高中数学2.4基本不等式及其应用教案及反思

这是一份高中数学2.4基本不等式及其应用教案及反思，共14页。
知识梳理与应用
主要考察一：三角不等式的应用
对任意实数、有，当且仅当时等号成立.
基础：应用三角不等式求最值
【例1】（2020·上海高三专题练习）★★☆☆☆
对于实数，，若，，则的最大值为( ).
A．5B．4C．8D．7
【答案】A
【解析】
由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|
≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,
即|x-2y+1|的最大值为5.
进阶：应用三角不等式解决不等式恒成立（或有解）问题
【例2】（2020·上海市南洋模范中学高一月考）★★★☆☆
为实数，且有解，则的取值范围是( ).
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
有解，只需大于的最小值，，所以，有解．
故选C．
【例3】（2020·上海市新场中学高一期中）★★★☆☆
对，若恒成立，则的取值范围是_______________.
【答案】
【详解】
因为恒成立，所以，
因为，所以.
故答案为：
【练习】1、（2021·上海杨浦区高一期末）★★☆☆☆
函数的最小值等于__________．
【答案】4
【详解】
因为,
当时，取等号，
所以的最小值为4
故答案为：4
【练习】2、（2018·上海市七宝中学高一月考）★★★☆☆
已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】
因为，
又关于的不等式有解，所以
故答案为
【练习】3、（2021·上海中学高一）★★★☆☆
不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】或
【详解】
因为，当且仅当时取等号，即当时取等号，
所以最小值是，要想不等式对一切实数x恒成立，
只需，解得或.
主要考察二：应用平均值不等式求最值
平均值不等式：对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立.
常用不等式：
对于任意，有，当且仅当时等号成立.
基础：直接型
【例4】（2021·上海市川沙中学高一期末）★☆☆☆☆
已知，则的最小值为_______________.
【答案】2
【详解】
，，
当且仅当时，取“”，
以的最小值为2，
进阶1：凑配型
【例5】（2017·上海市宝山中学高一期中）★★☆☆☆
已知，则的最小值是_________.
【答案】5.
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：.
【例6】（2020·上海市洋泾中学高一期中）★★★☆☆
当时，的最小值为______.
【答案】
【详解】
当时，，
当且仅当时等号成立.
进阶2：“1的妙用”
【例7】（2021·上海长宁区高一期末）★★★☆☆
设a、b都为正数，且，则的最小值为________.
【答案】1
【详解】
因为a、b都为正数，所以有：
，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：.
【例8】（2021·上海市奉贤高三二模）★★★★☆
已知，且.式子的最小值是___________.
【答案】2
【详解】
令，，
则，且，
∴，
∴
，
当且仅当取等号，即时成立.
故答案为：2
【例9】（2020·上海高一专题练习）★★★☆☆
非零实数、、满足，则的最小值是________.
【答案】9
【详解】
依题意，且，
.
当且仅当时等号成立.
故答案为：
【例10】（2018·上海格致中学高一期中）★★★☆☆
已知正数、满足：，则的最小值为____________.
【答案】
【详解】
由可得,
,
当且仅当时，等号成立, 所以的最小值为.
故答案为:
【练习】（2021·辽宁沈阳市·高三一模）★★★☆☆
已知，则的最小值为__________．
【答案】16
【详解】
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为16.
进阶3：和积共存等式，求最值
【例11】（2020·华东师范大学第一附属中学高一期中）★★★☆☆
已知正数x，y满足，则的取值范围为____________.
【答案】
【详解】
化简得：
因为：，由均值不等式得：，
令，则．化简得
解得或（舍去），
所以的取值范围为.
故答案为：.
【例12】（2017·上海市进才中学高一期中）★★★☆☆
若a，，，则的最大值为______.
【答案】18.
【详解】
因为a，，所以，而，所以有，于是有，所以的最大值为18.
【练习】（2019·上海中学高三开学考试）★★★☆☆
已知正实数，满足，则 的最小值为_____.
【答案】
【详解】
试题分析：因为为正实数,且，设，则代入已知式得
，整理得，关于的方程有解，所以
，解之得：或，又因为，所以，即的最小值为．
考点：方程与不等式．
*平均值不等式的拓展
1、三元算术-几何平均值不等式
对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立.
【例13】（编者精选）★★★★★
设，求证：.
【详解】
【练习】（编者精选）★★★☆☆
设，且，则的最小值是__________.
【答案】3
【详解】，当且仅当时等号成立.
2、平均值不等式
平均值不等式：对于任意的正数，有，且等号当且仅当时成立.
其中，分别叫做这两个数的平方平均值和调和平均值.
【例14】（编者精选）★★★☆☆
设，已知，则的最小值为__________.
【答案】32
【详解】即，所以由得，当且仅当时等号成立.
1、（2020·上海曹杨二中高一月考）★★★☆☆
若满足，则的最小值是___________.
【答案】
【详解】
由满足，可得，
则
，当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
2、（2021·上海浦东新区高三二模）★★★★☆
已知、、、均为正实数，且满足，，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
由得
则
令
当且仅当，即时取等号
即的取值范围为
故答案为：