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2021年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（三模）
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这是一份2021年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（三模），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（三模）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{x|lgx＝0}，N＝{x|10x＝1}，则M∪N等于（ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
2．（5分）已知i为虚数单位，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）现有甲、乙、丙、丁4人，若将4人随机分配到两所学校去工作，要求每所学校两人，则甲、乙恰好被分到同一所学校的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
5．（5分）两个底角为72°，顶角为36°的等腰三角形是一种黄金三角形，其底与一腰的长度比称为黄金比值．若该黄金比值可以表示为2sinθ（其中θ为锐角），则θ等于（ ）
A．9° B．12° C．18° D．36°
6．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝3x+x，则f（﹣1）等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
7．（5分）设a，b，c是空间中的三条直线，α，β是空间中的两个平面，则下列命题中不成立的是（ ）
A．当c⊥a时，若c⊥β，则a∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的正投影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥b，则c∥α
8．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则y＝f（x）的解析式可以为（ ）
A．y＝2sin（） B．y＝2sin（）
C．y＝2sin（） D．y＝2sin（）
10．（5分）公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足Sk+3+Sk＝Sk+1+Sk+2+14（k∈N*），则d等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（5分）已知log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小排序为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，过点F1的直线与两条渐近线的交点分别为M、N两点（点F1位于点M与点N之间），且＝2，又过点F1作F1P⊥OM于P（点O为坐标原点），且|ON|＝OP|，则双曲线E的离心率e＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x，y之间的线性回归方程为＝﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则m的值为 ．
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
14．（5分）若向量，，写出一个与平行的非零向量 ．
15．（5分）若等比数列{an}满足a2＝a12，a3＝a22，则a2021＝ ．
16．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，已知PA＝AB＝2，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一个半径为的球，则平面PCD截该球的截面面积为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在△ABC中，，c＝3，且b≠c，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①：sinB＝2sinA；
条件②：sinA+sinB＝2sinC．
18．（12分）某知名品牌公司研发了一款自主品牌产品，按行业标准这款自主品牌产品可分为一级正品、二级正品、次品共三个等级．根据该公司测算：生产出一件一级正品可获利1000元，一件二级正品可获利200元，一件次品亏损600元．该知名品牌公司试生产这款自主品牌产品1000件，并统计了这些产品的等级，如表：
等级
一级正品
二级正品
次品
频数
500
300
200
（1）对于该知名品牌公司试生产出来的这1000件产品，平均每件的产品利润是多少元？
（2）该知名品牌公司为了解消费者对这款自主品牌产品的满意度，随机调查了50名男性消费者和50名女性消费者，每位消费者对这款自主品牌产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：
满意
不满意
总计
男性消费者
35
15
50
女性消费者
15
35
50
总计
50
50
100
问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性消费者和女性消费者对这款自主品牌产品的评价有差异？
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（12分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且EF∥平面ABD．
（1）求证：BD∥平面AEF；
（2）若AE⊥平面BCD，DE⊥BC，AE＝CE＝DE＝2，记三棱锥F﹣ACE与三棱锥F﹣ADE的体积分别为V1，V2，且V2＝2V1，求三棱锥B﹣ADF的体积．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，F，A分别是椭圆Γ：+y2＝1（a＞0）的左焦点和下顶点，点E（﹣，﹣）在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的方程及点F，A的坐标；
（2）椭圆上是否存在两点M，N，使得△AMN的三条高线交于点F．若存在，求出此时M，N所在直线的方程，若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x2+a） ex（其中a＜1且a≠0，e是自然对数的底数），记g（x）＝f'（x）．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）求证：函数f（x）和g（x）都存在唯一的极小值；
