专题09统计与概率-备战2022年高考数学母题题源解密（新高考版）（解析版）

这是一份专题09统计与概率-备战2022年高考数学母题题源解密（新高考版）（解析版），共66页。
专题09 统计与概率

【母题来源】2021年新高考Ⅰ卷
【母题题文】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【试题解析】 ，


故选：B
【母题来源】2021年新高考Ⅰ卷
【母题题文】有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样数据的样本极差相同
【答案】CD
【试题解析】A：且，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
C：，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；
故选：CD
【母题来源】2021年新高考Ⅰ卷
【母题题文】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【试题解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为








（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．

【母题来源】2021年新高考Ⅱ卷
【母题题文】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】D
【试题解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
【母题来源】2021年新高考Ⅱ卷
【母题题文】下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ）
A．样本的标准差 B．样本的中位数
C．样本的极差 D．样本的平均数
【答案】AC
【试题解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
【母题来源】2021年新高考Ⅱ卷
【母题题文】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【试题解析】（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.

【命题意图】
理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题，考查考生的运算求解能力、分析与解决问题的能力．
【命题规律】
离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，近三年浙江卷对此内容的考查略有淡化，难度有所降低，主要考查分布列的性质、数学期望、方差的计算及二者之间的关系．
【答题模板】
求离散型随机变量X的分布列的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列．
注意：①与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．
③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
④与独立事件有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
⑤求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求，即可．
【方法总结】
1．离散型随机变量分布列的概念及性质
（1）离散型随机变量的分布列的概念
设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值 (i＝1，2，…，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列．
X


…

…

P


…

…

有时也用等式表示X的分布列．
（2）离散型随机变量的分布列的性质
①(i＝1，2，…，n)；
②．
【必记结论】（1）随机变量的线性关系：若X是随机变量，，a，b是常数，则Y也是随机变量．（2）分布列性质的两个作用：①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值；②随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
2．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X


…

…

P


…

…

（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
（3）均值与方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②D(aX＋b)＝a2D(X)．
3．利用均值、方差进行决策
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．
4．均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．

1．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）在“双”促销活动中，某网店在月日时到时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知时到时的销售额为万元，则时到时的销售额为（ ）

A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
【答案】D
【分析】
根据题意，时时对应的频率为：，总销售数为，进而得时时对应的频率为：，即可得对于的销售额.
【详解】
时时对应的频率为：，总销售数为．
时时对应的频率为：，所以．
故选:D．
2．（2021·陕西高三其他模拟（文））某乡政府对甲、乙、丙三个村的扶贫对象进行抽样调查，其中甲村30人，乙村25人，丙村40人，用分层抽样的方法抽取19人，则从甲、丙两村共抽取的人数为（ ）
A．8 B．11 C．13 D．14
【答案】D
【分析】
根据分层抽样原理分别求得甲、丙两村抽取的人数即可.
【详解】
设甲、丙两村抽取的人数分别为、.
依题意得，解得，，所以.
故选：D.
3．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））三大产业或三次产业，其划分世界各国不完全一致，但基本均划分为三大类：第一产业､第二产业和第三产业.第一产业主要指生产食材以及其他一些生物材料的产业，包括种植业､林业､畜牧业､水产养殖业等直接以自然物为生产对象的产业(泛指农业)；第二产业主要指加工制造产业(或指手工制作业)，利用自然界和第一产业提供的基本材料进行加工处理；第三产业是指第一､第二产业以外的其他行业(现代服务业或商业)，范围比较广泛，主要包括交通运输业､通讯产业､商业､餐饮业､金融业､教育､公共服务等非物质生产行业.如图是我国2015年~2019年三次产业增加值占国内生产总值比重的柱状图，根据柱状图，下列说法正确的是（ ）

