专题04 指数函数与对数函数-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（解析版）

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专题04 指数函数与对数函数

1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解．
【解析】由，当时，，
则．故选C．

1．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【解析】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.故选：B．
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
2．【2020年高考全国I卷理数】若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B．
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）
A．60 B．63
C．66 D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得.故选：C．
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则
A．a C．b 【答案】A
【解析】由题意可知、、，
，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则
A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0
C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0
【答案】A
【解析】由得：，令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A．
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
即则．故选B．
【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．
7．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，但，则A错，排除A；
由，知B错，排除B；
取，满足，但，则D错，排除D；
因为幂函数是增函数，，所以，即a3−b3>0，C正确.故选C．
8．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
【答案】A
【解析】两颗星的星等与亮度满足，令，
则从而. 故选A.
【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.
9．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是

【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.
综上，选D.
【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得，因为，
所以，即，
解得，所以故选D.
【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错．
11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，∴，
即.故选C．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．

指、对数的计算问题相对比较基础，细心计算即可。另外，指、对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.

1．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般的，声音的强度用（）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用（单位：分贝，，其中是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年高三上学期第一次阶段检测
【答案】C
【分析】根据小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，建立不等式，然后解对数不等式即可得到答案．
【解析】由题意可得，，即，
所以，解得，
所以声音强度的取值范围是，．故选C．
2．已知，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年高三上学期省模考模拟二
【答案】D
【分析】利用对数换底公式及对数运算性质变形，再利用对数函数和指数函数单调性即可作答.
【解析】依题意，，，
显然函数在上单调递增，而，即，
又在R上单调递增，于是得，即，
所以有.故选D
3．设，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省连云港市东海县石榴中学2020-2021学年高三上学期9月学情检测
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较与中间量0和1的大小，即可得结论
【解析】因为在上单调递减，且，
所以，即，
因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上为增函数，，
所以，即，
所以，故选B
4．设，则的大小关系是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学2020-2021学年高三上学期期初
【答案】C
【分析】分别求出a、b、c的范围，即可得到答案.
【解析】，即，
，即，
.
所以.故选C
5．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：，联系两个天体的星等､和它们对应的亮度､.这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是，猎户星座的“参宿一”星等是，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的倍.（当较小时，）
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市酉阳第一中学2021届高三上学期第二次月考
【答案】B
【分析】根据题意，设“十字架三”的星等是，“参宿一”的星等是，“十字架三”的亮度是，“参宿一”的亮度是，结合对数的运算性质即可求出结果．
【解析】设“十字架三”的星等是，“参宿一”的星等是，“十字架三”的亮度是，“参宿一”的亮度是，
则，，设，
两颗星的星等与亮度满足，
，
，
与最接近的是，故选B．
6．已知 则
A． B．2
C． D．
【试题来源】江西省兴国县第三中学2021届高三上学期第四次月考（文）
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；
【解析】因为，所以，所以故选B
7．已知，，，则a，b，c的大小关系是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题
【答案】B
【分析】由对数函数的性质和指数函数的性质判断
【解析】，，
，
，故．故选B
8．已知，，，则，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文）
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性判断的大小，再由对数函数的单调性和对数的运算可得出、的大小.
【解析】因为，因为指数函数的值大于0，所以；
因为在上单调递增，，所以，
因为在上单调递增，，所以，
所以.故选B.
9．交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”.该办法已于2020年4月开始施行.通常我们以分贝为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为的声音对应的分贝数为，那么满足：.若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到，则的声音与的声音强度之比为
A．4 B．100
C．40000 D．10000
【试题来源】江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】D
【分析】根据题中函数解析式，结合对数的运算性质进行求解即可.
【解析】设的声音和的声音强度分别为，所以有：
，，
得，
所以选：D
10．已知、、，且、、，下列不等式正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省菏泽市2021届高三二模
【答案】C
【分析】本题首先可将题中条件转化为、、，然后设，通过导函数求出的单调性，则、、，最后通过即可得出结果.
【解析】即，即，即，
设，则，，，
，
当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
因为、、，所以、、
因为，所以，，故选C.
11．已知，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研
【答案】C
【分析】由对数运算法则变换，再利用对数函数单调性并借助“媒介数”即可作答.
【解析】函数在上单调递增，则，
而，所以.故选C
12．已知实数满足：，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试
【答案】C
【分析】将变为，化为，令，则方程的解即为函数与交点的横坐标，关于的方程的解即为函数与交点的横坐标，根据与互为反函数，得
函数与的交点为函数与交点和与交点的中点，作出函数图象，结合图象，求出函数与的交点得坐标，即可得解.
【解析】由，则，
由，则，即，
则，，，
令，则方程的解即为函数与交点的横坐标，
方程，即关于的方程的解即为函数与交点的横坐标，
因为与互为反函数，则它们关于对称，
则函数与的交点为函数与交点和与交点的中点，
作出函数图象，如图所示：

