第5章 5.2.3　简单复合函数的导数练习题

这是一份第5章 5.2.3　简单复合函数的导数练习题，共19页。试卷主要包含了复合函数的概念，复合函数的求导法则，函数y＝2的导数为，下列式子正确的是，y＝ex2－1的导数是，求下列函数的导数，函数y＝eq \f的导数是，函数y＝xln的导数为等内容，欢迎下载使用。
5.2.3　简单复合函数的导数

素养目标
学科素养
1.熟练运用导数公式及运算法则求较复杂函数的导数．(重点、难点)
2．了解复合函数的概念．(难点)
3．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点)
1.数学抽象；
2．逻辑推理；
3．数学运算



情境导学
空气清新可人，水面上的叶子苍翠无比，池塘里的水也绿绿的，偶尔还能看见几条小鱼儿自由自在地游来游去，微风过处池塘水面上泛起粼粼微波，一排接着一排涌向池边，回击在池中，形成回环的波浪．只要留心，生活中处处风景怡人，基本的是朴素之美，复合的是深沉之美．上节课我们学习了简单函数的导数，对于复杂函数的导数又该如何求呢？

1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)函数y＝sin2x是由y＝u2与u＝sinx复合而成的．(√)
(2)函数y＝2ln x中，中间变量为u＝ln x．(√)
(3)若函数y＝ln(2x)，则y′＝.(　　)
×　提示：y′＝＝.
(4)对复合函数求导时，一般从内层开始，由里及外，层层求导．(　　)
×　提示：一般是从外层开始，由外及里，层层求导.

1．函数y＝cosnx可由(　　)
A．y＝un和u＝cosxn复合而成
B．y＝u和u＝cosnx复合而成
C．y＝un和u＝cosx复合而成
D．y＝cosu和u＝xn复合而成
C　解析：y＝cosnx，中间变量为u＝cosx.
2．设y＝f(sinx)是可导函数，则y′x等于(　　)
A．f′(sinx)
B．f′(sinx)·cosx
C．f′(sinx)·sinx
D．f′(cosx)·cosx
B　解析：y′x＝f′(sinx)·(sinx)′＝f′(sinx)·cosx.
3．函数y＝(2－x3)2的导数为(　　)
A．2(2－x3) B．(2－x3)2
C．6x2(2－x3) D．－6x2(2－x3)
D　解析：y′＝2(2－x3)2－1·(2－x3)′＝2(2－x3)·(0－3x2)＝－6x2(2－x3)．
4．下列式子正确的是(　　)
A．′＝－sin B．(e2x)′＝e2x
C．(sin3x)′＝3cosx D．[ln(－x＋1)]′＝
D　解析：′＝0，(e2x)′＝2e2x，(sin3x)′＝3cos3x，[ln(－x＋1)]′＝＝.
5．y＝ex2－1的导数是(　　)
A．y′＝(x2－1)ex2－1
B．y′＝2xex2－1
C．y′＝(x2－1)ex
D．y′＝ex2－1
B　解析：y′＝ex2－1·(x2－1)′＝2xex2－1.






【例1】求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；(2)y＝.
解：(1)∵y＝(1－)
＝1－＋－1＝x－－x，
∴y′＝(x－－x)′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.
(2)∵y＝＝＝－sinx－cosx，∴y′＝(－sinx－cosx)′＝sinx－cosx.

1．在求较复杂的函数的导数时首先应考虑是否可变形，能变形的要先变形，判断解析式结构特点，再选择正确的公式，可以减少运算量．
2．当解析式是多项式乘多项式时，要先展开合并；当解析式中含三角函数时，要先用相关的三角恒等式变形，然后求导，这样可以提高运算速度，减少差错．

求下列函数的导数．
(1)y＝sin4＋cos4；
(2)y＝＋.
解：(1)因为y＝sin4＋cos4
＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－×
＝＋cosx，
所以y′＝′＝－sinx.
(2)因为y＝＋＝，
所以y′＝.


【例2】求下列函数的导数．
(1)y＝4； (2)y＝；
(3)y＝sin2； (4)y＝x.
解：(1)y′＝′
＝43′
＝43.
(2)y′＝′
＝[(1－2x2)－]′
＝－(1－2x2)－·(1－2x2)′
＝2x(1－2x2)－
＝.
(3)y′＝′
＝2sin·′
＝2sin·cos·′
＝2sin.
(4)y′＝(x)′
＝x′＋x()′
＝＋
＝.

