2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）阶段测试数学试卷苏教版

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）阶段测试数学试卷苏教版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A.[2, +∞)B.(2, +∞)C.(−∞, 0)D.(−∞, 0]

2. 已知函数f(x)=2x−1，x∈{1, 2, 3}，则函数f(x)的值域是( )
A.{1, 3, 5}B.(−∞，0]C.[1, +∞)D.R

3. 已知集合A={x|x2−3x+2=0，x∈R}，B={x|0A.1B.2C.3D.4

4. 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0, +∞)时f(x)是增函数，则f(−2)，f(π)，f(−3)的大小关系是( )
A.f(π)f(−2)>f(−3)
C.f(π)f(−3)>f(−2)

5. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
(1)y1=(x+3)(x−5)x+3，y2=x−5；
(2)y1=x+1x−1，y2=(x+1)(x−1)；
(3)f(x)=x，g(x)=x2；
(4)f(x)=3x4−x3，F(x)=x3x−1；
(5)f1(x)=(2x−5)2，f2(x)=2x−5.
A.(1)(2)B.(2)(3)C.(4)D.(3)(5)

6. 定义域为R的奇函数y=f(x) 的图像关于直线x=2对称，且f(2)=2018，则f(2018)+f(2016)=( )
A.4034B.2020C.2018D.2

7. 已知f(x)=x+2,(x≤−1)，x2(−1A.1B.1或32C.1，32或±3D.3

8. 已知f(x)=x+1，g(x)=−2x，F(x)=f(x)，f(x)A.有最大值为23，无最小值B.有最大值为−13，无最小值
C.有最小值为−13，无最大值D.有最小值为23，无最大值

9. 已知函数y=f(x+1)定义域是[−2, 3]，则y=f(2x−1)的定义域是( )
A.[0,52]B.[−1, 4]C.[−5, 5]D.[−3, 7]

10. 若函数f(x)=x2+(3−a)x+1，x≥0，(a−1)x+2a−4,x<0，在R上为增函数，则a的取值范围为( )
A.1
11. 已知函数f(x)=33x−1ax2+ax−3的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A.a>13B.−12
12. 函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当−12≤x≤72时，下列函数中，其值域与f(x)的值域不相同的函数为( )
A.y=x，x∈{−1，0，1，2，3}
B.y=2x，x∈{−12，0，12，1，32}
C.y=1x，x∈{−1，1，12，13，14}
D.y=x2−1，x∈{0，1，2，3，2}
二、填空题

已知集合A={a, b, 2}，B={2, b2, 2a}，且A=B，则a=________.

已知实数 m≠0 ，函数f(x)=3x−m,(x≤2),−x−2m,(x>2),若f(2−m)=f(2+m)，则实数m的值为________.

已知函数g(x)=x3+5x，若g(2a−1)+g(a+4)<0，则实数a的取值范围为________.

设f(x)是定义在(0, +∞)上的单调增函数，且对定义域内任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，则使不等式f(x)+f(x−3)≤2成立的x的取值范围是________.
三、解答题

化简或计算：
(1)(0.25)−2+823−(116)−0.75；

(2)(2a2b2)−2×(−a−74b3)−1÷(ab2)3.

已知集合A={x|−3≤x≤2}，集合B={x|1−m≤x≤3m−1}.
(1)求当m=3时，A∩B，A∪B；

(2)若A∩B=A，求实数m的取值范围.

已知f(x)=x−ax2+bx+1是奇函数.
(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间，并加以证明.

二次函数f(x)的图像顶点为A(1, 16)，且图像在x轴上截得线段长为8.
(1)求函数f(x)的解析式；

(2)令g(x)=f(x)+(2a−2)x；
①若函数g(x)在x∈[0, 2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
②求函数g(x)在x∈[0, 2]的最大值.

