专题10 函数与导数综合-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）（解析版）

专题10   函数与导数综合

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】设，若为函数的极大值点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【试题解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

依题意，为函数的极大值点，

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

综上所述，成立.

故选：D

【命题意图】

考查导数的概念、导数公式、求导法则、导数的几何意义及导数的应用，考查数学式子的变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力．

【命题方向】

从全国看，高考在逐年加大对导数问题的考查力度，问题的难度、深度与广度在不断加大，对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题

【得分要点】

1.函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，常见的题型及其解法如下：

（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：

①求f ′(x)；

②确认f ′(x)在(a，b)内的符号；

③作出结论，时为增函数，时为减函数．

注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.

（3）由函数的单调性求参数的取值范围的方法

①可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；

②可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；

③若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.

（4）利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.

2.函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

（2）求函数极值的方法：

①确定函数的定义域．

②求导函数．

③求方程的根．

④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．

（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.

3.求函数f (x)在[a，b]上最值的方法

（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．

（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．

注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.

（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.

4.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.

（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.

一、单选题

1．（2021·安徽阜阳市·高三期末（理））若函数的极大值点为，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．6

【答案】B

【分析】

求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值推出结果．

【详解】

．

当或时，；当时，．

所以的极大值点为0，则，解得．

故选：B．

2．（2020·全国）设函数，则

A．为的极大值点 B．为的极小值点

C．为的极大值点 D．为的极小值点

【答案】D

【分析】

先对函数求导，用导数方法研究其单调性，进而可得出其极值与极值点.

【详解】

因为，所以，

由得，

所以，当时，，故单调递增；

当时，，故单调递减；

所以函数在处取得极小值，无极大值.

故选D

【点睛】

本题主要考查导数的极值点，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，进而可得极值点，属于常考题型.

3．（2017·河南漯河市·漯河高中高三其他模拟（文））设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论一定成立的是

A．为的极大值点 B．为的极小值点

C．为的极大值点 D．为的极小值点

【答案】D

【详解】

绘制表格考查函数的性质如下：

据此可得，函数在处取得极小值点，在处无极值.

本题选择D选项.

4．（2017·四川成都市·高三期中（文））设函数，若是的极大值点，则a的取值范围是

A． B．  C．  D．

【答案】B

【详解】

的定义域为，，由，得，
所以，①若，由，得，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以是的极大值点，②若，由，得，或，因为是的极大值点，所以，解得 ，综合①②：的取值范围是，故选B．

点睛：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化；求出函数的的定义域，以及，由，得，通过讨论的范围，去掉函数的单调区间，结合已知条件求出的取值范围即可.

5．（2021·天津四中高二期中）定义在R上的函数和，其各自导函数和的图像如图所示，则函数其极值点的情况是（    ）

A．只有三个极大值点，无极小值点 B．有两个极大值点，一个极小值点

C．有一个极大值点，两个极小值点 D．无极大值点，只有三个极小值点

【答案】C

【分析】

如图所示，三个交点对应的横坐标为，，根据图像得到函数的单调区间得到答案.

【详解】

如图所示：三个交点对应的横坐标为，.

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；

故函数有一个极大值点，两个极小值点.

故选：.

【点睛】

本题考查了函数的图像的识别，函数的极值，意在考查学生对于函数知识的综合应用，

6．（2017·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二期中（理））已知函数在上恒小于0，且的图象如图，则的极大值点的个数为 

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【详解】

在的图象作如图中标记,可知的变化情况：

可知函数有个极大值点,一个极小值点,

又的值恒小于0，则，极大值点的个数为个,

故选B.

7．（2017·全国高三专题练习）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2 (a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,2] B．(0,2)

C．[，2) D．(，2)

【答案】D

【解析】

由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得

又a>0，

解得<a<2.

故选D.

8．（2020·江西抚州市·临川一中高三其他模拟（理））已知是函数的极大值点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

求导得到，导函数为奇函数，根据题意得到，计算得到答案.

【详解】

，则，

易知为奇函数，又是函数的极大值点，

故，，代入计算得到.

易知为偶函数，

当时，取，，

故函数在上单调递减，，满足条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查了根据极值点求参数，确定是解题的关键.

二、双空题

9．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高二期末（理））已知函数.

若，则的极大值点为______．

若有3个极值点，则实数的取值范围是______．

【答案】       

【分析】

当时，利用导数求得的极大值点；根据有三个极值点，利用分离常数法求得的取值范围.