（3）设f（p），g（q）分别是函数f（x），g（x）的极小值，求证：．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求曲线C、直线l的普通方程；
（2）已知点P（1，0），当a＝0时，直线l与曲线C交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣2a|（其中a＞0）．
（1）当a＝3时，求证：﹣9≤f（x）≤9；
（2）当x≥2a时，解关于a的不等式f（x）≤f（3）．
2021年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（三模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{x|lgx＝0}，N＝{x|10x＝1}，则M∪N等于（ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
【分析】可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：∵M＝{1}，N＝{0}，
∴M∪N＝{0，1}．
故选：C．
2．（5分）已知i为虚数单位，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数代数形式的乘法运算，即可求解．
【解答】解：＝．
故选：B．
3．（5分）现有甲、乙、丙、丁4人，若将4人随机分配到两所学校去工作，要求每所学校两人，则甲、乙恰好被分到同一所学校的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝＝6，甲、乙恰好被分到同一所学校包含的基本事件个数m＝＝2，由此能求出甲、乙恰好被分到同一所学校的概率．
【解答】解：甲、乙、丙、丁4人随机分配到两所学校去工作，要求每所学校两人，
基本事件总数n＝＝6，
甲、乙恰好被分到同一所学校包含的基本事件个数m＝＝2，
则甲、乙恰好被分到同一所学校的概率P＝＝＝．
故选：B．
4．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，﹣2）．
化z＝x﹣y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．
故选：D．
5．（5分）两个底角为72°，顶角为36°的等腰三角形是一种黄金三角形，其底与一腰的长度比称为黄金比值．若该黄金比值可以表示为2sinθ（其中θ为锐角），则θ等于（ ）
A．9° B．12° C．18° D．36°
【分析】可画出图形，根据条件可得出2cos72°＝2sinθ＝2sin18°，从而可得出θ的值．
【解答】解：如图，
△ABC中，∠BAC＝36°，∠B＝∠C＝72°，则：，
∴（θ为锐角），
∴θ＝18°．
故选：C．
6．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝3x+x，则f（﹣1）等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣1）＝f（1）＝3+1＝4，
故选：D．
7．（5分）设a，b，c是空间中的三条直线，α，β是空间中的两个平面，则下列命题中不成立的是（ ）
A．当c⊥a时，若c⊥β，则a∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的正投影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥b，则c∥α
【分析】由直线与直线垂直、直线与平面垂直的关系分析A；由平面与平面垂直的判定定理判定B；由三垂线定理判定C；由平面与平面平行的判定判断D．
【解答】解：当c⊥a时，若c⊥β，则a∥β或a⊂β，故A错误；
当b⊂α时，若b⊥β，由平面与平面垂直的判定可得α⊥β，故B正确；
当b⊂α，且c是a在α内的正投影时，
若a∥α，由b⊥c，可得a⊥b，
若a与α相交，由b⊥c，根据三垂线定理可得a⊥b，故C正确；
当b⊂α，且c⊄α时，若c∥b，由直线与平面平行的判定，可得c∥α，故D正确．
故选：A．
8．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过A，B分别作AM，BN垂直于M，N，则有|BF＝|BN|，|AF|＝|AM|，由|BC|＝2|BF|，可求出|CF|＝4，由于＝＝＝，从而可求出答案．
【解答】解：由题意知，p＝2，则F（1，0），准线为直线x＝﹣1，
过A，B分别作AM，BN垂直准线于M，N，
则有|BF|＝|BN|，|AF|＝|AM|，
因为|BC|＝2|BF|，
所以|BC|＝2|BN|，
所以＝，
所以＝，
所以|BN|＝|BF|＝，|BC|＝，
所以|CF|＝4，
因为＝，
所以＝＝＝，
解得|AM|＝4，|AF|＝4，
所以＝＝，
故选：B．
9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则y＝f（x）的解析式可以为（ ）
A．y＝2sin（） B．y＝2sin（）
C．y＝2sin（） D．y＝2sin（）
【分析】由题意利用函数图象可知f（）＝0，逐项验证即可得解．
【解答】解：由函数图象可知f（）＝0，
对于选项A，f（）＝2sin（+）＝2sin＝﹣，故错误；
对于选项B，f（）＝2sin（×+）＝2sin＝，故错误；
对于选项C，f（）＝2sin（×+）＝2sin≠0，故错误；
对于选项D，f（）＝2sin（×+）＝2sin2π＝0，故正确．
故选：D．
10．（5分）公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足Sk+3+Sk＝Sk+1+Sk+2+14（k∈N*），则d等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】推导出ak+3＝ak+1+14，从而d＝（ak+3﹣ak+1）．
【解答】解：公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足Sk+3+Sk＝Sk+1+Sk+2+14（k∈N*），
∴ak+3＝ak+1+14，
∴d＝（ak+3﹣ak+1）＝＝7．
故选：C．
11．（5分）已知log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小排序为（ ）
A． B． C． D．
【分析】令log2x＝log3y＝log5z＝k＞1，则＝，＝，＝，利用幂函数y＝xk﹣1，（k﹣1＞0）的单调性即可判定．
【解答】解：令log2x＝log3y＝log5z＝k＞1，
则＝，＝，＝，
∵幂函数y＝xk﹣1，（k﹣1＞0）在（0，+∞）单调递增，
∴．
故选：D．