对于定义域为D的函数y=f(x)，如果存在区间[m, n]⊆D，同时满足：
①f(x)在[m, n]内是单调函数；
②当定义域是[m, n]时，f(x)的值域也是[m, n].
则称[m, n]是该函数的“和谐区间”.
(1)证明：[0, 1]是函数y=f(x)=x2的一个“和谐区间”；

(2)求证：函数y=g(x)=3−5x不存在“和谐区间”；

(3)已知：函数y=ℎ(x)=(a2+a)x−1a2x(a∈R, a≠0)有“和谐区间”[m, n]，当a变化时，求出n−m的最大值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）阶段测试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
集合的包含关系判断及应用
【解析】
由已知中，集合A={x|x2−2x≤0}，解二次不等式求出集合A，再由A⊆B，即可得到实数m的取值范围．
【解答】
解：集合A={x|x2−2x≤0}=[0, 2]，
∵ B={x|x≤a}，A⊆B，
∴ a≥2.
故选A.
2.
【答案】
A
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
把x=1、2、3分别代入解析式可得相应函数值，写成集合即为函数值域．
【解答】
解：由函数解析式知，当x∈{1, 2, 3}时，f(x)∈{1, 3, 5}，
所以函数f(x)的值域为：{1, 3, 5}.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
子集与真子集的个数问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：结合题意可得A={1,2}，B={1,2,3,4}.
令集合M={3,4}，集合N为集合M的子集，
则可知集合C=A∪N，结合子集个数公式可得，集合C的个数为22=4.
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
偶函数
函数单调性的性质
【解析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．
【解答】
解：∵ f(x)是偶函数，
∴ f(x)=f(−x).
且当x∈[0, +∞)时f(x)是增函数，
∴ f(π)>f(3)>f(2)，
即f(π)>f(−3)>f(−2)，
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
观察所给的函数是否是同一个函数，这种问题首先要观察这两个函数的定义域是否相同，定义域本题则不是同一函数，再观察两个函数的对应法则是否相同，本题(5)是对应法则不同，(1)，92)，(3)是定义域不同．
【解答】
解：(1)y1=(x+3)(x−5)x+3的定义域为{x|x≠−3}，y2=x−5定义域为R，定义域不同，故不是同一函数；
(2)y1=x+1x−1的定义域为[1, +∞)，y2=(x+1)(x−1)的定义域为[1, +∞)∪(−∞, −1]，定义域不同，故不是同一函数；
(3)f(x)=x，g(x)=x2=|x|，对应法则不同，故不是同一函数；
(4)定义域相同，且对应法则相同，故是同一函数；
(5)f1(x)=(2x−5)2的定义域为[52,+∞)，f2(x)=2x−5的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
函数的周期性
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为y=f(x) 为定义域为R的奇函数，
且关于直线x=2对称，
所以f(−x)=−f(x)，且f(0)=0，
所以f(2+x)=f(2−x)=−f(x−2)，
所以f(x+4)=−f(x)，
所以f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，
所以f(x)的周期为8，
所以f(2018)+f(2016)=f(252×8+2)+f(252×8)=f(2)+f(0)=2018+0=2018.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ f(x)=3，
①x+2=3，则x=1>−1，不合题意，舍去；
②x2=3，则x1=−3<−1，不合题意，舍去；x2=3∈(−1,2)，符合题意；
③2x=3，则x=32<2，不合题意，舍去.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当f(x)≥g(x)时，x+1≥−2x，
解得x≥−13，
此时F(x)=−2x，即F(x)≤23；
当f(x)x+1，
解得x<−13，
此时F(x)=x+1，即F(x)<23，
综上可得：当x=−13时，函数取得最大值 23 ，无最小值.
故选A.