对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，中间变量的选择应是基本函数的结构，切不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．注意：一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．不要忘记中间变量对自变量的求导．

求下列函数的导数．
(1)y＝(4－3x)2；(2)y＝cos；
(3)y＝ln(4x－1)；(4)y＝ex2.
解：(1)y′＝[(4－3x)2]′＝2(4－3x)·(4－3x)′
＝2(4－3x)·(－3)＝18x－24.
(2)y′＝′＝－sin·′＝－2sin.
(3)y′＝[ln(4x－1)]′＝·(4x－1)′＝.
(4)y′＝(ex2)′＝ex2·(x2)′＝2xex2.


探究题1　函数y＝sin2x的图象在点A处的切线的斜率是(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：∵y′＝2sinx·(sinx)′＝
2sinxcosx＝sin2x，
∴k＝y′|x＝＝sin＝.
探究题2　若曲线y＝x3＋ax在坐标原点处的切线方程是2x－y＝0，则实数a＝________.
解析：曲线y＝x3＋ax的切线斜率k＝y′＝3x2＋a.又曲线在坐标原点处的切线方程为2x－y＝0，∴3×02＋a＝2，故a＝2.

1．利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．求过点P与曲线相切的直线方程时，一般设出切点坐标为(x0，y0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)再代入点P的坐标，求出(x0，y0)．
2．利用导数求参数问题，能较全面地考查导数的应用，突出了导数的工具性作用．

1．若曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
A　解析：因为y′＝(xln x)′＝ln x＋1，所以曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线的斜率k＝y′|x＝e＝ln e＋1＝2，而切线与直线x＋ay＝1垂直，所以2·＝－1，解得a＝2.
2．已知函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，若f′(2)＝5，则a＝________.
1　解析：因为f(x)＝x(1－ax)2＝a2x3－2ax2＋x，所以f′(x)＝3a2x2－4ax＋1.又f′(2)＝5，所以12a2－8a＋1＝5，即3a2－2a－1＝0，解得a＝1或a＝－(舍去)．

1．已知f(x)＝cos2x＋e2x，则f′(x)＝(　　)
A．－2sin2x＋2e2x
B．sin2x＋e2x
C．2sin2x＋2e2x
D．－sin2x＋e2x
A　解析：已知f(x)＝cos2x＋e2x，
所以f′(x)＝－2sin2x＋2e2x.故选A．
2．已知函数f(x)＝ln(2x＋1)，则f′(0)＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．
C　解析：∵f(x)＝ln(2x＋1)，∴f′(x)＝，
∴f′(0)＝2.故选C．
3．曲线y＝e－x在x＝0处的切线斜率为(　　)
A．－1 B．－e
C．1 D．e
A　解析：已知曲线y＝e－x，可得y′＝－e－x，
当x＝0时，则y′|x＝0＝－1＝k，
曲线y＝e－x在x＝0处的切线斜率为－1.故选A．
4．已知f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，则a＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
A　解析：因为f(x)＝ln(2x＋1)－ax，所以f′(x)＝－a，所以f′(2)＝－a＝－1，解得a＝.故选A．
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，且导函数f′(x)有最小值－2，则导函数f′(x)＝________，f的值是________．

2cos　　解析：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，故可得f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，根据图象可得ω＝2，且2×＋φ＝，解得φ＝，
故f′(x)＝2cos，f(x)＝sin，
则f＝sin＝.
6．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝e－0.05x＋1；
(2)f(x)＝(sin2x＋1)2.
解：(1)令u(x)＝－0.05x＋1，φ(u)＝eu，
则f(x)＝φ[u(x)]，
而u′(x)＝－0.05，φ′(u)＝eu，
故f′(x)＝e－0.05x＋1×(－0.05)＝－0.05e－0.05x＋1.
(2)令u(x)＝sin2x＋1，φ(u)＝u2，
则f(x)＝φ[u(x)]，
而u′(x)＝2cos2x，φ′(u)＝2u，
故f′(x)＝2cos2x×2u＝4cos2x(sin2x＋1)，
化简得到f′(x)＝2sin4x＋4cos2x.