12．（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，过点F1的直线与两条渐近线的交点分别为M、N两点（点F1位于点M与点N之间），且＝2，又过点F1作F1P⊥OM于P（点O为坐标原点），且|ON|＝OP|，则双曲线E的离心率e＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，由点到直线的距离公式、勾股定理及已知向量等式即可列式求得双曲线的离心率．
【解答】解：如图所示，
∵|ON|＝OP|，且F1P⊥OM，可得ON⊥MN，
双曲线的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，
则|F1N|＝|F1P|＝＝b．
∵＝2，∴|F1M|＝2|F1N|＝2b，可得|MN|＝3b，
由勾股定理可得，|ON|＝|OP|＝，|PM|＝，
又|MN|2+|ON|2＝|OM|2，∴，
∴，则e＝＝．
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x，y之间的线性回归方程为＝﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则m的值为 5 ．
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．
【解答】解：由表中数据可知，＝（6+8+10+12）＝9，
＝（6+m+3+2）＝，
根据样本中心点必在线性回归方程上，有＝0.7×9+10.3，
解得m＝5，
故答案为：5．
14．（5分）若向量，，写出一个与平行的非零向量 （2，﹣6） ．
【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，写出一个满足条件的非零向量即可．
【解答】解：向量，，
所以＝（，﹣3），
所以与平行的向量为λ（，﹣3），λ∈R；
λ＝2时，得非零向量（2，﹣6）．
故答案为：（2，﹣6）．
15．（5分）若等比数列{an}满足a2＝a12，a3＝a22，则a2021＝ 1 ．
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出结果．
【解答】解：∵等比数列{an}满足a2＝a12，a3＝a22，
∴，
解得a1＝1，q＝1，
∴a2021＝1．
故答案为：1．
16．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，已知PA＝AB＝2，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一个半径为的球，则平面PCD截该球的截面面积为 ．
【分析】取CD中点E，连接PE，过点O作OF⊥PE，垂足为F，通过证明OF⊥平面PCD求出O点到截面的距离，进而求出截面圆的半径和面积．
【解答】解：由题意有PO⊥平面ABCD，且．
取CD中点E，连接PE，因为PO⊥CD，OE⊥CD，所以CD⊥平面POE．
过点O作OF⊥PE，垂足为F，又CD⊥OF，所以OF⊥平面PCD，
在Rt△POE中，，则O点到截面PCD的距离为．
所以截面圆的半径为，面积为．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在△ABC中，，c＝3，且b≠c，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①：sinB＝2sinA；
条件②：sinA+sinB＝2sinC．
【分析】若选①，（Ⅰ）在三角形ABC中有正弦定理即余弦定理可得a，b的值，再由a，b关系可得b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）即三角形的面积公式求出三角形的面积；
若选②（Ⅰ）由正弦定理可得a，b，c的关系，再由余弦定理可得a，b，c的关系，再由A角的余弦值可得b的值．
【解答】解：选条件①：sinB＝2sinA．
（Ⅰ）在△ABC中，因为，所以．
因为，且c＝3，，b＝2a，
所以．
化简得2a2﹣7a+6＝0，
解得a＝2或．
当时，b＝2a＝3＝c，与题意矛盾．
所以a＝2，所以b＝4．
（Ⅱ）因为，A∈（0，π），所以．
所以．
选条件②：sinA+sinB＝2sinC．
（Ⅰ）在△ABC中，因为，
所以由sinA+sinB＝2sinC得a+b＝2c＝6．
因为，且c＝3，，a＝6﹣b，
所以．
解得b＝4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b＝4，所以a＝6﹣b＝2．
因为，A∈（0，π），所以．
所以．
18．（12分）某知名品牌公司研发了一款自主品牌产品，按行业标准这款自主品牌产品可分为一级正品、二级正品、次品共三个等级．根据该公司测算：生产出一件一级正品可获利1000元，一件二级正品可获利200元，一件次品亏损600元．该知名品牌公司试生产这款自主品牌产品1000件，并统计了这些产品的等级，如表：
等级
一级正品
二级正品
次品
频数
500
300
200
（1）对于该知名品牌公司试生产出来的这1000件产品，平均每件的产品利润是多少元？
（2）该知名品牌公司为了解消费者对这款自主品牌产品的满意度，随机调查了50名男性消费者和50名女性消费者，每位消费者对这款自主品牌产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：
满意
不满意
总计
男性消费者
35
15
50
女性消费者
15
35
50
总计
50
50
100
问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性消费者和女性消费者对这款自主品牌产品的评价有差异？
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．
（2）根据表格中的数据，结合独立性检验公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，平均利润为 （元）．
（2）∵，
∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性消费者和女性消费者对这款自主品牌产品的评价有差异．
19．（12分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且EF∥平面ABD．
（1）求证：BD∥平面AEF；
（2）若AE⊥平面BCD，DE⊥BC，AE＝CE＝DE＝2，记三棱锥F﹣ACE与三棱锥F﹣ADE的体积分别为V1，V2，且V2＝2V1，求三棱锥B﹣ADF的体积．
【分析】（1）由EF∥平面ABD，得EF∥BD，由此能证明BD∥平面AEF．
（2）由V2＝2V1，得S△DEF＝2S△CEF，从而DF＝2FC，，由等体积法能求出结果．
【解答】解：（1）证明：∵EF∥平面ABD，EF⊂平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，
∴EF∥BD
又BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴BD∥平面AEF．
（2）∵，，V2＝2V1，
∴S△DEF＝2S△CEF，∴DF＝2FC，∴，
由（1）知：EF∥BD，BC＝3CE＝6，