A．2015~2019年，第三产业增加值占国内生产总值比构成递增的等差数列
B．2015~2019年，第一产业增加值占国内生产总值比重逐年降低
C．2015~2019年，第三产业增加值占国内生产总值比重最大
D．2015~2019年，第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为39.9
【答案】C
【分析】
根据条形图中的数据对选项一一分析即可.
【详解】
对于A，2015~2019年，第三产业增加值占国内生产总值比依次为：50.8,52.4,52.7,53.3,53.9，易知不满足递增的等差数列，故A错误；
对于B，2015~2019年，第一产业增加值占国内生产总值比重依次为：8.4,8.1,7.5,7.0,7.1，最后一年2019年有所增加，故B错误；
对于C，2015~2019年中，每一年的第三产业增加值占国内生产总值比都超过50，即比重最大，故C正确；
对于D，2015~2019年，第二产业增加值占国内生产总值比重依次为：40.8,39.6,39.9,39.7,39.0，则中位数为39.7，故D错误；
故选：C
4．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设，麒麟部与龙吟部进行首场比赛且麒麟部获得“优胜部门”的情况有：
1、首场麒麟部胜，第二场麒麟部胜；
2、首场麒麟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场龙吟部胜，第四场麒麟部胜；
3、首场龙吟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场麒麟部胜，第四场麒麟部胜；
再由独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可.
【详解】
设事件：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜；
由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为，
∴麒麟部获胜的概率分别是：，
故选：D．
5．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从100分以上的试卷中抽取（ ）
A．10份 B．15份 C．20份 D．30份
【答案】C
【分析】
根据正态分布概率密度曲线的图像与性质，先求得，所以，利用概率即可得解.
【详解】
可知正态曲线的对称轴为，
得，
，
应从100分以上的试卷中抽取.
故选：C
6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））近日，郑州一位96岁奶奶坚持深夜摆摊的视频广为转发，奶奶通透豁达的人生观和对生活独到而深刻的理解令人肃然起敬，我们年轻人正是发愤图强的时候，更要不断努力进取.奶奶的事迹激发了某校同学的阅读兴趣，该校甲､乙两位同学决定利用3天假期到图书馆阅读图书，若甲､乙两位学生每天去图书馆的概率分别为，，且甲､乙两位同学每天是否去图书馆相互独立，那么在这3天假期中，恰有2天甲､乙两位同学都去了图书馆的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，先计算甲､乙两位同学在某一天都去图书馆的概率为，两人某一天没有都去图书馆的概率，再求这3天假期中，恰有2天甲､乙两位同学都去了图书馆的概率.
【详解】
根据题意，甲､乙两位同学在某一天都去图书馆的概率为，
两人某一天没有都去图书馆的概率.
则在这3天假期中，恰有2天甲､乙两位同学都去了图书馆的概率为.
故选:D.
7．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知随机变量服从正态分布(3，4)，则与的值分别为（ ）
A．13，4 B．13，8 C．7，8 D．7，16
【答案】D
【分析】
由期望和方差的性质公式可得答案.
【详解】
由已知得，
故，.
故选：D
8．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
【答案】A
【分析】
根据正态分布概率关系求得结果.
【详解】
由，
则
故选：A
9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.7，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，则生产时得到合格零件的概率是（ ）
A．0.49 B．0.73 C．0.79. D．0.91
【答案】C
【分析】
生产得到合格零件分为第一次就得到合格零件和第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件，从而可得答案.
【详解】
设事件: “第一次就得到合格零件”，设事件: “第一次得到不合格零件，进行一次技术精加工后得到合格零件”
所以,
所以生产时得到合格零件的概率是
故选：C
10．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（理））“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，传到了欧洲，到了近现代逐渐风靡世界．其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小明和小华两位同学进行三局两胜制的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则比赛进行三次且小华获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题可根据题意得出每一局游戏获胜的可能性是，前两局游戏小华一局胜一局不胜，第三局小华获胜，然后根据概率乘法公式即可得出结果.
【详解】
根据游戏规则易知，每一局游戏小华获胜的可能性都是，
因为比赛进行三次且小华获胜，
所以前两局游戏小华一局胜一局不胜，第三局小华获胜，
则比赛进行三次且小华获胜的概率,
故选：A.
11．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述正确的有（ ）

A．七月的平均温差比一月的平均温差大
B．十月的平均温差最大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温在到之间的月份至少有个
【答案】AC
【分析】
根据雷达图判断.
【详解】
对于选项A，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，
所以七月的平均温差比一月的平均温差大，故A正确；
对于选项B，十月的平均温差明显小于七月，故B不正确；
对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为，故C正确；
对于选项D，平均最高气温在到之间的月份有五月､九月，共2个月份，故D不正确．
故选：AC．
12．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）下列说法正确的是（ ）
A．设随机变量X等可能取，…，n，如果，则
B．设随机变量X服从二项分布，则
C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
【答案】ABC
【分析】
对于A：由，解之可判断；
对于B，根据二项分布可判断；
对于C，根据两点分布计算可判断；
对于D：根据正态分布的对称性可判断；
【详解】
对于A：对于，故A正确；
对于B，设随机变量X服从二项分布，则，故B正确；
对于C，因为且，故C正确；
对于D：随机变量服从正态分布正态曲线的对称轴是.
，D错误；
故选：ABC.
13．（2021·广东实验中学高三其他模拟）以下四个命题中真命题是（ ）
A．为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40
B．线性回归直线恒过样本点的中心
C．随机变量服从正态分布，若在内取值的概率为0.1，则在内的概率为0.4
D．概率值为零的事件是不可能事件
【答案】BC
【分析】
根据概率统计相关概念和性质，逐项分析判断即可得解.
【详解】
对A，由，所以分段间隔为20，故A错误；
对B，根据线性回归方程的性质可知回归直线恒过样本点的中心，
故B正确度 ；
对C，由正态分布的性质可得正态分布密度曲线关于对称，
故在内取值的概率为，由在内取值的概率为0.1，
所以在内的概率为，由对称性可得故在内的概率为0.4，故C正确；
对D，对于连续型随机变量的情况下，某特定点被取到的概率为零，但是可能发生，
并不是不可能事件，故D错误.
故选：BC.
14．（2021·吉林松原市·高三月考），随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（ ）