1．求较复杂函数的导数时应尽可能地将函数化简，选择正确的公式，然后再求导．
2．复合函数求导时，首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量对自变量的求导．
课时分层作业(十六)
简单复合函数的导数
(60分钟　110分)

知识点1　求较复杂函数的导数
1．(5分)函数f(x)＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为(　　)
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
D　解析：∵f(x)＝x2－(a＋b)x＋ab，
∴f′(x)＝2x－(a＋b)．
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b.
2．(5分)函数f(x)＝的导数是(　　)
A． B．－
C． D．－
C　解析：∵f(x)＝＝x，∴f′(x)＝x－＝.
3．(5分)函数y＝x－(2x－1)2的导数y′＝(　　)
A．3－4x B．3＋4x
C．5＋8x D．5－8x
D　解析：∵y＝x－(2x－1)2＝－4x2＋5x－1，
∴y′＝－8x＋5.
4.(5分)若函数y＝tan x，则y′＝________.
　解析：∵y＝tan x＝，∴y′＝.
知识点2　求复合函数的导数
5．(5分)下列函数不可以看成是复合函数的是(　　)
A．y＝xcosx B．y＝
C．y＝(2x＋3)4 D．y＝sin
A　解析：A是两函数积的形式，不是复合函数，B，C，D均为复合函数．
6．(5分)函数y＝sin2x－cos2x的导数y′＝(　　)
A．2cos B．cos2x＋sinx
C．cos2x－sin2x D．2cos
A　解析：y′＝2cos2x＋2sin2x＝2cos.
7．(5分)函数y＝的导数是(　　)
A． B．
C．－ D．－
C　解析：∵y＝＝(3x－1)－2，
∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′＝.故选C．
8．(5分)函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)
A．ln(2x＋5)－
B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5)
D．
B　解析：y′＝x′·ln(2x＋5)＋x·[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
知识点3　导数运算的应用
9．(5分)设f(x)＝xex，若f′(x0)＝0，则x0等于(　　)
A．e2 B．－1
C． D．ln 2
B　解析：∵f′(x)＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，
∴f′(x0)＝ex0(x0＋1)＝0.
∴x0＋1＝0.∴x0＝－1.
10．(5分)曲线f(x)＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3
D．y＝－2x－2
A　解析：∵f′(x)＝＝，
∴k＝f′(－1)＝＝2.
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
11．(5分)已知函数f(x)＝sin，则其导函数f′(x)是　(　　)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
D　解析：f′(x)＝2cos＝2sin2x，其最小正周期T＝＝π，且为奇函数.
12.(5分)若f(x)＝且f′(1)＝2，则a＝________.
2　解析：∵f′(x)＝·(ax2－1)′＝，
∴f′(1)＝＝2.∴a＝2.
13.(5分)函数f(x)＝5的导数为(　　)
　　　　　　　　　
A．f′(x)＝54
B．f′(x)＝54
C．f′(x)＝54
D．f′(x)＝54
C　解析：f′(x)＝54·′＝54·.　
14．(5分)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A．2 B．
C．－ D．－2
D　解析：∵y＝＝＝1＋，
∴y′＝－.
∴曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率k＝－.
由题意知直线ax＋y＋1＝0的斜率k′＝－a＝2，
∴a＝－2.
15．(5分)点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是(　　)
A． B．∪
C． D．
B　解析：∵y′＝3x2－1≥－1，∴tan α≥－1.
∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
16.(5分)y＝sin2x·cos3x的导数是________________________．
2cos2xcos3x－3sin2xsin3x　解析：y′＝(sin2x)′·cos3x＋sin2x·(cos3x)′
＝2cos2x·cos3x－3sin2x·sin3x.
17.(5分)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.
2　解析：因为y′＝α·xα－1，
所以在点(1,2)处的切线斜率k＝α，
则切线方程为y－2＝α(x－1)．
又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.
18.(5分)直线y＝x＋b能作为下列函数y＝f(x)的切线的有________．(写出所有正确的函数序号)
①f(x)＝；
②f(x)＝ln x；
③f(x)＝sinx；
④f(x)＝－ex.
②③　解析：①f′(x)＝－