∴，
∴，又AE⊥平面BCD，
∴．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，F，A分别是椭圆Γ：+y2＝1（a＞0）的左焦点和下顶点，点E（﹣，﹣）在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的方程及点F，A的坐标；
（2）椭圆上是否存在两点M，N，使得△AMN的三条高线交于点F．若存在，求出此时M，N所在直线的方程，若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用点E在椭圆上，求出a的值，从而得到椭圆的标准方程，进而求出点F和点A的坐标；
（2）先利用垂直关系求出直线MN的斜率，设直线MN的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，利用向量的数量积为0，结合点M，N在椭圆上进行化简，求出m的值，对m的值进行验证，即可得到答案．
【解答】解：（1）椭圆Γ：+y2＝1的下顶点A的坐标为（0，﹣1），
因为点E（﹣，﹣）在椭圆Γ上，
所以，解得a2＝4，
又a＞0，则a＝2，
所以椭圆Γ的方程为，
左焦点F的坐标为（﹣），下顶点A的坐标为（0，﹣1）；
（2）假设满足题意的直线MN存在，
由题意可知，MN⊥AF，MF⊥AN，又，
故直线MN的斜率为，
设直线MN的方程为，与椭圆联立，
可得，
设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则①，
由MF⊥AN，可得，
所以，
即，
将代入上式，
可得，
将①式代入，则，
解得或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，直线MN过点A，不符合题意；
当时，有两个不同的根，符合题意．
故存在直线MN符合题意，方程为，即．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x2+a） ex（其中a＜1且a≠0，e是自然对数的底数），记g（x）＝f'（x）．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）求证：函数f（x）和g（x）都存在唯一的极小值；
（3）设f（p），g（q）分别是函数f（x），g（x）的极小值，求证：．
【分析】（1）求出a＝﹣1时f（x）的解析式，求出f'（x），利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点的坐标，由点斜式求解切线方程即可；
（2）求出f'（x），判断两个函数的单调性，由极值的定点，判断两个函数的极值，即可证明；
（3）由（2）可得，p和q的值，然后代入化简，，构造函数h（x）＝﹣2ex，由单调性即可比较大小，从而证明原不等式成立．
【解答】（1）解：当a＝﹣1时，f（x）＝（x2﹣1）ex，
则f'（x）＝（x2+2x﹣1）ex，
则f'（0）＝﹣1，f（0）＝﹣1，
所以切点坐标为（0，﹣1），切线的斜率为﹣1，
则f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣0），即y＝﹣x﹣1；
（2）证明：因为f（x）＝（x2+a）ex，
则g（x）＝f'（x）＝（x2+2x+a）ex，
令f'（x）＝0，即x2+2x+a＝0，
因为a＜1且a≠0，则△1＝4﹣4a＞0，
所以方程x2+2x+a＝0存在两个不相等的实数根，，
当x∈（﹣∞，x1）时，f'（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，
当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，则f（x）在（x1，x2）上单调递减，
当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）在（x2，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在处取得极大值，在处取得极小值，
所以函数f（x）存在唯一的极小值，
又因为g'（x）＝（x2+2x+a+2x+2）ex＝（x2+4x+a+2）ex，
令g'（x）＝0，即x2+4x+a+2＝0，
因为a＜1且a≠0，则△2＝8﹣4a＞0，
所以方程x2+4x+a+2＝0存在两个不相等的实数根，，，
所以当x∈（﹣∞，x3）时，g'（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x3）上单调递增，
当x∈（x3，x4）时，g'（x）＜0，则g（x）在（x3，x4）上单调递减，
当x∈（x4，+∞）时，g'（x）＞0，则g（x）在（x4，+∞）上单调递增，
所以函数g（x）在处取得极大值，在处取得极小值，
故函数g（x）存在唯一的极小值．
综上所述，函数f（x）和g（x）都存在唯一的极小值；
（3）证明：由（2）可知，，，
所以，
＝，
构造函数h（x）＝﹣2ex，
则函数h（x）在R上单调递减，
又＝，h（）＝＝，
且，a＜1且a≠0，
则，
所以，
故．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求曲线C、直线l的普通方程；
（2）已知点P（1，0），当a＝0时，直线l与曲线C交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．
直线l的参数方程为（t为参数）转换为普通方程为y＝﹣2x+2（a+1）．
（2）当a＝0时，转换为2x+y﹣2＝0，
由于点P（1，0）在直线上，
转换为参数方程为（t为参数），代入（x﹣2）2+y2＝4．
得到，
所以，t1t2＝﹣3，
所以||PA|﹣|PB||＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣2a|（其中a＞0）．
（1）当a＝3时，求证：﹣9≤f（x）≤9；
（2）当x≥2a时，解关于a的不等式f（x）≤f（3）．
【分析】（1）对x分类写出分段函数解析式，求解f（x）的范围，取并集即可证明﹣9≤f（x）≤9；
（2））a＞0，若x≥2a，则f（x）＝x+a﹣x+2a＝3a，f（3）＝|3+a|﹣|3﹣2a|，然后对a分类求解不等式，取并集得答案．
【解答】证明：（1）当a＝3时，f（x）＝|x+3|﹣|x﹣6|，
当x≤﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣（6﹣x）＝﹣9；
当﹣3＜x＜6时，f（x）＝x+3﹣（6﹣x）＝2x﹣3，则﹣9＜f（x）＜9；
当x≥6时，f（x）＝x+3﹣x+6＝9．
综上所述，﹣9≤f（x）≤9；
解：（2）∵a＞0，∴当x≥2a时，f（x）＝x+a﹣x+2a＝3a．
f（3）＝|3+a|﹣|3﹣2a|，
当0＜a≤时，f（3）＝3+a﹣（3﹣2a）＝3a，由f（x）≤f（3），得3a≤3a，恒成立，
∴0＜a≤；
当a＞时，f（3）＝3+a﹣（2a﹣3）＝6﹣a，由f（x）≤f（3），得3a≤6﹣a，解得a，