A．的值最大 B．
C．随着概率的增大而减小 D．随着概率的增大而增大
【答案】BD
【分析】
本题可通过取得出A错误，然后通过得出B正确，最后通过得出C错误，D正确.
【详解】
当时，，，A错误；
因为，所以，即，B正确，
，
因为，所以随着的增大而增大，C错误，D正确，
故选：BD.
15．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）某工厂生产的个零件中，一级品个，二级品个，三级品个，按照分层抽样的方法从中抽取容量为的一个样本，若从样本中随机抽取个进行质检，记为抽到的一级品的个数，则___________．
【答案】
【分析】
根据题意写出所有可能的取值，然后求出对应概率，即可求出所求.
【详解】
按照分层抽样抽取一级品个，二级品个，三级品个；的可能取值有，，，
，，，
所以．
故答案为：.
16．（2021·重庆高三其他模拟）现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到件瑕疵品，则的数学期望是___________.
【答案】
【分析】
写出X的所有可能值，算出X取每个值时的概率即可作答.
【详解】
依题意，X的所有可能值是0，1，2，
，，，
，
所以的数学期望是.
故答案为：
17．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．开始甲持球，传球两次后，球回到甲手里的概率________________；传球次后，球回到甲手里的概率________________．
【答案】
【分析】
（1）经过一次传递后，落在乙丙手中的概率分别为，而落在甲手中的概率为，由此能求出两次传递后球落在甲手中的概率之值．
（2）要想经过次传递后球落在甲的手中，那么在次传递后球一定不在甲手中，所以，，…，由此能求出．
【详解】
（1）经过一次传递后，落在乙丙手中的概率分别为，
而落在甲手中的概率为0，因此，
两次传递后球落在甲手中的概率为．
（2）要想红过次传递后球落在甲的手中，那么在次传递后球一定不在甲手中，
所以，
因此，
，，
∵，
∴，
，
所以．
故答案为：，．
18．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））2020年3月，工业和信息化部信息通信发展司发布《工业和信息化部关于推动5G加快发展的通知》，鼓励基础电信企业通过套餐升级优惠、信用购机等举措，促进5G终端消费，加快用户向5G迁移．为了落实通知要求，掌握用户升级迁移情况及电信企业服务措施，某巿调研部门]随机选取了甲、乙两个电信企业的用户共165户作为样本进行满意度调查，并针对企业服务措施设置了达标分数线，按照不低于80分的定为满意，低于80分的为不满意，调研人员制作了如图所示的列联表．

满意
不满意
合计
甲企业用户
75


乙企业用户

20

合计



已知从样本的165户中随机抽取1户为满意的概率是．
（1）请将列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“满意度与电信企业服务描施有关系”？
（2）用分层抽样方法抽取6个对甲、乙企业服务不满意用户，再从这6个用户中随机抽取3个进行不满意原因调查，求3个用户中有1个对甲企业不满意的概率．
下面临界值表仅供参考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中）
【答案】（1）填表见解析；有；（2）．
【分析】
（1）根据题意分析数据进行填表，根据列联表计算卡方，最后根据独立性检验做出判断即可；（2）根据分层抽样确定抽样取的6户中，不满意甲的有2户,不满意乙的有4户，接着分析从这6个用户中随机抽取3个的所有情况，再列出所有满足事件“3个用户中有1个对甲企业不满意”的基本事件，最后根据古典概型公式计算概率即可.
【详解】
解：（1）设样本中乙企业用户中满意的有户，结合列联表知

所以，列联表是：

满意
不满意
合计
甲企业用户
75
10
85
乙企业用户
60
20
80
合计
135
30
165
所以，列联表是：
从而，
故可以判断有95%的把握认为“满意度与电信企业服务措施有关系”
（2）由（1）可知，对甲不满意的由10户，对乙不满意的由20户，按系统抽样取6户，则不满意甲的取2户，用，表示,不满意乙的取4户，用1，2，3，4表示，从其中取3户的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，，123，124，134，共20个且互斥，
其中符合要求的有，，，，，，，，，，，共12个基本事件，
设有1个对甲企业不满意为事件,
则，
故3个用户中有1个对甲企业不满意的概率为.
19．（2021·陕西高三其他模拟（理））某社区随机选取了部分居民，调查他们对今年春节期间社区组织文艺和体育活动的意见(每人只选择其中一项)，调查结果如下表所示：

文艺活动
体育活动
男性居民
15
20
女性居民
25
10
（1）判断能否有的把握认为居民选择的活动类型与性别有关；
（2）用分层抽样方法，在样本中选择文艺活动的居民中按性别抽取8人，再从这8人中随机选3人，记这3人中男性居民的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.








【答案】（1）的把握认为居民选择的活动类型与性别有关；（2）分布列见详解，数学期望为．
【分析】
（1）根据独立性检验公式计算结果，再对比表格数据即可判断结果；
（2）根据分层抽样计算公式求出各层人数，然后写出的可能取值，用超几何分布求解概率，从而得出分布与数学期望．
【详解】
（1）由
所以有的把握认为居民选择的活动类型与性别有关；
（2）用分层抽样方法，男性居民抽取人数为：
女性居民抽取人数为：
则的可能取值为：0，1，2，3．
依题意得，
，
所以分布列为

0
1
2
3





数学期望为．
20．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））某企业销售部门为了解员工的销售能力，设计了关于销售的问卷调查表，从该部门现有员工中性别(男生占45%)分层抽取n名进行问卷调查，得分分为1，2，3，4，5五个档次，各档次中参与问卷调查的员工的人数如条形图所示，已知第5档员工的人数占总人数的.

（1）（i）求n与a的值；
（ii）若将某员工得分所在的档次作为该员工的销售能力基数(记销售能力基数为能力基数高，其他均为能力基数不高).在销售能力基数为5的员工中，女生与男生的比例为7∶3，以抽的n名员工为研究对象，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关.

