第18讲数学思想选讲（二）（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册，上海专用）教案

这是一份沪教版高中一年级 第一学期本册综合教案及反思，共12页。
数学思想
数学思想三：类比思想
【例1】（2020秋•天心区校级期中）★★★☆☆
我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．
（1）求函数图像的对称中心；
（2）请利用函数的对称性求（1）（2）的值；
（3）类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论．
【解答】解：（1）设的对称中心为点
设，则为奇函数，依题可知，
且，
故，
即，
即，
，
，解得，
函数的图像的对称中心为，
（2）由（1）知函数的图像的对称中心为，
，
（2），且（1），
（1）（2）；
（3）推论：函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数，
或者函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数．
【例2】（2020秋•杨浦区校级期末）★★★★☆
若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数．
（1）已知函数，函数，判断和是否为区间，上的增长函数，并说明理由；
（2）已知函数，且是区间，上的增长函数，求正整数的最小值；
（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）
①如果对任意正有理数，都是上的增长函数，判断是否一定为上的单调递增函数，并说明理由；
②如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围．
【解答】
解：（1）是：因为，，；
不是，反例：当时，．
（2）由题意得，对于，恒成立，
等价于，即对，恒成立，
因为，所以是关于的一次函数且单调递增，于是只需，
解得，所以满足题意的最小正整数为9．
（3）①不是
构造，则对任意的正有理数，
若，则，因此；
若，则，因此．
因此是上的增函数，但不是增函数．
②根据题意，当时，，
则当时，，当时，，由奇函数的对称性可知：
当时，，当时，，
则可得函数图像如图：
易知图像与轴交点为，，，，
因此函数在，上是减函数，其余区间上是增函数，
是上的增长函数，则对任意的，都有，
易知当时，，
为保证，必有，即，
故且，
所以，解得，
故答案为．
【练习】（2019秋•浦东新区校级期末）★★★★☆
设是定义在，上的函数，若存在使得在，上单调递增，在，上单调递减，则称为，上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为的含峰区间．
（1）判断下列函数是否为，上的单峰函数：
①，，； ②，，；
③，，； ④，，；
对任意的，上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）；
（2）证明：对任意的，，，若，则为含峰区间，若，则，为含峰区间；
（3）对给定的，证明：存在，，满足，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于．
【解答】
解：（1）根据单峰函数的定义可以判断，
①在上单调递增，在上单调递减；
②在上单调递增，在上单调递减；
③在上单调递增，在，上单调递减；
④在上单调递减，在上单调递增；
故①③是单峰函数；
（2）证明：设为的峰点，
则由单峰函数定义可知，在，上单调递增，在，上单调递减．
当时，假设， ，则，
从而，
这与矛盾，所以，即是含峰区间．
当时，假设，，则，
从而，
这与矛盾，
所以，，即，是含峰区间．
（3）证明：由（2）的结论可知：
当时，含峰区间的长度为；
当时，含峰区间的长度为；
对于上述两种情况，由题意得
①
由①得，即
又因为，所以，②
将②代入①得
，，③
由①和③解得，．
所以这时含峰区间的长度，
即存在，使得所确定的含峰区间的长度不大于．
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日期：2021/7/29 19:54:06；数学思想四：转化思想
【例3】（2018•青岛二模）★★★★☆
若直角坐标平面内两点、满足条件：①、都在函数的图像上；②、关于原点对称，则对称点是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“友好点对” ．已知函数则的“友好点对”有 个．
【答案】2
【解答】解：根据题意：“友好点对”，可知，
只须作出函数的图像关于原点对称的图像，
看它与函数交点个数即可．
如图，观察图像可得：它们的交点个数是：2．
即的“友好点对”有：2个．
故答案为：2．
【例4】（2020秋•嘉定区期末）★★★★☆
二次函数恒有两个零点、，不等式恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【解答】解：二次函数恒有两个零点、，
△，
设，，
，
①，
令，
当给定时，时可使①取得最小值，
当时，则①可变为，
当时，取，则①变成，
①最小值为，故的最大值为．
【练习】（2020秋•虹口区期末）★★★★☆
已知函数，，的零点依次为、、，则、、的大小关系为 .
A．B．
C．D．
【答案】
【解答】解：已知函数，，的零点依次为、、，
时，，即，
时，，即，
时，，即，
在同一坐标系中画出函数，，和的图像，
由图像可知，这三个函数的零点依次增大，
故、、的大小关系为．
故选：．
【练习】（2020秋•青浦区期末）★★★★☆
定义：如果函数在定义域内给定区间，上存在实数，满足，那么称函数是区间，上的“平均值函数”， 是它的一个均值点．
（1）判断函数是否是区间，上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）若函数是区间，上的“平均值函数”，求实数的取值范围；
（3）设函数是区间，上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对．
【解答】
解：（1）是；
理由：根据新定义，可得在区间，上有解，
可得，所以（1）是“平均值函数”；
（2）函数是区间，上的“平均值函数”，
可得在区间，上有解，
可得在区间，上有解，
令，，，则在区间，上有解，
令
或（1）（2），即此时不等式组无解；
或；解得．
故实数的取值范围，；
（3）函数是区间，上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，
即，可得，
，，，，则
解得，
当，不是整数，
当时，可得，
故所有满足条件的数对．
1、（2021春•舒城县校级月考）★★★★☆
有一习题：“求证方程只有一个解”．证明如下：“化为，设，则在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”．解题思想是转化为函数．类比上述思想，不等式的解集是________．
【答案】，，
【解答】解：由，
得，
设，则，
可得在上单调递增，则，
即，解得或．
不等式的解集是，，．
故答案为：，，．