9.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据题目给出的函数y=f(x+1)定义域，求出函数y=f(x)的定义域，然后由2x−1在f(x)的定义域内求解x即可得到函数y=f(2x−1)定义域
【解答】
解：解：∵ 函数y=f(x+1)定义域为[−2, 3]，
∴ x∈[−2, 3]，则x+1∈[−1, 4]，
即函数f(x)的定义域为[−1, 4]，
再由−1≤2x−1≤4，得：0≤x≤52，
∴ 函数y=f(2x−1)的定义域为[0, 52]．
故选A．
10.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
分段函数的应用
【解析】
由题意可得a−32≤0，a−1>0，且1≥2a−4，由此求得a的范围．
【解答】
解：根据函数f(x)=x2+(3−a)x+1，x≥0,(a−1)x+2a−4,x<0,在R上为增函数，
可得a−32≤0，a−1>0，且2a−4≤1，
解得1故选C.
11.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由函数f(x)=33x−1ax2+ax−3的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程ax2+ax−3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．
【解答】
解：由a=0或a≠0,Δ=a2−4a×(−3)<0,
可得−12故选B．
12.
【答案】
C
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x∈[−12, 0)时，f(x)=−1；
当x∈[0, 1)时，f(x)=0；
当x∈[1, 2)时，f(x)=1；
当x∈[2, 3)时，f(x)=2；
当x∈[3,72)时，f(x)=3；
所以f(x)的值域为：{−1，0，1，2，3}.
对于C选项，y=1x，x∈{−1，1，12，13，14}，
可得值域为{−1,1,2,3,4}，与f(x)的值域不同.
故选C.
二、填空题
【答案】
0或14
【考点】
集合的确定性、互异性、无序性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意知A=B，可得2a=a，b2=b,①或2a=b，b2=a，②
解方程组①得a=0，b=0或1，
根据集合的互异性可知a=0，b=1；
解方程组②得a=0，b=0或a=14，b=12，
根据集合的互异性可知a=14，b=12.
综上：a=0或a=14.
故答案为：0或14.
【答案】
8或−83
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当m>0时，2−m<2，2+m>2，
所以 f(2−m)=3(2−m)−m=6−4m，
f(2+m)=−(2+m)−2m=−2−3m，
由6−4m=−2−3m得：m=8 ；
当m<0时，2−m>2，2+m<2
所以f(2+m)=3(2+m)−m=6+2m，
f(2−m)=−(2−m)−2m=−2−m，
由6+2m=−2−m得：
m=−83.
故答案为：8或−83.
【答案】
a<−1
【考点】
函数奇偶性的性质
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ g(−x)=−x3−5x=−g(x)，
∴ 函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，
∴ 原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，
∴ a+4<1−2a，解得a<−1.
故答案为：a<−1.
【答案】
3【考点】
抽象函数及其应用
函数单调性的性质
【解析】
利用赋值法先求出f(4)=2，结合函数的单调性进行转化求解即可．
【解答】
解：∵ f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，
∴ f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=1+1=2，
则不等式f(x)+f(x−3)≤2等价为f[x(x−3)]≤f(4).
∵ f(x)是定义在(0, +∞)上的单调递增函数，
∴ x>0,x−3>0,x(x−3)≤4,
即x>0,x>3,x2−3x−4≤0,
则x>0,x>3,−1≤x≤4,
解得3故答案为：3三、解答题
【答案】
解：(1)(0.25)−2+823−(116)−0.75
=1(14)2+(38)2−1(4116)3
=16+4−8=12.
(2)(2a2b2)−2×(−a−74b3)−1÷(ab2)3
=b44a4×(−4a7b3)×b6a3
=−b13.
【考点】
分数指数幂
整数指数幂
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)(0.25)−2+823−(116)−0.75
=1(14)2+(38)2−1(4116)3
=16+4−8=12.