男生
女生
合计
销售能力基数高



销售能力基数不高



合计



（2）为提高员工的销售能力，部门组织员工参加各种形式的培训讲座，经过培训，每位员工的营销能力指数y与销售能力基数以及参加培训的次数t满足函数关系式.如果员工甲的销售能力基数为4，员工乙的销售能力基数为2，则在甲不参加培训的情况下，乙至少需要参加多少次培训，其营销能力指数才能超过甲？
参考数据及参考公式：，
附：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.01

2.072
2.706
3.841
6.635
【答案】（1）（i）；（ii）列联表答案见解析，没有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关；（2）乙至少需要参加17次培训，其营销能力指数才能超过甲.
【分析】
（1）（i）根据题意，列方程求出n、a的值；
（ii）根据题意，填写列联表，计算出K2，对照临界值表即可得出结论；
（2）计算员工甲的学习能力以及员工乙在参加了t次学习方法课程后的学习能力，建立不等式即可求解．
【详解】
解：（1）（i）由题意，可得，所以；
（ii）列联表如表所示：

男生
女生
合计
销售能力基数高
6
14
20
销售能力基数不高
39
41
80
合计
45
55
100
∴，
所以没有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关；
（2）员工甲不参加培训的营销能力指数，
员工乙参加t次培训后的营销能力指数，
由已知得，则，
所以乙至少需要参加17次培训，其营销能力指数才能超过甲.
21．（2021·广东汕头市·金山中学高三三模）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒､保质保量”成为口罩生产线上的重要标语.
（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序.已知批次的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，.求批次成品口罩的次品率.
（2）已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率.某医院获得批次，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示；求出，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？

附：，

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）；（2），有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.
【分析】
（1）根据对立事件的概率的求法，可得批次成品口罩的次品率为
(2) 由题意可得，求出导数，得出函数的单调区间，从得出的值. 先根据等高条形图，先列出列联表，再由公式求出，再与临界值比较，得出结论.
【详解】
解：（1）批次成品口罩的次品率为
；
（2）100个成品口罩中恰有1个不合格的概率为，
所以，
令，解得，当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以的最大值点为，
由条形图可建立列联表如下：
核酸检测结果
口罩批次
合计



呈阳性
12
3
15
呈阴性
28
57
85
合计
40
60
100
所以，
因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.
22．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表：
平均每天锻炼的时间(分钟)






总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均课外体育锻炼时间在内的学生评价为“课外体育达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；

课外体育不达标
课外体育达标
总计
男



女

20
110
总计



（2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生，求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率.
【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）.
【分析】
（1）根据题目给出数据，填写列联表，计算的值，与临界值6.635比较即可
（2）利用超几何分布公式计算，得到概率分布，利用期望公式计算即可；
（3）利用二项分布计算即可.
【详解】
（1）

课外体育不达标
课外体育达标
总计
男
60
30
90
女
90
20
110
总计
150
50
200
，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.
（2）易知，所抽取的10名学生中，男生为名，女生为名.X可取.
.
的分布列为
X
0
1
2
3
P




.
（3）设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为，（1）中表中学生课外体育达标的频率为，将频率视为概率，.
名学生中，恰好有2名学生的课外体育达标的概率为.
23．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三三模（文））“一本书，一条街，一教堂，一条江”曾是哈尔滨的城市名片，而现在“哈马”又成为了哈尔滨的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在哈尔滨，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每周进行长跑训练的天数
不大于2天
3天或4天
不少于5天
人数
30
130
40
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；
（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能有99%的把握认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？

热烈参与者
非热烈参与者
合计
男


140
女

55

合计



参考公式及数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）4000人；（2）填表见解析；能有99%的把握认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关．
【分析】
（1）以频率作为概率计算求解即可；
（2）补全2×2列联表，计算K2的值，对照临界表中的数据，判断即可．
【详解】
（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，
则该市2万人参与马拉松运动，其中“热烈参与者”的人数约为＝4000人；
（2）由题意，2×2列联表如下：

热烈参与者
非热烈参与者
合计
男
35
105
140
女
5
55
60
合计
40
160
200
因为K2＝，
所以能有99%的把握认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关．
24．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）小田开小汽车上班的道路要经过5个红绿灯路口，若小田到达每一个路口是相互独立的，到达每一个路口遇到红灯的概率都为，遇到绿灯的概率都为.
（1）若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要5分钟，在路口遇到红灯的平均等待时间为1分钟，每两个路口之间的行驶时间为2分钟，求小田从出门到办公室的时间的平均值；
（2）小田骑电动车上班的道路只要经过3个红绿灯路口(只有红灯或绿灯)，随机到达第一个路口遇到红灯､绿灯的概率都为，一个路口遇到红灯时下一个路口遇到红灯和一个路口遇到绿灯时下一个路口遇到绿灯的概率都为，求小田遇到红灯个数的平均值；
（3）若小田骑电动车走道路，从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要4分钟，在路口遇到红灯的平均等待时间为1分钟，每两个路口之间的行驶时间为5分钟.从时间来考虑，请问小田上班是开小汽车好，还是骑电动车好？
【答案】（1）；（2）；（3）小田上班骑电动车较好.
【分析】
（1）设小田开车遇到红灯的个数为，则由题意可知，设小田开车从出门到办公室的时间为，则，从而可求出；
（2）设小田骑车遇到红灯的个数为，则可能为0，1，2，3，然后根据题意求出对应的概率，从而可求出；
（3）设小田骑车从出门到办公室的时间为，则，从而由求得结果
【详解】
（1）设小田开车遇到红灯的个数为，则，
设小田开车从出门到办公室的时间为，则，
平均值；
（2）设小田骑车遇到红灯的个数为，则可能为0，1，2，3，
(绿绿绿)，
，
，
，
∴；
（3）设小田骑车从出门到办公室的时间为，则，
平均值，所以小田上班骑电动车较好.
25．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元）
20
50
概率