联立，解得，即，
所以，即.故选C.
13．已知，，，则、、的大小关系为
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试
【答案】A
【分析】变形得，，即可比较得大小，利用比差法结合基本不等式即可比较得大小，从而得出答案.
【解析】，，
因为，所以，所以，即，
由，，
，
因为，
则，
所以，即，所以，
所以.故选A.
14．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省2021届高三高考压轴试卷（一）
【答案】D
【分析】根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【解析】对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
，，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即.故选D．
15．设，则的大小关系是
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一）
【答案】D
【分析】根据指数函数，对数函数的性质判断三个数的范围再比较大小可得答案.
【解析】，
，
，
所以.故选D.
16．若，，，，则，，大小关系正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】专题2.1 —不等式—2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】A
【分析】利用指，对，幂函数的性质，以及和特殊值1比较大小，判断选项.
【解析】；
，；
．故选．
17．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的 以下，则至少需要过滤的次数为
(参考数据，)
A．10 B．12
C．14 D．16
【试题来源】2022年高考数学一轮复习考点一遍过（新高考地区专用）【学科网名师堂】
【答案】C
【分析】设至少需要过滤的次数为，由题意可得，即，两边同时取对数解不等式即可求解.
【解析】设至少需要过滤的次数为，
由题意可得，即
所以，可得
，
所以故至少过滤次．故选C.
18．若，则的大小关系是
A． B．
C． D．
【试题来源】【临门一脚】2021年高考数学（文）三轮冲刺过关
【答案】B
【分析】分别画出函数，的图象，由图象交点坐标，即可判断得出的大小关系．
【解析】分别画出函数，的图象，如图所示，
由图象，可得．

故选B．
19．若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）
【答案】B
【分析】引入函数，利用其单调性判断．
【解析】，易知在上单调递增，因为，
所以，所以，故选B.
20．已知，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省南昌市第十中学2021届高三下学期第一次月考（文）
【答案】A
【分析】根据指数函数的性质，对a，b同时20次方，从而比较大小，且a，b均小于1，而，从而求得结果.
【解析】，，

又
故故选A
21．若实数，，满足，其中，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省淮安市涟水县郑梁梅高级中学2020-2021学年高三上学期期中
【答案】D
【分析】首先判断的范围，以及由条件可知，，，再分别代入选项，根据单调性和特殊值比较大小.
【解析】因为，其中，
所以，，，且，，
所以，，即，故A错误；
，，即，故B错误；
，，因为，所以，
即，即，故C错误；
，，即，故D正确.故选D.
22．若非零实数满足，则与最接近的整数是
A．3 B．4
C．5 D．6
【试题来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测
【答案】B
【分析】设，得到，然后利用对数的运算性质和基本不等式，以及函数的性质，即可求解.
【解析】设，得到，
所以，
由，
由函数，当时，函数为单调递增函数，
令，可得且，解得，
因为，所以，
即，所以的值更接近整数.故选B.
23．设，，，则a，b、c的大小关系为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理）
【答案】D
【分析】求得，，，进而可得结果.
【解析】，，，所以.故选D.
24．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是
A．a＜b＜2 B．b＜a＜2
C．2＜a＜b D．2＜b＜a
【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三二模（理）
【答案】D
【分析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【解析】.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知，又，所以，则a>b.
因为，所以a>b>2.故选D.
25．某市政府为加强数学科学研究，计划逐年加大研发资金投入.已知市政府1980年全年投入研发资金100万元，2020年全年投入研发资金500万元，若每年投入的研发资金的增长率相同.则该市政府2021年全年投入的研发资金约为(本题可用自然对数的近似公式：时，，参考数据：)
A．515 B．520
C．525 D．530
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性月考（六）
【答案】B
【分析】设每年投入的研发资金的增长率为，则由题意得，求出，从而可求出2021年全年投入的研发资金
【解析】设每年投入的研发资金的增长率为，则由题意得，
所以，则，
则2020年全年投入资金为万元，故选B.
26．设，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（三）
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性和指数函数的单调性即可得出与和的关系，即可求解.
【解析】，即，
，
，即，
所以，故选D.
27．已知，则
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省绵阳中学2022届高三上学期第一次质量检测
【答案】A
【分析】运用对数的定义和换底公式、以及运算性质，计算即可得到所求值．
【解析】若，可得，，
则，故选A．
28．设，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省资阳中学2022 届高三上学期第一次质量检测
【答案】B
【分析】用对数恒等式将a化成与b、c同底的对数，再通过对数单调性来比较大小即可.
【解析】
因为在上单调递增，
且，，因为，所以
所以，即；
因为在上单调递增，
且，，因为，所以
所以，所以，故.故选B.
29．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为（为原污染物总量）．要能够按规定排放废气，则需要过滤n小时，则正整数n的最小值为（参考数据：取）
A．13 B．14
C．15 D．16
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文）
【答案】D
【分析】根据已知条件列出式子求解即可.
【解析】由题意知，，
即，即，
，
，故正整数n的最小值为16.故选D．
30．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为（为原污染物总量），要能够按规定排放度气，则需要过滤n小时，则正整数n的最小值为（参考数据；取）
A．14 B．15
C．16 D．17
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（理）
【答案】C
【分析】依题意得，即，解不等式可得结果.
【解析】由题意，因为，所以，所以，，，所以，故正整数n的最小值为16，故选C．