2020-2021年山东省高二（上）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年山东省高二（上）期末考试数学试卷人教A版，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 数列2，−4，6，−8，⋯的通项公式可能是( )
A.an=−1n2nB.an=−1n+12nC.an=−1n2nD.an=−1n+12n

2. 若抛物线x2=my过点1,−4，则该抛物线的焦点坐标为( )
A.0,−116B.−116,0C.−1,0D.0,−1

3. 与双曲线x249−y215=1有公共焦点且离心率为45的椭圆的标准方程为( )
A.y280+x216=1B.x280+y216=1C.y2100+x236=1D.x2100+y236=1

4. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数．他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，⋯；正方形数1，4，9，16，⋯；等等．如图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为( )

A.35B.51C.70D.92

5. 设F1，F2是椭圆C:x29+m+y23+m=1的焦点，若椭圆C上存在一点P满足∠F1PF2=90∘，则m的取值范围是( )
A.−∞,3B.−3,3C.3,+∞D.−3,3

6. 已知数列an满足a1=2，an+1=an−1,an>1,1an,04
D.过给定圆上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆

若数列Fn满足F1=1，F2=1，Fn=Fn−1+Fn−2(n≥3，n∈N∗)，则称Fn为斐波那契数列．记数列Fn的前n项和为Sn，则( )
A.F62=F5F7+1B.S6=F8−1
C.F1+F3+F5+⋯+F9=F10D.F12+F22+F32+⋯+F62=F7F8

如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上， A，B1，B2为椭圆的顶点，F为右焦点，延长B2F与AB1交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率可能为( )

A.23B.12C.13D.14

已知数列1，12，1，13，23，1，14，24，34，1，⋯，则( )
A.数列的第nn+12项均为1B.1213是数列的第90项
C.数列前50项和为28D.数列前50项和为572
三、填空题


已知等差数列an的前n项和为Snn∈N∗，a4=4，a7=−2，则Sn的最大值为________.

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，过点M−1,1且斜率为12的直线交椭圆C于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的方程为________.

已知Sn为等比数列an的前n项和， S5=5，S10=15，则a16+a17+a18+a19+a20 的值为________.

汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线FP经抛物线y2=2px反射后，沿PN平行射出，∠FPN的角平分线PM所在的直线方程为2x+y−12=0，则抛物线方程为________.

四、解答题

从条件①b2=a2−1，②b4=a1−2，③b2=a2中任选一个补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列an的各项均为正数， bn为等比数列， an+12−2an+1=an2+2an，a1=b1=1，________，求数列anbn的前n项和Sn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

动点Mx,y与定点F15,0的距离和M到定直线l:x=95的距离的比是常数53.
(1)求动点M的轨迹方程；

(2)设F2−5,0，点P为M轨迹上一点，且∠F1PF2=60∘，求△F1PF2的面积．

在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费．某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月．该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率0.4%的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率1.2%的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同．（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息．）
(1)分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额为多少万元？（结果精确到小数点后三位，参考数据：1.00418≈1.0745，1.0126≈1.0742.）

(2)从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由．

已知抛物线C的方程为x2=8y，点M0,4，过点M的直线交抛物线于A，B两点．
(1)1|AM|2+1|BM|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；

(2)若点Q是直线l:y=−4上的动点，且OQ⊥AB，求△ABQ面积的最小值．

已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点，点M在椭圆上， MF⊥x轴，|MF|=2，椭圆的短轴长等于4．
(1)求椭圆的标准方程；

(2)设P为直线l:x=32上一点，Q为椭圆C上一点，且以PQ为直径的圆过坐标原点O，求|OP|2−16|OQ|2的取值范围．

已知等比数列an的前n项和为Sn，a4−a2=6，S5+2S3=3S4.数列bn的前n项和为Tn，且b1=2，nTn+1=n+1Tn+nn+1.
(1)分别求数列an和bn的通项公式；