现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，
【分析】
（1）直接根据公式计算得到，再根据正态分布的对称性及计算得到答案.
（2）获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（1）由题意得：，
∴ ，∵，
，



（2）由题意知，.
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，，，
，，.
∴的分布列为：
 
 20
 40
 50
 70
 100
 
 
 
 
 
 
∴.
26．（2021·河南高三其他模拟（理））无线电技术在航海中有很广泛的应用，无线电波可以作为各种信息的载体．现有一艘航行中的轮船需要与陆地上的基站进行通信，其连续向基站拍发若干次呼叫信号，每次呼叫信号被基站收到的概率都是，基站收到呼叫信号后立即向轮船拍发回答信号，回答信号一定能被轮船收到．
（1）若要保证基站收到信号的概率大于，求轮船至少要拍发多少次呼叫信号．
（2）设（1）中求得的结果为．若轮船第一次拍发呼叫信号后，每隔秒钟拍发下一次，直到收到回答信号为止，已知该轮船最多拍发次呼吸信号，求的数学期望（结果精确到）．
参考数据：．
【答案】（1）至少要拍发次呼叫信号；（2）．
【分析】
（1）设“轮船拍发次呼叫信号，基站至少收到次信号”为事件，则其对应事件表示“轮船拍发次呼叫信号，基站收到次信号”，其中为正整数．解不等式即得解；
（2）先写出的分布列，再利用错位相减法求的数学期望.
【详解】
（1）设“轮船拍发次呼叫信号，基站至少收到次信号”为事件，则其对应事件表示“轮船拍发次呼叫信号，基站收到次信号”，其中为正整数．
要使，则需．
由题可知．
因为．
而，
又因为，所以，即轮船至少要拍发次呼叫信号．
（2）若第次呼叫信号就被基站收到，则轮船秒会收到回答信号从而停止拍发，秒内轮船会继续拍发次，即一共拍发了次呼叫信号；
若前（）次呼叫信号都没有被基站收到；第次呼叫信号被基站收到，与上面同理，停止拍发时轮船一共拍发了次呼叫信号；
若前次呼叫信号都没有被基站收到，轮船会拍发次后停止．
所以随机变量的分布列如下：




…







…



所以
，
所以．
两式相减得
，
所以．
27．（2021·南京师范大学附属扬子中学高三其他模拟）在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取600户家庭作为样本，获得数据如下表：

A地区
B地区
2019年人均年纯收入超过10000元
120户
200户
2019年人均年纯收入未超过10000元
180户
100户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.
（1）分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，且把频率视作概率.求的分布列和数学期望；
（2）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元.根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由.
参考数据：.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）答案见解析.
【分析】
（1）规定事件：从地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，事件：从样本中地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，分别用频率估计概率；列举的可能取值为0，1，2，分别求概率，列出分布列，计算数学期望；
（2）规定事件为“从样本中地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，直接分析数据下结论.
【详解】
解：（1）设事件：从地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，则可以估计为
设事件：从样本中地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，则可以估计为.由题意知，的可能取值为0，1，2，


所以的分布列为：

0
1
2




所以的数学期望为.
（2）设事件为“从样本中地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，
假设样本中地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得
答案示例1：可以认为有变化，理由如下：
P(C)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020
年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化.
答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：
事件E是随机事件，P(C)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.
28．（2021·安徽六安市·六安一中高三其他模拟（理））为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛—校级联赛—选拔性竞赛—国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校､县(区)､地(市)､省､国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光体育节活动，其中传统项目定点踢足球”深受同学们喜爱.其间甲､乙两人轮流进行足球定点踢球比赛(每人各踢一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲､乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响.
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；
（2）用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率.求，.
【答案】（1）；（2），；
【分析】
（1）的可能取值为，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望．
（2）由（1）知，，经过三轮踢球，甲的累计得分高于乙有四种情况：求解．
【详解】
解：（1）甲命中为事件，乙命中为事件，，相互独立， ， ，甲的得分的可能取值为，0，1，
，
，
．
的分布列为：


0
1




所以．
（2）由（1）知，

经过三轮踢球，甲的累计得分高于乙有四种情况：
一是三轮甲各得1分，二是三轮中有两轮甲各得1分，一轮得0分，三是三轮中有一轮甲得1分，两轮各得0分，四是两轮各得1分，1轮得分．
．
29．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了树木，某农科所为了研究树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取棵树木，调查得到树木根部半径(单位：米)与树木高度(单位：米)的相关数据如表所示：














（1）求关于的线性回归方程；
（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某树木的残差为零，则认为该树木“长势标准”，以此频率来估计概率，则在此片树木中随机抽取棵，记这棵树木中“长势标准”的树木数量为，求随机变量的数学期望与方差.
参考公式：回归直线方程为，其中
【答案】（1）；（2）期望，方差.
【分析】
（1）由最小二乘法先求样本点中心，再代入公式求，即可得到答案；
（2）先计算6棵A树木中残差为零的有3棵，占比为，即可得到随机变量，根据二项分布的期望和方差公式可得答案；
【详解】
（1）由，，
，
，
有，，
故关于的回归方程为：.
（2）当时，，残差为，
当时，，残差为，
当时，，残差为，
当时，，残差为，
当时，，残差为，
当时，，残差为，
由这6棵A树木中残差为零的有3棵，占比为，
这棵树木“长势标准”的概率为.
所以记这棵树木中“长势标准”的树木数量为，且，
所以随机变量的数学期望为，方差.
30．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量