不符合a＞，舍去．
综上所述，关于a的不等式f（x）≤f（3）的解集为（0，]．
2021年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（三模）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{x|lgx＝0}，N＝{x|10x＝1}，则M∪N等于（ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
2．（5分）已知i为虚数单位，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）现有甲、乙、丙、丁4人，若将4人随机分配到两所学校去工作，要求每所学校两人，则甲、乙恰好被分到同一所学校的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
5．（5分）两个底角为72°，顶角为36°的等腰三角形是一种黄金三角形，其底与一腰的长度比称为黄金比值．若该黄金比值可以表示为2sinθ（其中θ为锐角），则θ等于（ ）
A．9° B．12° C．18° D．36°
6．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝3x+x，则f（﹣1）等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
7．（5分）设a，b，c是空间中的三条直线，α，β是空间中的两个平面，则下列命题中不成立的是（ ）
A．当c⊥a时，若c⊥β，则a∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的正投影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥b，则c∥α
8．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则y＝f（x）的解析式可以为（ ）
A．y＝2sin（） B．y＝2sin（）
C．y＝2sin（） D．y＝2sin（）
10．（5分）公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足Sk+3+Sk＝Sk+1+Sk+2+14（k∈N*），则d等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（5分）已知log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小排序为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，过点F1的直线与两条渐近线的交点分别为M、N两点（点F1位于点M与点N之间），且＝2，又过点F1作F1P⊥OM于P（点O为坐标原点），且|ON|＝OP|，则双曲线E的离心率e＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x，y之间的线性回归方程为＝﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则m的值为 ．
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
14．（5分）若向量，，写出一个与平行的非零向量 ．
15．（5分）若等比数列{an}满足a2＝a12，a3＝a22，则a2021＝ ．
16．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，已知PA＝AB＝2，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一个半径为的球，则平面PCD截该球的截面面积为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在△ABC中，，c＝3，且b≠c，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①：sinB＝2sinA；
条件②：sinA+sinB＝2sinC．
18．（12分）某知名品牌公司研发了一款自主品牌产品，按行业标准这款自主品牌产品可分为一级正品、二级正品、次品共三个等级．根据该公司测算：生产出一件一级正品可获利1000元，一件二级正品可获利200元，一件次品亏损600元．该知名品牌公司试生产这款自主品牌产品1000件，并统计了这些产品的等级，如表：
等级
一级正品
二级正品
次品
频数
500
300
200
（1）对于该知名品牌公司试生产出来的这1000件产品，平均每件的产品利润是多少元？
（2）该知名品牌公司为了解消费者对这款自主品牌产品的满意度，随机调查了50名男性消费者和50名女性消费者，每位消费者对这款自主品牌产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：
满意
不满意
总计
男性消费者
35
15
50
女性消费者
15
35
50
总计
50
50
100
问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性消费者和女性消费者对这款自主品牌产品的评价有差异？
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（12分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且EF∥平面ABD．
（1）求证：BD∥平面AEF；
（2）若AE⊥平面BCD，DE⊥BC，AE＝CE＝DE＝2，记三棱锥F﹣ACE与三棱锥F﹣ADE的体积分别为V1，V2，且V2＝2V1，求三棱锥B﹣ADF的体积．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，F，A分别是椭圆Γ：+y2＝1（a＞0）的左焦点和下顶点，点E（﹣，﹣）在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的方程及点F，A的坐标；
（2）椭圆上是否存在两点M，N，使得△AMN的三条高线交于点F．若存在，求出此时M，N所在直线的方程，若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x2+a） ex（其中a＜1且a≠0，e是自然对数的底数），记g（x）＝f'（x）．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）求证：函数f（x）和g（x）都存在唯一的极小值；
（3）设f（p），g（q）分别是函数f（x），g（x）的极小值，求证：．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求曲线C、直线l的普通方程；
（2）已知点P（1，0），当a＝0时，直线l与曲线C交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣2a|（其中a＞0）．
