3，即an≤2，
由，上式可化为，即an﹣1≥1，
显然n＝2时，a1＝1，当n≥3时，，故an﹣1≥1成立，
所以原不等式成立，故B正确，
因为an∈[1，2]，所以，
所以bn+bn+1∈[ln2，ln3]，S2020≥1010ln2＞693，故C正确；
因为a1＝1＜，若a2n﹣1＜，则a2n+1＝2﹣，
因为a2＝2＞，若a2n＞，则a2n+2＝2﹣，
由数学归纳法，a2n﹣1＜＜a2n，则a2n﹣1＜a2n，b2n﹣1＜b2n，故D不正确．
（D选项另解：由b1＝0，b2＝ln2，可知b1＜b2，故D不正确）．
故选：ABC．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．（5分）已知（2+mx）（1+x）3的展开式中x3的系数为5，则m＝ 1 ．
【分析】根据多项式乘积的关系进行讨论求解即可．
【解答】解：当第一式子为2时，第二个式子为x3，
当第一式子为mx时，第二个式子为x2，
则x3的系数为2×1+m•＝2+3m，
∵x3的系数为5，
∴2+3m＝5，
得3m＝3，
m＝1，
故答案为：1
14．（5分）已知，则tan2α＝ ﹣4
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和应用求出结果．
【解答】解：由于，
所以：，
整理得：，
所以：tan，
则：＝﹣4，
故答案为：﹣4．
15．（5分）已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（4）＝0，则不等式xf（x+1）＞0的解集为 （﹣5，﹣1）∪（0，3） ．
【分析】先确定函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣4）＝0，再将不等式等价变形，即可得到结论．
【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（4）＝0，
∴f（x） 在（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣4）＝﹣f（4）＝0，
∴当x＜﹣4或0＜x＜4时，f（x）＞0，当﹣4＜x＜0或x＞4时，f（x）＜0，
∵xf（x+1）＞0 等价于或，
∴或，
解得0＜x＜3或﹣5＜x＜﹣1
∴不等式xf（x+1）＞0的解集为（﹣5，﹣1）∪（0，3）．
故答案为：（﹣5，﹣1）∪（0，3）．
16．（5分）已知直线l与抛物线C：y2＝8x相切于点P，且与C的准线相交于点T，F为C的焦点，连接PF交C于另一点Q，则△PTQ面积的最小值为 16 ；若|TF|＝5，则|PQ|的值为 ．
【分析】设出直线PQ的方程与抛物线联立，设抛物线在点P处的切线方程与抛物线联立，利用切线与抛物线只有一个交点，得到得t＝﹣2m2的关系，得到抛物线在点P处的切线为，利用点T在抛物线的准线上，求出点T的坐标，然后利用点到直线的距离公式求出三角形的高，把三角形的面积表示出来求解最值即可，然后将PQ表示出来即可得到答案．
【解答】解：设直线PQ的方程为x＝ny+2（恒过定点F（2，0））与抛物线联立，
可得y2﹣8ny﹣16＝0，所以△＝64n2+64＞0恒成立，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有y1+y2＝8n，y1y2＝﹣16，
设抛物线在点P处的切线为x＝my+t，与抛物线方程联立，
可得y2﹣8my﹣8t＝0，
切线与抛物线只有一个公共点，
所以△＝64m2+32t＝0，解得t＝﹣2m2，
方程可变为y2﹣8my+16m2＝0，
故y＝4m，
所以，
抛物线在点P处的切线为，
因为点T在抛物线的准线上，
则有，，
所以点T的坐标为（﹣2，4n），
设点T到直线PQ的距离为d，将直线PQ写成一般式即x﹣ny﹣2＝0，
故，
所以，
所以当n＝0时，S△TPQ有最小值16，
点T的坐标为（﹣2，4n），F（2，0），
所以，
所以16n2+16＝25，即，
故PQ＝PF+QF＝（x1+2）+（x2+2）＝（ny1+4）+（ny2+4）
＝，
所以．
故答案为：16；．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）在①b2+，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____，A＝，b＝，
（1）求角B；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）若选①，由余弦定理即可得解；
若选②，利用正弦定理将将acosB＝bsinA中的边化为角，可求得tanB的值，从而得解；
若选③，结合辅助角公式可推出，再由B∈（0，π），即可得解；
（2）由正弦定理求出a的值，由正弦的两角和公式求出sinC，根据S＝absinC，即可得解．
【解答】解：（1）若选①，由余弦定理得，，
因为B∈（0，π），所以．
若选②，由正弦定理知，，
因为acosB＝bsinA，所以sinAcosB＝sinBsinA，
又A∈（0，π），所以sinA＞0，所以cosB＝sinB，
又B∈（0，π），所以tanB＝1，即．
若选③，由得，，
所以，
又B∈（0，π），所以，
所以，解得．
（2）由正弦定理得，，
又，，，
所以，，
所以，
所以＝．
18．（12分）已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan＝（n﹣1）•2n+1+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若2，则在数列{bn}中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式和已知条件建立等量关系，进一步求出数列的通项公式；