发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【答案】（1）；（2）应安装发电机2台.
【分析】
（1）根据题意先计算出，，，由二项分布能求出在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）记水电站年总利润为，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，从而得到应安装几台发电机.
【详解】
（1）依题意，



由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

（2）记水电站年总利润为(单位:万元).
①安装1台发电机的情形，由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润，
②安装2台发电机的情形，依题意，当时，一台发电机运行，此时
，因此；当 时，两台发电机运行，此时，因此 由此得 的分布列为：

840
2000

0.2
0.8
所以，；
③安装3台发电机的情形，依题意，当时，一台发电机运行，此时
，因此，；当 时，两台发电机运行，此时，因此，
，当 时，三台发电机运行此时，因此，，由此得 的分布列为：

680
1840
3000

0.2
0.7
0.1
所以，，
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
31．（2021·四川成都市·双流中学高三三模（理））从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.

（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1），平均身高为；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）利用直方图的面积之和为可求得的值，将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出平均数；
（2）分析可知，根据二项分布可得随机变量的分布列，进而可计算得出的值.
【详解】
（1）根据题意得，解得，
设样本中男生身高的平均值为，
，
所以估计该市中学全体男生的平均身高为；
（3）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为.
由已知得，
所以，，
，.
随机变量的分布列为










所以.
32．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某厂工会在征求职工对节假日期间的业余生活安排意见时，随机抽取200名职工(其中35岁以下职工占75%)进行问卷调查.统计数据显示，35岁以下职工愿意观看电影的占80%，35岁及以上职工愿意观看电影的占40%.
（1）完成下列2×2联列表，并判断能否有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关.

愿意观看电影
不愿意观看电影
合计
35岁以下



35岁及以上



合计



（2）该厂工会节假日期间共组织4次观看电影活动，统计35岁以下职工观看电影场次如表：
观看场次
1
2
3
4
占比
40%
30%
20%
10%
现采用分层抽样的方法从中抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，记这2人观看电影的总场次为X，求X的概率分布和数学期望.
附：，其中.

0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）联列表答案见解析，有的把握认为观看电影与年龄有关；（2）概率分布答案见解析，数学期望：.
【分析】
(1)根据题意完成表格，计算和10.828进行比较，即可判断能否有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关；
(2)根据题意计算各个观看场次的人数，结合超几何分布方法，即可得到分布列与数学期望.
【详解】
(1)

愿意观看电影
不愿意观看电影
合计
35岁以下
120
30
150
35岁及以上
20
30
50
合计
140
60
200
从而，
所以有的把握认为观看电影与年龄有关.
(2)用分层抽样的方法抽取的10人中，观看场次为的人数分别为4，3，2，1.
从这10人中随机抽取2人，观看电影的总场次的可能取值为2，3，4，5，6，7，
其概率分别为：
，
，
，
，
，
，
所以的概率分布为：

2
3
4
5
6
7







所以.
33．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）皮皮鲁同学乘坐米多多老师为其设计制造的“时空穿梭机”，通过相应地设置，可以穿梭于过去、现在和未来．某天，皮皮鲁同学回来兴奋地告诉同学们：2035年，教育部将在长郡中学试行高考考试改革，即在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（1）求该学生考上大学的概率．
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为，求的分布列及的数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】
（1）正难则反，先求没考上大学的概率，有两种情况，前四次通过一次最后一次没通过，或者前四次都没通过，求出概率相加即可得解；
（2）根据题意该生参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，分别求出各个数据的概率，求出分布列，根据期望公式即可得解.
【详解】
（1）记“该生考上大学”为事件，其对立事件为，则．
．
（2）该生参加测试次数的可能取值为2，3，4，5．
，
，
，
．
故的分布列为：

2
3
4
5





．
34．（2021·河北饶阳中学高三其他模拟）由商务部和北京市人民政府共同举办的2020年中国国际服务贸易交易会（简称服贸会）于9月4日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”.某高校为了调查学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取100名学生进行采访.根据统计结果，采访的学生中男女比例为，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的女生中有25名了解服贸会，请你解答下面所提出的相关问题
（1）完成列联表，并回答“是否有的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.
了解情况
性别
了解
不了解
合计
男生



女生



合计


100
（2）若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为，求出的分布列及数学期望.
附：，

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）表格见解析，没有；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）根据已知，计算有关数据，填写列联表；代入公式计算求得K2的观测值，看是否大于1-99%=0.01的临界值即可得到结论；
（2）先确定抽取的5人中男生有3人，女生有2人.然后利用超几何分布求得分布列，并根据定义计算期望.
【详解】
（1）列联表如下：
了解情况
性别
了解
不了解
合计
男生
50
10
60
女生
25
15
40
合计
75
25
100
，
没有的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关;
（2）根据题意，抽取的5人中男生有3人，女生有2人.
从这5人中随机抽取3人，则男生人数的所有可能取值为1，2，3，
则，，.
的分布列为

1
2
3
P



.
35．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）“绿水青山，就是金山银山”2020年9月22日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球，中国将提高贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和，某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表.
树苗高度()