（1）当a＝3时，求证：﹣9≤f（x）≤9；
（2）当x≥2a时，解关于a的不等式f（x）≤f（3）．
2021年山西省晋中市高考数学模拟试卷（文科）（三模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{x|lgx＝0}，N＝{x|10x＝1}，则M∪N等于（ ）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
【分析】可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：∵M＝{1}，N＝{0}，
∴M∪N＝{0，1}．
故选：C．
2．（5分）已知i为虚数单位，则复数等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数代数形式的乘法运算，即可求解．
【解答】解：＝．
故选：B．
3．（5分）现有甲、乙、丙、丁4人，若将4人随机分配到两所学校去工作，要求每所学校两人，则甲、乙恰好被分到同一所学校的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝＝6，甲、乙恰好被分到同一所学校包含的基本事件个数m＝＝2，由此能求出甲、乙恰好被分到同一所学校的概率．
【解答】解：甲、乙、丙、丁4人随机分配到两所学校去工作，要求每所学校两人，
基本事件总数n＝＝6，
甲、乙恰好被分到同一所学校包含的基本事件个数m＝＝2，
则甲、乙恰好被分到同一所学校的概率P＝＝＝．
故选：B．
4．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，﹣2）．
化z＝x﹣y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．
故选：D．
5．（5分）两个底角为72°，顶角为36°的等腰三角形是一种黄金三角形，其底与一腰的长度比称为黄金比值．若该黄金比值可以表示为2sinθ（其中θ为锐角），则θ等于（ ）
A．9° B．12° C．18° D．36°
【分析】可画出图形，根据条件可得出2cos72°＝2sinθ＝2sin18°，从而可得出θ的值．
【解答】解：如图，
△ABC中，∠BAC＝36°，∠B＝∠C＝72°，则：，
∴（θ为锐角），
∴θ＝18°．
故选：C．
6．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝3x+x，则f（﹣1）等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣1）＝f（1）＝3+1＝4，
故选：D．
7．（5分）设a，b，c是空间中的三条直线，α，β是空间中的两个平面，则下列命题中不成立的是（ ）
A．当c⊥a时，若c⊥β，则a∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的正投影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥b，则c∥α
【分析】由直线与直线垂直、直线与平面垂直的关系分析A；由平面与平面垂直的判定定理判定B；由三垂线定理判定C；由平面与平面平行的判定判断D．
【解答】解：当c⊥a时，若c⊥β，则a∥β或a⊂β，故A错误；
当b⊂α时，若b⊥β，由平面与平面垂直的判定可得α⊥β，故B正确；
当b⊂α，且c是a在α内的正投影时，
若a∥α，由b⊥c，可得a⊥b，
若a与α相交，由b⊥c，根据三垂线定理可得a⊥b，故C正确；
当b⊂α，且c⊄α时，若c∥b，由直线与平面平行的判定，可得c∥α，故D正确．
故选：A．
8．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，若|BC|＝2|BF|，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过A，B分别作AM，BN垂直于M，N，则有|BF＝|BN|，|AF|＝|AM|，由|BC|＝2|BF|，可求出|CF|＝4，由于＝＝＝，从而可求出答案．
【解答】解：由题意知，p＝2，则F（1，0），准线为直线x＝﹣1，
过A，B分别作AM，BN垂直准线于M，N，
则有|BF|＝|BN|，|AF|＝|AM|，
因为|BC|＝2|BF|，
所以|BC|＝2|BN|，
所以＝，
所以＝，
所以|BN|＝|BF|＝，|BC|＝，
所以|CF|＝4，
因为＝，
所以＝＝＝，
解得|AM|＝4，|AF|＝4，
所以＝＝，
故选：B．
9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则y＝f（x）的解析式可以为（ ）
A．y＝2sin（） B．y＝2sin（）
C．y＝2sin（） D．y＝2sin（）
【分析】由题意利用函数图象可知f（）＝0，逐项验证即可得解．
【解答】解：由函数图象可知f（）＝0，
对于选项A，f（）＝2sin（+）＝2sin＝﹣，故错误；
对于选项B，f（）＝2sin（×+）＝2sin＝，故错误；
对于选项C，f（）＝2sin（×+）＝2sin≠0，故错误；
对于选项D，f（）＝2sin（×+）＝2sin2π＝0，故正确．
故选：D．
10．（5分）公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足Sk+3+Sk＝Sk+1+Sk+2+14（k∈N*），则d等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】推导出ak+3＝ak+1+14，从而d＝（ak+3﹣ak+1）．
【解答】解：公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足Sk+3+Sk＝Sk+1+Sk+2+14（k∈N*），
∴ak+3＝ak+1+14，
∴d＝（ak+3﹣ak+1）＝＝7．
故选：C．
11．（5分）已知log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小排序为（ ）
A． B． C． D．
【分析】令log2x＝log3y＝log5z＝k＞1，则＝，＝，＝，利用幂函数y＝xk﹣1，（k﹣1＞0）的单调性即可判定．
【解答】解：令log2x＝log3y＝log5z＝k＞1，
则＝，＝，＝，
∵幂函数y＝xk﹣1，（k﹣1＞0）在（0，+∞）单调递增，
∴．
故选：D．
12．（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，过点F1的直线与两条渐近线的交点分别为M、N两点（点F1位于点M与点N之间），且＝2，又过点F1作F1P⊥OM于P（点O为坐标原点），且|ON|＝OP|，则双曲线E的离心率e＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，由点到直线的距离公式、勾股定理及已知向量等式即可列式求得双曲线的离心率．
【解答】解：如图所示，