(2)若cn=Sn+1bnn+1n+2， Mn为数列cn的前n项和，是否存在不同的正整数p，q，r（其中p，q，r成等差数列），使得Mp+2，Mq+2，Mr+2成等比数列？若存在，求出所有满足条件的p，q，r的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021年山东省某校高二（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
数列的概念及简单表示法
【解析】
根据数列的规律，得到数列的通项公式．
【解答】
解：∵ 数列的各项值为2，−4，6，−8，⋯，
∴ 各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公比的等比数列，
即等比数列的通项公式为|an|=2n.
又∵ 数列的奇数项为正，偶数项为负，
∴ an=−1n+1 2n.
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先求出抛物线的解析式，再利用抛物线性质进行求解即可.
【解答】
解：∵ 抛物线x2=my过点1,−4，
∴ 1=−4m，
解得m=−14，
∴ 抛物线的方程为x2=−14y，
其焦点坐标为0,−116 .
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
求出双曲线的焦点坐标得到椭圆的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，c，得到b，即可求出椭圆方程．
【解答】
解：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
∵ 椭圆与双曲线x249−y215=1有公共焦点，
∴ c=49+15=8.
∵ 椭圆的离心率为45，即e=45=ca，
解得a=10，
∴ b=a2−c2=102−82=6，
∴ 椭圆方程为x2100+y236=1.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
归纳推理
数列的应用
【解析】
归纳推理，得出图形的规律，进行解答.
【解答】
解：由图可知，该数列的第一项为1=3×12−12；
第二项为5=3×22−22；
第三项为12=3×32−32；
因此可推出，第n项为3n2−n2，
所以第七项为3×72−72=70.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
椭圆的简单几何性质
椭圆的定义
【解析】
对焦点分类讨论，C点为椭圆短轴的端点时，∠F1PF2取得最大角，进而得出结论．
【解答】
解：当焦点在y轴上时，9+m0，无解，
故该椭圆的焦点在x轴上，
即9+m>3+m，
3+m>0，
解得m>−3.
若椭圆C上存在一点P满足∠F1PF2=90∘，
则cb=9+m−(3+m)3+m≥1，
解得m≤3，
故m的取值范围是−3,3.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
数列递推式
【解析】
由数列递推式可得该数列的变化规律，进而求出a2021的值.
【解答】
解：由题意可知a1=2，
∵ a1=2>1，
∴ a2=a1−1=2−1.
∵ 00，b>0)，
∵ 2a=12，
∴ a=6.
∵ 点(10,15)在双曲线上，
∴ 10262−152b2=1，
解得b=454，
∴ 2b=452，
∴ 该双曲线的虚轴长为452 .
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
由题意得到{bn} 构成以3为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列求和即可得到答案.
【解答】
解： bn对应数列an中的4n+1是完全平方数，且 n∈N∗，
∵ 4×2+1=32，
4×6+1=52，
4×12+1=72，
4×20+1=92，
4×30+1=112，
⋯，
∴ {bn}构成以3为首项，以2为公差的等差数列，
∴ S100=100×3+100×992×2=10200.
故选B.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
命题的真假判断与应用
双曲线的定义
双曲线的渐近线
【解析】

【解答】
解：A，双曲线x2−y2=1的渐近线方程为y=±x，
直线x+y−2=0与渐近线y=±x平行，
所以双曲线x2−y2=1与直线x+y−2=0
有且只有一个公共点，故选项A正确；
B，满足||PA|−|PB||=2aa>0的动点P，
当且仅当a4，故选项C正确；
D，弦AB的中点为P，根据垂径定理，圆心与弦的中心连接垂直于这条弦，
令圆心为C，则CP⊥AB，
所以CA是圆的半径是定长，
故点P是以CA为直径的圆上运动，即点P的轨迹是一个圆.
故选AC.
【答案】
B,C
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
根据数列递推和数列求和即可判断出各选项结果.
【解答】
解：∵ F1=1，F2=1，
Fn=Fn−1+Fn−2(n≥3，n∈N∗)，
∴ F3=F2+F1=1+1=2；
F4=F3+F2=2+1=3；
F5=F4+F3=3+2=5；
F6=F5+F4=5+3=8；
F7=F6+F5=8+5=13；
F8=F7+F6=13+8=21；
F9=F8+F7=21+13=34；
F10=F9+F8=34+21=55.
A，F62=82=64，F5F7+1=5×13+1=66，故A不正确；
B，S6=F1+F2+⋯+F6=1+1+⋯+8=20，
F8−1=21−1=20，故B正确；
C，F1+F3+⋯+F9=1+2+⋯+34=55，
F10=55，故C正确；
D，F12+F22+F32+⋯+F62
=1+1+4+⋯+64=104，
F7F8=13×21=273，故D不正确.
故选BC.
【答案】
B,C,D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】

【解答】
解：∠B1PB2是B1A→与FB2→的夹角；
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
则AB1→=(−a, b)，FB2→=(−c, −b)；
∵ 向量的夹角为钝角时，AB1→⋅FB2→