树苗售价(元/株)
4
6
8

（1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选三株，求售价之和不低于20元的概率；
（2）以样本中树苗高度的频率作为育苗基地中树苗高度的概率.若从该育苗基地银杏树树苗中任选4株，记树苗高度超过140的株数为，求随机变量的分布列和期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）首先根据分层抽样确定各层的数量，然后结合组合以及求古典概型的概率的公式即可；
（2）求出的所有可能取值，然后求出对应概率，进而列出分布列，再根据二项分布求期望的公式即可求解.
【详解】
（1）高度在内的占比为，
高度在内的占比为，
高度在内的占比为，
从这120株树苗中，按售价分层抽取8株，其中2株4元，4株6元，2株8元，
再从中任选三株，售价之和不低于20元，可以为､､，
故所求概率为.
(2若从该育苗基地银杏树树苗中任选4株，高度超过140cm的概率为
由题意可知，则；；；；.
所以，随机变量分布列如下表所示：

0
1
2
3
4






随机变量的数学期望为.
36．（2021·广东实验中学高三其他模拟）某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学参加打扫校园志愿活动.该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人员名单.抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学可参加活动.
（1）设该校高二年级报名参加活动的甲同学的编号被抽取到的次数为，求的分布列和数学期望；
（2）设两次都被抽取到的人数为变量，则的可能取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2），取值为18的可能性最大，理由见解析.
【分析】
（1）由题意得，可得，从而得的分布列和期望；
（2）两次抽中的人数，则求出，令，由可得答案.
【详解】
（1）因为甲同学在第一次被抽到的概率是，
第二次被抽到的概率也是，且两次相互独立，所以，
所以，
的分布列为

0
1
2




所以.
（2）两次抽中的人数，则，
设，那么，
解得，所以，
所以当时可能性最大.
37．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩(总分50分)，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求所抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于内的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】
（1）根据频率分布直方图求平均数；
（2）首先求出的所有可能取值，然后求出对应概率，即可列出分布列，进而根据期望的概念即可求出结果.
【详解】
（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：
的频率为：；的频率为：；
的频率为：；的频率：；
的频率为：，
∴.
（2）根据题意得每个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于内的概率为，
所以，的可能取值为：0，1，2，3，4，
，，
，，
，
∴的分布列为：

0
1
2
3
4






∴.
38．（2021·吉林松原市·高三月考）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，.
（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.
【答案】（1）；（2）理论上至少要进行轮游戏，.
【分析】
（1）由题分析可能的情况，利用独立事件概率公式和独立重复事件概率公式计算；
（2）先求得他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率，并化简为关于的二次函数，利用不等式的基本性质和基本不等式求得的取值范围，进而求得的最大值，按照此最大值，利用二项分布的期望公式求得他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数的期望值的最大值，令此最大值等于16，即求得理论上上他们小组要进行的游戏轮数的最小值，并根据基本不等式成立的条件求得此时，的值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:
.
（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:

，
因为，所以，
因为，，，所以，，
又，所以，
令，以，则，
当时，，
他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数满足，
由，则，所以理论上至少要进行轮游戏.
此时，，.
39．（2021·普宁市普师高级中学高三其他模拟）年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.某社区组织了名社区居民参加防疫知识竞赛，他们的成绩全部在分至分之间，现将成绩按如下方式分成组：第一组，成绩大于等于分且小于分；第二组，成绩大于等于分且小于分；第六组，成绩大于等于分且小于等于分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求社区居民成绩的众数及的值；
（2）我们将成绩大于等于分称为优秀，成绩小于分称为不合格.用分层抽样的方法从这个成绩中抽取个成绩继续分析，成绩不合格和优秀各抽了多少个？再从抽取的不合格成绩和优秀成绩中任选个成绩，记优秀成绩的个数为个，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）众数为，；（2）成绩不合格的个数为，成绩优秀的个数为，分布列答案见解析，数学期望为.
【分析】
（1）利用最高矩形底边的中点值为样本的众数可得出社区居民成绩的众数，利用直方图的面积之和为可求得的值；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的数学期望.
【详解】
（1）由频率分布直方图得众数为，
由于所有矩形的面积和为，则，得；
（2）成绩不合格有个，优秀有个，可能取值为、、、，
，，，，
的分布列为










.
40．（2021·贵州省瓮安中学高三其他模拟（理））为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为，回答完5个问题后，记甲上的台阶等级数为.
（1）求；
（2）求的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）分析时甲答对的问题数，然后根据独立重复试验的概率公式求解出；
（2）分析的可取值，然后计算出每个的取值对应的概率，由此得到的分布列并计算出数学期望值.
【详解】
当时，则甲答对了个问题，答错了个问题，
所以；
（2）由题意可知，的可取值有：，
，
，
；
；
；
；
所以的分布列为：














所以.
41．（2021·辽宁高三其他模拟）《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人オ为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列．质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：

（1）写出频率分布直方图（甲）中a的值；记甲、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为，试比较的大小（只需给出答案）；
（2）若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标进行判断，是否有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异？

甲
乙
合计
优质产品



不是优质产品



合计
100
100
200


0.05
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
（3）由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z服从正态分布．其中近似为样本平均数近似为样本方差，设X表示从乙种无人机中随机抽取10架，其质量指标值位于（11.6，35.4）的架数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得；②若，则．
【答案】（1）a＝0.010，；（2）没有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异；（3）．
【分析】
（1根据题设结果频率分布直方图得出结论；（2）完善列联表，根据公式求得，和表中比较得出结论；（3）利用正态分布公式求得，结合二项分布求得结果．
【详解】
解：（1）a＝0.010，且；
（2）甲种无人机中优质率为0.25＋0.1＋0.35＝0.7，所以甲种无人机中优质产品有70架，不是优质产品的有30架；乙种无人机中优质率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，所以乙种无人机中优质产品有60架，不是优质产品的有40架．
列联表如下：