∵|ON|＝OP|，且F1P⊥OM，可得ON⊥MN，
双曲线的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，
则|F1N|＝|F1P|＝＝b．
∵＝2，∴|F1M|＝2|F1N|＝2b，可得|MN|＝3b，
由勾股定理可得，|ON|＝|OP|＝，|PM|＝，
又|MN|2+|ON|2＝|OM|2，∴，
∴，则e＝＝．
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x，y之间的线性回归方程为＝﹣0.7x+10.3，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则m的值为 5 ．
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．
【解答】解：由表中数据可知，＝（6+8+10+12）＝9，
＝（6+m+3+2）＝，
根据样本中心点必在线性回归方程上，有＝0.7×9+10.3，
解得m＝5，
故答案为：5．
14．（5分）若向量，，写出一个与平行的非零向量 （2，﹣6） ．
【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，写出一个满足条件的非零向量即可．
【解答】解：向量，，
所以＝（，﹣3），
所以与平行的向量为λ（，﹣3），λ∈R；
λ＝2时，得非零向量（2，﹣6）．
故答案为：（2，﹣6）．
15．（5分）若等比数列{an}满足a2＝a12，a3＝a22，则a2021＝ 1 ．
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出结果．
【解答】解：∵等比数列{an}满足a2＝a12，a3＝a22，
∴，
解得a1＝1，q＝1，
∴a2021＝1．
故答案为：1．
16．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，已知PA＝AB＝2，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一个半径为的球，则平面PCD截该球的截面面积为 ．
【分析】取CD中点E，连接PE，过点O作OF⊥PE，垂足为F，通过证明OF⊥平面PCD求出O点到截面的距离，进而求出截面圆的半径和面积．
【解答】解：由题意有PO⊥平面ABCD，且．
取CD中点E，连接PE，因为PO⊥CD，OE⊥CD，所以CD⊥平面POE．
过点O作OF⊥PE，垂足为F，又CD⊥OF，所以OF⊥平面PCD，
在Rt△POE中，，则O点到截面PCD的距离为．
所以截面圆的半径为，面积为．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在△ABC中，，c＝3，且b≠c，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）△ABC的面积．
条件①：sinB＝2sinA；
条件②：sinA+sinB＝2sinC．
【分析】若选①，（Ⅰ）在三角形ABC中有正弦定理即余弦定理可得a，b的值，再由a，b关系可得b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）即三角形的面积公式求出三角形的面积；
若选②（Ⅰ）由正弦定理可得a，b，c的关系，再由余弦定理可得a，b，c的关系，再由A角的余弦值可得b的值．
【解答】解：选条件①：sinB＝2sinA．
（Ⅰ）在△ABC中，因为，所以．
因为，且c＝3，，b＝2a，
所以．
化简得2a2﹣7a+6＝0，
解得a＝2或．
当时，b＝2a＝3＝c，与题意矛盾．
所以a＝2，所以b＝4．
（Ⅱ）因为，A∈（0，π），所以．
所以．
选条件②：sinA+sinB＝2sinC．
（Ⅰ）在△ABC中，因为，
所以由sinA+sinB＝2sinC得a+b＝2c＝6．
因为，且c＝3，，a＝6﹣b，
所以．
解得b＝4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b＝4，所以a＝6﹣b＝2．
因为，A∈（0，π），所以．
所以．
18．（12分）某知名品牌公司研发了一款自主品牌产品，按行业标准这款自主品牌产品可分为一级正品、二级正品、次品共三个等级．根据该公司测算：生产出一件一级正品可获利1000元，一件二级正品可获利200元，一件次品亏损600元．该知名品牌公司试生产这款自主品牌产品1000件，并统计了这些产品的等级，如表：
等级
一级正品
二级正品
次品
频数
500
300
200
（1）对于该知名品牌公司试生产出来的这1000件产品，平均每件的产品利润是多少元？
（2）该知名品牌公司为了解消费者对这款自主品牌产品的满意度，随机调查了50名男性消费者和50名女性消费者，每位消费者对这款自主品牌产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：
满意
不满意
总计
男性消费者
35
15
50
女性消费者
15
35
50
总计
50
50
100
问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性消费者和女性消费者对这款自主品牌产品的评价有差异？
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．
（2）根据表格中的数据，结合独立性检验公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，平均利润为 （元）．
（2）∵，
∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性消费者和女性消费者对这款自主品牌产品的评价有差异．
19．（12分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且EF∥平面ABD．
（1）求证：BD∥平面AEF；
（2）若AE⊥平面BCD，DE⊥BC，AE＝CE＝DE＝2，记三棱锥F﹣ACE与三棱锥F﹣ADE的体积分别为V1，V2，且V2＝2V1，求三棱锥B﹣ADF的体积．
【分析】（1）由EF∥平面ABD，得EF∥BD，由此能证明BD∥平面AEF．
（2）由V2＝2V1，得S△DEF＝2S△CEF，从而DF＝2FC，，由等体积法能求出结果．
【解答】解：（1）证明：∵EF∥平面ABD，EF⊂平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，
∴EF∥BD
又BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴BD∥平面AEF．
（2）∵，，V2＝2V1，
∴S△DEF＝2S△CEF，∴DF＝2FC，∴，
由（1）知：EF∥BD，BC＝3CE＝6，
∴，
∴，又AE⊥平面BCD，
∴．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，F，A分别是椭圆Γ：+y2＝1（a＞0）的左焦点和下顶点，点E（﹣，﹣）在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的方程及点F，A的坐标；