（2）直接利用尝试法进行判断．
【解答】解：（1）由题意，得，
当n≥2时，，
两式相减，得，
即．
当n＝1时，a1＝2，也满足上式，
所以数列{an}的通项公式．
（2），
法一：b1＝1，，显然不适合；，适合，
即，，构成公差为的等差数列；
，适合，
即，，构成公差为的等差数列；
当n≥4时，假设bn，bn+1，bn+k（k≥2）成等差数列，
则2bn+1＝bn+bn+k，
即，
而当n≥4时，，
所以bn+k不是数列{bn}中的项，
所以当n≥4时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列．
综上，b2，b3和b3，b4适合条件．
法二：b1＝1，显然不适合；
当n≥2时，设bn，bn+1，bn+k（k≥2）成等差数列，则2bn+1＝bn+bn+k，
即，解得．
当n＝2时，k＝4，则，，构成公差为的等差数列；
当n＝3时，k＝3，则，，构成公差为的等差数列；
当n≥4时，，则k∉N*，所以bn+k不是数列{bn}中的项，
所以当n≥4时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列．
综上，b2，b3和b3，b4适合条件．
19．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面为直角梯形，且满足AB∥CD，BC⊥AB，AB＝9，BC＝CD＝SD＝6，SB＝12，平面SCD⊥平面SBC．M为线段SC的中点，N为线段上的动点．
（1）求证：平面SCD⊥平面ABCD；
（2）设AN＝λNB（λ＞0），当二面角C﹣DM﹣N的大小为60°时，求λ的值．
【分析】（1）证明DM⊥SC．推出DM⊥平面SBC．DM⊥BC，结合BC⊥CD，推出CD⊥平面CDS，然后证明平面SCD⊥平面ABCD．
（2）（方法一）求出∠SDC＝120°．过点N作NG⊥CD于点G，G为垂足，则NG∥BC，点G作GK⊥DM于点K，K为垂足，连接NK．说明∠GKN即为二面角C﹣DM﹣N的平面角，通过求解三角形推出结果即可．
（方法二）以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系．求出平面DMN的法向量，平面CDM的法向量利用空间向量的数量积求解a，然后转化求解λ即可．
【解答】证明：（1）∵SD＝CD．∴△SDC为等腰三角形．
又∵M为SC的中点，∴DM⊥SC．
又∵平面SCD⊥平面SBC，平面SCD∩平面SBC＝SC且DM⊂平面SCD，
由平面与平面垂直的性质定理可知，DM⊥平面SBC．
又∵BC⊂平面SBC，由直线与平面垂直的性质可知DM⊥BC，
又∵BC⊥CD，DM∩DC＝D，DM⊂平面SCD，CD⊂平面SCD．
∴CD⊥平面CDS，
∵BC⊂平面SCD，
又∵BC⊂平面ABCD，
∴平面SCD⊥平面ABCD．
（2）（方法一）由（1）可知，BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．
在Rt△SCB中，＝．
在△SDC中，由余弦定理可知，，
∵∠SDC∈（0°，180°），∴∠SDC＝120°．
过点N作NG⊥CD于点G，G为垂足，则NG∥BC，
∵BC⊥平面SCD，∴NG⊥平面SCD，
∵DM⊂平面SCD，∴DM⊥NG．过点G作GK⊥DM于点K，K为垂足，连接NK．
∵DM⊥GK，DM⊥NG，NG∩GK＝G，∴DM⊥平面NGK．
又∵NK⊂平面NGK，∴DM⊥NK，
∴∠GKN即为二面角C﹣DM﹣N的平面角，
在Rt△NGK中∠NKG＝60°，∴，∴＝，
在，
∴，
∴GC＝CD﹣DG＝6﹣4＝2，
∴NB＝GC＝2，AN＝AB﹣NB＝9﹣2＝7，
∴．
（方法二）由（1）可知，BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．
在Rt△SCB中，＝，
在△SDC中，由余弦定理可知＝，
∵∠SDC∈（00，180°），∴∠SDC＝120°，
过S点作线段CD的延长线的垂线，垂足为O，
∵∠SDC＝120°∴∠SDO＝60°，∴，∴OC＝9，
∴四边形ABCO为矩形．
由平面SCD⊥平面ABCD可知，SO⊥平面ABCD
以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
则，
设AN＝a（a＞3），则，
设平面DMN的法向量，
由，令，得，
∴，
又∵平面CDM的法向量，
∴，
∴，
∴∴，∴，
∵a＞3，∴，∴a＝7，
即AN＝7，∴NB＝AB﹣AN＝9﹣7＝2，
∴．
20．（12分）在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
分数区间
频数
[50，60）
3
[60，70）
3
[70，80）
16
[80，90）
38
[90，100]
20
男生评分结果的频数分布表
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
分数
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
满意度情况
不满意
一般
比较满意
满意
非常满意
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50，70）的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．