【详解】

当时，，，

令，解得.所以在和上递增，

在上递减.所以的极大值点为.

，，

令得，

构造函数，

，

所以在上递增，在上递减，

所以的极大值为，极小值为

注意到当时，，

所以由有个极值点，可得.

所以实数的取值范围是.

故答案为：；

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，属于中档题.

三、解答题

10．（2021·河南高二月考（文））已知函数.

（1）若，讨论的单调性；

（2）若，是的极大值点，且存在实数使得，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】

（1）先求导，再对分两种情况讨论得解；

（2）先求出，，得到，即得解.

【详解】

（1）因为，

所以.

①当时，由得，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

②当时，，

因为，

所以由得，由得或，

所以在上单调递增，在，上单调递减.

综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在，上单调递减.

（2）因为，所以，

由（1）知，当时，是的极小值点，不满足题意.

所以若是的极大值点，则应满足解得.

，所以.

由得，所以，

所以的取值范围是.

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键有两点：（1）确定出的取值范围；（2）根据得到关于的表达式.

11．（2020·黑龙江建三江分局第一中学高三期中（文））已知函数．

（1）若为的极大值点，求的取值范围；

（2）当时，判断与轴交点个数，并给出证明．

【答案】（1）；（2）有唯一零点；证明见解析.

【分析】

（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解；

（2）结合导数可判断函数的单调性，然后结合的范围及函数的性质可求．

【详解】

解：（1），，

设，，在递增，

故存在使得，

当时，恒成立，故单调递增无极值，

时，易得时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，

当，，函数单调递增，

当时，函数取得极小值，不满足题意；

时，易得时，，函数单调递增，，时，，函数单调递减，

当，，函数单调递增，

为极大值点

综上：，

（2）由（1）知：

①时，在单调递增，（2），（3），有唯一零点；

②时，满足，，在递增，在，递减，在递增，

当时，恒成立，当时，（1），，

所以，有唯一零点；

③，在上单调递增，单调递减，，单调递增，

（1）在上无零点，在，上有唯一零点；

综上：，有唯一零点．

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的极值及函数零点的研究，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．

12．（2021·江西景德镇市·高三期末（理））已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若为的极大值点，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】

（1）求出函数导数，分，讨论导数的正负即可求解；

（2）分类讨论当时，，不符合题，时，利用导数可分析出当时，；当时，，其中符合题意，得出结论.

【详解】

（1）

当时，，在上递增，

当时，令，

则，

，，，；

在上递减，在上递增.

∴当时，在上递增；

当时，在上递减，在上递增.

（2）

，

，

 为的极值点

令，则，；

所以；

①当时，当时，且，，

在上是增函数，

，，

在上是增函数；

，

即，不合题意，舍去；

②当时，，

在上是增函数，

且当时，

∴存在，使得，当时，恒成立，

在上是减函数；

∴当时，，

即；

当时，且，

在是增函数，；

在上是减函数，

即

∴当时，；当时，，其中

∴当时，为的极大值点

∴实数的取值范围为

【点睛】

关键点点睛：利用导数求函数的单调区间，关键结合参数的范围寻求导数为正（或负）的取值范围，当需要判断函数极值点时，需要确定导函数在极值点两侧的正负，分析正负时注意隐零点的运用，本题属于难题.

13．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，是的极大值点，求的取值范围.

【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为；（2）.

【分析】

（1）求出导函数，讨论的正负，确定单调区间；

（2）求出，由于，因此要确定在0左侧，在0右侧．令，再求导，得，，按和分类讨论，确定结论．

【详解】

解：（1）因为，

由题意知，

当，即时，，所以在上单调递增，

即的单调增区间为，无单调减区间；

当，即时，设，.

令，得或；令，得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

即的单调增区间为和，

单调减区间为.

（2）由题意知，

，，

令，则.-

①若，当时，

，

所以在上单调递增，因此不可能是的极大值点；

②若，因为当时，单调递增，

所以在上单调递增.

又因为，，

因此存在满足，

所以当时，.

所以在上单调递减，，

所以当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意.

综上，当是的极大值点时，的取值范围为.

【点睛】

关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的极值点问题．解题基础是掌握导数与单调性的关系，掌握极值的定义．然后利用导数的正负确定单调性，确定极值点，注意分类讨论．