2020-2021学年山东省聊城市高二（上）期中考试数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年山东省聊城市高二（上）期中考试数学试卷人教A版（2019），共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若直线过两点(−1, 1)，(2, 1+3)，则此直线的倾斜角是( )
A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

2. 若直线l的方向向量为m→，平面α的法向量为n→，则能使l//α的是( )
A.m→=1,2,1,n→=1,0,1B.m→=0,1,0,n→=0,3,0
C.m→=1,−2,3,n→=−2,2,2D.m→=0,2,1,n→=−1,0,−1

3. 已知直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行，则它们之间的距离为( )
A.52B.10C.352D.3102

4. 某学校计划从2名男生和3名女生中任选3人参加抗疫英雄事迹演讲比赛，记事件M为“至少有2名女生参加演讲”，则下列事件中与事件M对立的是( )
A.恰有2名女生参加演讲B.至多有2名男生参加演讲
C.恰有1名女生参加演讲D.至多有2名女生参加演讲

5. 在四面体OABC中，空间的一点M满足OM→=12OA→+16OB→+λOC→，若MA→，MB→，MC→共面，则λ=( )
A.12B.13C.512D.712

6. 经统计某射击运动员随机命中的概率可视为310，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7625，0283，7150，6857，0346，4376，8658，7855，1417，5550
0371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281
根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为( )
A.25B.310C.720D.14

7. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成二面角的正弦值为( )
A.33B.22C.13D.63

8. 排球比赛的规则是5局3胜制（5局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为34，前2局中乙队以2:0领先，则最后乙队获胜的概率是( )
A.916B.1927C.4064D.3764
二、多选题

空间直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A.点P1,2,3关于坐标平面xOy的对称点的坐标为−1,2,−3
B.点Q1,0,2在平面xOz面上
C.z=1表示一个与坐标平面xOy平行的平面
D.2x+3y=6表示一条直线

点P在圆C1:x2+y2=1上，点Q在圆C2:x2+y2−6x+8y+24=0上，则( )
A.|PQ|的最小值为0
B.|PQ|的最大值为7
C.两个圆心所在的直线斜率为−43
D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x−8y−25=0

先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列说法正确的是( )
A.a+b=7时概率为16B.a+b=6时概率为15
C.a≥2b时的概率为16D.a+b是3的倍数的概率是13

已知事件A，B，且PA=0.6，PB=0.3，则下列结论正确的是( )
A.如果B⊆A，那么PA∪B=0.6，PAB=0.3
B.如果A与B互斥，那么PA∪B=0.9，PAB=0
C.如果A与B相互独立，那么PA∪B=0.9，PAB=0
D.如果A与B相互独立，那么PA¯B¯=0.28，PA¯B=0.12
三、填空题

设直线l1:ax+3y+12=0，直线l2:x+a−2y+4=0.当a=________时，l1⊥l2.

已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为14和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.

若曲线C:x2+y2−2ax+4ay+5a2−16=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围是________.

若O为空间直角坐标系的原点，则以O为球心，且与平面x+y+z=1相切的球的方程是________，
切点的坐标为________．
四、解答题

在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
①与直线4x−3y+5=0垂直；
②直线的一个方向向量为a→=−4,3；
③与直线3x+4y+2=0平行．
已知直线l过点P(1,−2)，且________．
(1)求直线l的一般方程；

(2)若直线l与圆x2+y2=5相交于P，Q，求弦长|PQ|．

某次联欢会上设有一个抽奖游戏．抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项．其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖．从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为716．小华同学获得一次摸奖机会．
(1)求他不能中奖的概率；

(2)若该同学中一等奖或二等奖的概率是14，试计算黄球的个数．

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，设a→，b→，c→为空间向量的一组基底，且AB→=a→，AC→=b→，AD→=c→，试用基底向量法求解以下各题．求

(1)EF→⋅AB→；

(2)求异面直线CF与BD所成角的余弦值．

某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为56，23，45，在实际操作考试中“合格”的概率依次为23，34，12，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？

(2)这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=4，∠ACB=90∘，E是CC1的中点．

(1)求直线AB与平面A1BE所成角的正弦值；

(2)在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为45∘？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

圆x2+y2=4，点P为直线l:x+y−8=0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
(1)若点P的坐标为2,6，求直线PA，PB的方程；