（2）椭圆上是否存在两点M，N，使得△AMN的三条高线交于点F．若存在，求出此时M，N所在直线的方程，若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用点E在椭圆上，求出a的值，从而得到椭圆的标准方程，进而求出点F和点A的坐标；
（2）先利用垂直关系求出直线MN的斜率，设直线MN的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，利用向量的数量积为0，结合点M，N在椭圆上进行化简，求出m的值，对m的值进行验证，即可得到答案．
【解答】解：（1）椭圆Γ：+y2＝1的下顶点A的坐标为（0，﹣1），
因为点E（﹣，﹣）在椭圆Γ上，
所以，解得a2＝4，
又a＞0，则a＝2，
所以椭圆Γ的方程为，
左焦点F的坐标为（﹣），下顶点A的坐标为（0，﹣1）；
（2）假设满足题意的直线MN存在，
由题意可知，MN⊥AF，MF⊥AN，又，
故直线MN的斜率为，
设直线MN的方程为，与椭圆联立，
可得，
设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则①，
由MF⊥AN，可得，
所以，
即，
将代入上式，
可得，
将①式代入，则，
解得或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，直线MN过点A，不符合题意；
当时，有两个不同的根，符合题意．
故存在直线MN符合题意，方程为，即．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x2+a） ex（其中a＜1且a≠0，e是自然对数的底数），记g（x）＝f'（x）．
（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）求证：函数f（x）和g（x）都存在唯一的极小值；
（3）设f（p），g（q）分别是函数f（x），g（x）的极小值，求证：．
【分析】（1）求出a＝﹣1时f（x）的解析式，求出f'（x），利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点的坐标，由点斜式求解切线方程即可；
（2）求出f'（x），判断两个函数的单调性，由极值的定点，判断两个函数的极值，即可证明；
（3）由（2）可得，p和q的值，然后代入化简，，构造函数h（x）＝﹣2ex，由单调性即可比较大小，从而证明原不等式成立．
【解答】（1）解：当a＝﹣1时，f（x）＝（x2﹣1）ex，
则f'（x）＝（x2+2x﹣1）ex，
则f'（0）＝﹣1，f（0）＝﹣1，
所以切点坐标为（0，﹣1），切线的斜率为﹣1，
则f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣（﹣1）＝﹣（x﹣0），即y＝﹣x﹣1；
（2）证明：因为f（x）＝（x2+a）ex，
则g（x）＝f'（x）＝（x2+2x+a）ex，
令f'（x）＝0，即x2+2x+a＝0，
因为a＜1且a≠0，则△1＝4﹣4a＞0，
所以方程x2+2x+a＝0存在两个不相等的实数根，，
当x∈（﹣∞，x1）时，f'（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，
当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，则f（x）在（x1，x2）上单调递减，
当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）在（x2，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在处取得极大值，在处取得极小值，
所以函数f（x）存在唯一的极小值，
又因为g'（x）＝（x2+2x+a+2x+2）ex＝（x2+4x+a+2）ex，
令g'（x）＝0，即x2+4x+a+2＝0，
因为a＜1且a≠0，则△2＝8﹣4a＞0，
所以方程x2+4x+a+2＝0存在两个不相等的实数根，，，
所以当x∈（﹣∞，x3）时，g'（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，x3）上单调递增，
当x∈（x3，x4）时，g'（x）＜0，则g（x）在（x3，x4）上单调递减，
当x∈（x4，+∞）时，g'（x）＞0，则g（x）在（x4，+∞）上单调递增，
所以函数g（x）在处取得极大值，在处取得极小值，
故函数g（x）存在唯一的极小值．
综上所述，函数f（x）和g（x）都存在唯一的极小值；
（3）证明：由（2）可知，，，
所以，
＝，
构造函数h（x）＝﹣2ex，
则函数h（x）在R上单调递减，
又＝，h（）＝＝，
且，a＜1且a≠0，
则，
所以，
故．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）求曲线C、直线l的普通方程；
（2）已知点P（1，0），当a＝0时，直线l与曲线C交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．
直线l的参数方程为（t为参数）转换为普通方程为y＝﹣2x+2（a+1）．
（2）当a＝0时，转换为2x+y﹣2＝0，
由于点P（1，0）在直线上，
转换为参数方程为（t为参数），代入（x﹣2）2+y2＝4．
得到，
所以，t1t2＝﹣3，
所以||PA|﹣|PB||＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣2a|（其中a＞0）．
（1）当a＝3时，求证：﹣9≤f（x）≤9；
（2）当x≥2a时，解关于a的不等式f（x）≤f（3）．
【分析】（1）对x分类写出分段函数解析式，求解f（x）的范围，取并集即可证明﹣9≤f（x）≤9；
（2））a＞0，若x≥2a，则f（x）＝x+a﹣x+2a＝3a，f（3）＝|3+a|﹣|3﹣2a|，然后对a分类求解不等式，取并集得答案．
【解答】证明：（1）当a＝3时，f（x）＝|x+3|﹣|x﹣6|，
当x≤﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣（6﹣x）＝﹣9；
当﹣3＜x＜6时，f（x）＝x+3﹣（6﹣x）＝2x﹣3，则﹣9＜f（x）＜9；
当x≥6时，f（x）＝x+3﹣x+6＝9．
综上所述，﹣9≤f（x）≤9；
解：（2）∵a＞0，∴当x≥2a时，f（x）＝x+a﹣x+2a＝3a．
f（3）＝|3+a|﹣|3﹣2a|，
当0＜a≤时，f（3）＝3+a﹣（3﹣2a）＝3a，由f（x）≤f（3），得3a≤3a，恒成立，
∴0＜a≤；
当a＞时，f（3）＝3+a﹣（2a﹣3）＝6﹣a，由f（x）≤f（3），得3a≤6﹣a，解得a，
不符合a＞，舍去．
综上所述，关于a的不等式f（x）≤f（3）的解集为（0，]．
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