【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图列方程，能求出a．
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．
（Ⅲ）设事件A＝“随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”．因为样本人数200人，其中男生共有80人，从而样本中女生共有120人．由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有24人．由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，由此能求出随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率．
【解答】解：（Ⅰ）因为（0.005+a+0.020+0.040+0.020）×10＝1，
所以 a＝0.015．
（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
（Ⅲ）设事件A＝“随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”．
因为样本人数200人，其中男生共有80人，
所以样本中女生共有120人．
由频率分布直方图可知，
女生对食堂“比较满意”的人数共有：120×0.020×10＝24人．
由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，．
所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（，）在椭圆C上．A、B分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交椭圆C于P、Q两点，满足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足为H．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△ABH面积的最大值．
【分析】（1）由题意可知，解得即可求出；
（2）设直线PQ方程为y＝kx+m，根据韦达定理，以及AP⊥AQ，可求出m＝﹣，再根据△ABH的几何意义，根据面积公式即可求出．
【解答】解：（1）由题意可知，解得a＝，b＝2，c＝，
所以椭圆C的标准方程为+＝1；
（2）由题意知PQ的斜率存在，设直线PQ方程为y＝kx+m，其中m≠2，
由，消y得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣12＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵AP⊥AQ，
∴•＝x1x2+（y1﹣2）（y2﹣2）＝x1x2+（kx1+m﹣2）（kx2+m﹣2）＝（k2+1）x1x2+k（m﹣2）（x1+x2）+（m﹣2）2＝0，
即（k2+1）•﹣k（m﹣2）•+（m﹣2）2＝0，
即（k2+1）（3m+6）﹣6k2m+（m﹣2）（3k2+2）＝0，
∵m≠2，
∴（k2+1）（3m2﹣12）﹣6k2m（m﹣2）+（m﹣2）2（3k2+2）＝0，
∴3k2m+6k2+3m+6﹣6k2m+3k2m+2m﹣6k2﹣4＝0，
∴m＝﹣，满足△＞0，
设PQ所过定点D，∵AH⊥PQ，
∴点H在以AD为直径的圆上，
∴△ABH面积的最大值S＝|AB|×＝×4×＝．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＝1，证明．
【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导得f′（x）＝，分两种情况当a≥0时，当a＜0时，讨论f（x）的单调性．
（2）当a＝1时，f（x）＝﹣+lnx，令g（x）＝f（）﹣（﹣ex），x∈（0，+∞），只需证明g（x）min＞0，即可．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝，
当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，﹣a）单调递减，f（x）在（﹣a，+∞）调递增．
（2）当a＝1时，f（x）＝﹣+lnx，
令g（x）＝f（）﹣（﹣ex），x∈（0，+∞），
则g（x）＝﹣x﹣lnx+ex，g′（x）＝1﹣+ex，
令h（x）＝﹣1﹣+ex，x∈（0，+∞），
h′（x）＝+ex＞0恒成立，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为h（）＝﹣3+＜0，h（1）＝﹣2+e＞0，
所以存在唯一的x0∈（，1），使得h（x0）＝﹣1﹣+e＝0，
即e＝1+①，
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）在（x0，+∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（x0）＝﹣x0﹣lnx0+e，②
把①代入②得g（x0）＝﹣x0﹣lnx0+1+，x0∈（，1），
当x0∈（，1）时，﹣lnx0＞0，1﹣x0＞0，＞0，
所以g（x0）＞0，
所以g（x）＞0，
所以a＝1时，f（）＞﹣ex．
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