(2)(2a2b2)−2×(−a−74b3)−1÷(ab2)3
=b44a4×(−4a7b3)×b6a3
=−b13.
【答案】
解：(1)当m=3时，B={x|−2≤x≤8}，
∴ A∩B={x|−3≤x≤2}∩{x|−2≤x≤8}={x|−2≤x≤2}，
A∪B={x|−3≤x≤2}∪{x|−2≤x≤8}={x|−3≤x≤8}.
(2)由A∩B=A得：A⊆B，
则有：1−m≤−3，3m−1≥2，
解得m≥4，m≥1，
即m≥4，
∴ 实数m的取值范围为m≥4.
【考点】
集合关系中的参数取值问题
交集及其运算
并集及其运算
【解析】
（1）由题意可得，B={x|−2≤x≤8}，根据集合的基本运算可求
（2）由A∩B=A得A⊆B，结合数轴可求m的范围
【解答】
解：(1)当m=3时，B={x|−2≤x≤8}，
∴ A∩B={x|−3≤x≤2}∩{x|−2≤x≤8}={x|−2≤x≤2}，
A∪B={x|−3≤x≤2}∪{x|−2≤x≤8}={x|−3≤x≤8}.
(2)由A∩B=A得：A⊆B，
则有：1−m≤−3，3m−1≥2，
解得m≥4，m≥1，
即m≥4，
∴ 实数m的取值范围为m≥4.
【答案】
解：(1)∵ f(x)=x−ax2+bx+1是奇函数，
∴ f(−x)=−f(x)，
即−x−ax2−bx+1=−x−ax2+bx+1，
整理得(a+b)x2+a=0，
∴ a=0a+b=0，
解得a=b=0.
(2)f(x)=xx2+1，在R上任取x1则f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1
=x1(x22+1)−x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)
=(x1x2−1)(x2−x1)(x12+1)(x22+1)，
由x10，
①0∴ f(x1)−f(x2)<0，即函数f(x)在(0, 1)上单调递增；
②−1∴ f(x1)−f(x2)<0，即函数f(x)在(−1, 0)上单调递增；
③x10，
即f(x1)−f(x2)>0，即函数f(x)在(−∞, −1)上单调递减；
④10，
即f(x1)−f(x2)>0，即函数f(x)在(1, +∞)上单调递减；
综上函数f(x)在(−∞, −1)，(1, ∞)上单调递减，在(−1, 1)上单调递增.
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）根据函数奇偶性的性质由f(−x)=−f(x)，解方程即可求a，b的值；
（2）求函数的导数，利用导数即可求f(x)的单调区间，并加以证明．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=x−ax2+bx+1是奇函数，
∴ f(−x)=−f(x)，
即−x−ax2−bx+1=−x−ax2+bx+1，
整理得(a+b)x2+a=0，
∴ a=0a+b=0，
解得a=b=0.
(2)f(x)=xx2+1，在R上任取x1则f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1
=x1(x22+1)−x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)
=(x1x2−1)(x2−x1)(x12+1)(x22+1)，
由x10，
①0∴ f(x1)−f(x2)<0，即函数f(x)在(0, 1)上单调递增；
②−1∴ f(x1)−f(x2)<0，即函数f(x)在(−1, 0)上单调递增；
③x10，
即f(x1)−f(x2)>0，即函数f(x)在(−∞, −1)上单调递减；
④10，
即f(x1)−f(x2)>0，即函数f(x)在(1, +∞)上单调递减；
综上函数f(x)在(−∞, −1)，(1, ∞)上单调递减，在(−1, 1)上单调递增.
【答案】
解：(1)由条件设二次函数得：
f(x)=a(x−1)2+16=ax2−2ax+a+16，
设f(x)=0的两根分别为：x1，x2，
令x1∵ 图象在x轴上截得线段长为8，由韦达定理得：
(x2−x1)2=(x2+x1)2−4x2x1=22−4×a+16a=64，
解得a=−1，
∴ 函数的解析式为f(x)=−x2+2x+15；
(2) f(x)=−x2+2x+15
g(x)=f(x)+(2a−2)x=−x2+2ax+15
函数g(x)在x∈[0,2] 上是单调函数，且对称轴 x=a，
当函数在[0, 2]上单调递减时，a≤0，
当函数在[0, 2]上单调递增时，a≥2，
所以实数a的取值范围是 {a|a≤0或a≥2} ，
g(x)=f(x)+(2a−2)x=−x2+2ax+15，x∈[0,2]，
对称轴 x=a，
当a<0时，g(x)max=g(0)=15；
当0≤a≤2时，g(x)max=g(a)=a2+15；
当a>2时， g(x)max=g(2)=4a+11.
综上所述：函数 g(x) (x∈[0,2]) 的最大值为g(x)max=15,(a<0),a2+15,(0≤a≤2),4a+11,(a>2).