甲
乙
合计
优质产品
70
60
130
不是优质产品
30
40
70
合计
100
100
200
，故没有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异．
（3）计算得：，
由条件，从而，
故从乙种“无人机”中随机抽取1架，其质量指标值位于（11.6，35.4）的概率是0.6826，
根据题意得，

42．（2021·山西高三三模（理））2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.
【分析】
（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.
【详解】
解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：

0
1
2




.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
43．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
使用扫码支付的人次y(单位：万人)
5
12
16
19
21
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.
（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点的回归直线为相关数据：(其中.
【答案】（1）回归方程为，2021年该商场使用移动支付的有23万人次；（2）（i）分布列答案见解析，数学期望：(元)；（ii）小张选择方案二付款优惠力度更大.
【分析】
（1）先求出，再选择数据代入求出，由求出，再将替换成即可求出y与x之间的回归方程，将2021年年份代号为6代入即可求解对应人次；
（2）（i）由题设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200，结合超几何分布求出对应概率，列出分布列求出期望即可；
（ii）结合离散型随机变量公式求出方案二对应的付款期望值，与方案一比较即可
【详解】
（1）计算知14.6，
所以=10，
，
所以所求的回归方程为，
当时，(万人次)，
估计2021年该商场使用移动支付的有23万人次；
（2）（i）若选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200，
，
，
故X的分布列为

140
160
200




所以(元)；
（ii）若选择方案二，记需支付的金额为Y元，
则Y的可能取值为160，180，190，
则其对应的概率分别为，
所以，
由（1）知，
故从概率角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大.
44．（2021·广西高三其他模拟（理））十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为，．
（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；（2）至少要进行19轮竞赛．
【分析】
（1）由题意可知获“优秀小组”的情况包含三种情况，分别计算概率，再求和；
（2）首先计算甲乙同学获得“优秀小组”的概率，再根据，利用基本不等式求的范围，再将概率表示为二次函数求的最大值，根据，计算的最小值.
【详解】
（1）由题可知，所以可能的情况有：
①甲答对1次，乙答对2次的概率
②甲答对2次，乙答对1次的概率；
③甲答对2次，乙答对2次的概率
故所求的概率
（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为：

因为，，，所以，，
所以
利用基本不等式知，当且仅当时，等号成立，
，
令，则，
所以当时，，
他们小组在竞赛中获“优秀小组”次数满足
由，则，所以理论上至少要进行19轮比赛.
45．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项日中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、.
（1）对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率；
（2）该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员万元并进行实验乙，否则技术人员不获得奖励且该项目终止；实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员万元奖励并进行实验丙，否则技术人员不追加奖励且该项目终止；实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术员万元奖励，否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X（单位：万元）表示技术人员所获得奖励的数值，写出X的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可计算得出的值.
【详解】
（1）记实验甲、乙、丙成功分别为事件、、，且相互独立，
记事件对实验甲、乙、丙各进行一次，至少成功一次，
则 ；
（2）由题意可知，随机变量的可能值有、、、，
则，，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
X




P




所以，随机变量的数学期望为（万元）.
46．（2021·东莞市东方明珠学校高三其他模拟）某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次．
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．
（1）若，试求关于的函数关系式；
（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正整数，且，都有成立．
①求证：数列是等比数列；
②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：，．
【答案】（1）；（2）①证明见详解；②.
【分析】
（1）先由题意，得到；的可能取值为，；由离散型随机变量的期望求出，再由，化简整理，即可得出结果；
（2）①当时，由题中条件，得到，推出，令；利用数学归纳法证明对任意的正整数，即可；
②由①的结果，得到，根据题中条件，得到，推出；设，，对其求导，根据导数的方法判定其单调性，再结合具体的函数值，即可得出结果.
【详解】
（1）由已知，，，得；
的可能取值为，，
由题意，，
所以；
又，即，则，所以，
即关于的函数关系式为；
（2）①证明：当时，，所以，令，则；
因为，所以下面证明对任意的正整数，；
（i）当时，显然成立；
（ii）假设时，成立；
当时，由，
所以，
则，
即，所以，
因此，解得或（负值舍去），
所以；
由（i）（ii）可知，，即数列是等比数列；
②由①知，，
因为采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，即，
所以，则，
所以，即；
设，，
则，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以；
又，，
所以使的最大整数的取值为，
即时，的最大值为；
综上，的最大值为.
47．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）2021年3．15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．
（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1万元，试从数学期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1）；（2）该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
【分析】
（1）方案一若享受到7折，需要摸出2个红球和1个黑球，由此可计算出概率；
（2）选择方案一，付款金额元可能的取值为5000、7000、9000、10000，分别计算出概率得分布列，计算出期望．选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则得关系式，由，可得，再计算出，比较后可得．
【详解】
（1）选择方案一若享受到7折，则需要摸出2个红球和1个黑球，设顾客享受到7折为事件，则．
（2）若选择方案一，
设付款金额为元，则可能的取值为5000、7000、9000、10000，，，，．
故X的分布列为，

5000
7000
9000
1000





所以（元）
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．