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
根与系数的关系
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由条件设二次函数为：
f(x)=a(x−1)2+16=ax2−2ax+a+16，
设f(x)=0的两根分别为：x1，x2，
令x1∵ 图象在x轴上截得线段长为8，由韦达定理得：
(x2−x1)2=(x2+x1)2−4x2x1=22−4×a+16a=64，
解得a=−1，
∴ 函数的解析式为f(x)=−x2+2x+15；
(2) f(x)=−x2+2x+15
g(x)=f(x)+(2a−2)x=−x2+2ax+15
函数g(x)在x∈[0,2] 上是单调函数，且对称轴 x=a，
当函数在[0, 2]上单调递减时，a≤0，
当函数在[0, 2]上单调递增时，a≥2，
所以实数a的取值范围是 {a|a≤0或a≥2} ，
g(x)=f(x)+(2a−2)x=−x2+2ax+15，x∈[0,2]，
对称轴 x=a，
当a<0时，g(x)max=g(0)=15；
当0≤a≤2时，g(x)max=g(a)=a2+15；
当a>2时， g(x)max=g(2)=4a+11.
综上所述：函数 g(x) (x∈[0,2]) 的最大值为g(x)max=15,(a<0),a2+15,(0≤a≤2),4a+11,(a>2).
【答案】
(1)证明：∵ y=x2在区间[0, 1]上单调递增，
又f(0)=0，f(1)=1，
∴ 值域为[0, 1]，
∴ 区间[0, 1]是y=f(x)=x2的一个“和谐区间”；
(2)设[m, n]是已知函数定义域的子集，
∵ x≠0，[m, n]⊆(−∞, 0)或[m, n]⊆(0, +∞)，
故函数y=3−5x在[m, n]上单调递增.
若[m, n]是已知函数的“和谐区间”，则g(m)=m，g(n)=n，
故m，n是方程3−5x=x的同号的相异实数根.
∵ x2−3x+5=0无实数根，
∴ 函数y=3−5x不存在“和谐区间”.
(3)设[m, n]是已知函数定义域的子集，
∵ x≠0，[m, n]⊆(−∞, 0)或[m, n]⊆(0, +∞)，
故函数y=(a2+a)x−1a2x=a+1a−1a2x在[m, n]上单调递增.
若[m, n]是已知函数的“和谐区间”，
则ℎ(m)=m，ℎ(n)=n，
故m，n是方程a+1a−1a2x=x，
即a2x2−(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根.
∵ mn=1a2>0，
∴ m，n同号，只须Δ=a2(a+3)(a−1)>0，
即a>1或a<−3时，
已知函数有“和谐区间”[m, n]，
∵ n−m=(n+m)2−4mn=−3(1a−13)2+43，
∴ 当a=3时，n−m取最大值233.
【考点】
函数单调性的性质
【解析】
（1）根据二次函数的性质，我们可以得出y=f(x)=x2在区间[0, 1]上单调递增，且值域也为[0, 1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．
（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m, n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．
（3）设[m, n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n−m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．
【解答】
(1)证明：∵ y=x2在区间[0, 1]上单调递增，
又f(0)=0，f(1)=1，
∴ 值域为[0, 1]，
∴ 区间[0, 1]是y=f(x)=x2的一个“和谐区间”；
(2)设[m, n]是已知函数定义域的子集，
∵ x≠0，[m, n]⊆(−∞, 0)或[m, n]⊆(0, +∞)，
故函数y=3−5x在[m, n]上单调递增.
若[m, n]是已知函数的“和谐区间”，则g(m)=m，g(n)=n，
故m，n是方程3−5x=x的同号的相异实数根.
∵ x2−3x+5=0无实数根，
∴ 函数y=3−5x不存在“和谐区间”.
(3)解：设[m, n]是已知函数定义域的子集，
∵ x≠0，[m, n]⊆(−∞, 0)或[m, n]⊆(0, +∞)，
故函数y=(a2+a)x−1a2x=a+1a−1a2x在[m, n]上单调递增.
若[m, n]是已知函数的“和谐区间”，
则ℎ(m)=m，ℎ(n)=n，
故m，n是方程a+1a−1a2x=x，
即a2x2−(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根.
∵ mn=1a2>0，
∴ m，n同号，只须Δ=a2(a+3)(a−1)>0，
即a>1或a<−3时，
已知函数有“和谐区间”[m, n]，
∵ n−m=(n+m)2−4mn=−3(1a−13)2+43，
∴ 当a=3时，n−m取最大值233.