(2)求证直线AB恒过定点并求出该定点Q的坐标．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省聊城市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
设此直线的倾斜角是θ，θ∈[0∘, 180∘)．利用斜率计算公式可得tanθ，即可得出θ．
【解答】
解：设此直线的倾斜角是θ，
∴ tanθ=1+3−12−(−1)=33．
∵ θ∈(0,π)，
∴ θ=30∘．
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
平行向量的性质
【解析】
逐项判定各项是否满足m→⋅n→=0即可.
【解答】
解：∵ 直线l的方向向量为m→，平面α的法向量为n→，
∴ 满足l//α的向量m→与n→应该满足m→⋅n→=0.
A，m→⋅n→=1×1+2×0+1×1=2，不成立；
B，m→⋅n→=0×0+1×3+0×0=3 ，不成立；
C，m→⋅n→=1×−2+−2×2+3×2=0，成立；
D，m→⋅n→=0×−1+2×0+1×−1=−1，不成立．
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
两条平行直线间的距离
两条直线平行的判定
【解析】
先利用两直线平行求得m的值，再将两直线化统一后，代入公式求解即可.
【解答】
解：根据题意可得，1×m=2×2，
所以m=4，
所以两直线方程分别为x+2y+3=0和x+2y+12=0，
则两平行直线间的距离为 |3−12|12+22=52.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
先分析从2名男生和3名女生中任选3人的所有情况，再结合对立事件的定义即可求解.
【解答】
解：从2名男生和3名女生中任选3人可能包含的情况有：
3名全是女生；2名女生1名男生；1名女生2名男生，
而事件M"至少有2名女生参加"包括了：3名全是女生；2名女生1名男生，
故其对立事件只能是1名女生2名男生，故C选项正确.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
直接利用向量共面定理求解即可.
【解答】
解：由MA→，MB→，MC→共面，
可得12+16+λ=1，
解得：λ=13.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
根据20组随机数可知该运动员射击4次恰好命中3次的随机数共7组，据此可求出相应的概率
【解答】
解：由数据可得，该运动员射击4次恰好命中3次的随机数为：
7625，0346，5550，6233，8045，3661，7424，共7组，
则该运动员射击4次恰好命中3次的概率为720.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
解决本题的关键是正确找出二面角的平面角.
【解答】
解：如图，连接AC，交BD于O，连接A1O，
由AA1⊥底面ABCD，得AA1⊥BD.
又BD⊥AC，且AA1∩AC=A，
∴ BD⊥平面A1AO，
∴ A1O⊥BD，
即∠A1OA为平面A1BD与平面ABCD所成角.
设正方体棱长为a，则AO=22a，
则由勾股定理可得，A1O=62a，
∴ 平面A1BD与平面ABCD所成角的正弦值
sin∠AOA1=AA1A1O=a62a=63.
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
本题考查概率性事件，需确定乙队获胜的情况有几种，算出每种获胜的概率情况，最后求出总的概率。
【解答】
解：最后乙队获胜事件含3种情况：
①第三局乙胜；
②第三局甲胜，第四局乙胜；
③第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，
故最后乙队获胜的概率
P=14+34×14+342×14=3764.
故选D.
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
空间直角坐标系
【解析】
本题考查空间直角坐标系的相关知识，需逐项进行分析。
【解答】
解：A，关于xOy平面对称的两点横坐标、纵坐标相同，竖坐标互为相反数，
所以点P1,2,3关于坐标平面xOy对称的点的坐标为1,2,−3，故A错误；
B，点Q1,0,2纵坐标为0，说明点Q在平面xOz上，故B正确；
C，z=1，说明横坐标与纵坐标任意，表示该平面与xOy平面平行，故C正确；
D，2x+3y=6，说明竖坐标任意，表示一个平面，故D错误.
故选BC.
【答案】
B,C
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
圆的标准方程与一般方程的转化
相交弦所在直线的方程
【解析】
求得两圆圆心与半径，结合问题逐项判定即可.
【解答】
解：圆C1:x2+y2=1，圆心坐标为(0,0)，r=1，
圆C2:x2+y2−6x+8y+24=0，即x−32+y+42=1,
圆心坐标为(3,−4)，r=1.
A，当C1，P，Q，C2四点按顺序共线时，|PQ|取最小值，
即|PQ|min=5−1−1=3，故A错误；
B，当P，C1，C2，Q四点按顺序共线时，|PQ|取最大值，
即|PQ|max=5+1+1=7，故B正确；
C，由两圆的圆心坐标可得，
两个圆心所在直线的斜率为−43，故C正确；
D，因为|C1C2|=32+42=5，
所以两个圆相离，不存在相交弦，故D错误.
故选BC.
【答案】
A,D
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
本题主要是列出事件发生的可能性，然后根据古典概型计算公式进行计算即可
【解答】
解：由题知基本事件有6×6=36(个).
A，a+b=7的基本事件有：
1,6，6,1，2,5，5,2，3,4，4,3，共6个，
所以概率为636=16，故A正确；
B，a+b=6的基本事件有：
1,5，5,1，2,4，4,2，3,3，共5个，
所以概率为536，故B错误；
C，a≥2b的基本事件有：
2,1，3,1，4,1，4,2，5,1，
5,2，6,1，6,2，6,3，共9个，
所以概率为936=14，故C错误；
D，a+b是3的倍数的基本事件有：
1,2，2,1，1,5，5,1，2,4，4,2，
3,3，3,6，6,3，4,5，5,4，6,6，共12个，
所以概率为1236=13，故D正确.
故选AD.
【答案】
A,B,D
【考点】
条件概率与独立事件
对立事件的概率公式及运用
互斥事件的概率加法公式
【解析】
利用相互独立以及互斥事件的概率得解.
【解答】
解：A，当B⊆A时，
则P(A∪B)=P(A)=0.6，
P(AB)=P(B)=0.3，故此选项正确；
B，当A，B互斥时，
P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9，
P(AB)=0，故此选项正确；
C，当A，B相互独立时，
则P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.18，
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，
即P(A∪B)=0.72，故此选项错误；
D，当A，B相互独立时，
则P(AB¯)=P(A¯)⋅P(B¯)=0.4×0.7=0.28，
P(A¯B)=P(A¯)⋅P(B)=0.4×0.3=0.12，故此选项正确.
故选ABD.
三、填空题
【答案】
32
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
利用两直线垂直得a×1+3×a−2=0，可得解.
【解答】
解：∵ l1⊥l2，
∴ a×1+3×a−2=0，
解得：a=32.
故答案为：32.
【答案】
12
【考点】
相互独立事件
对立事件的概率公式及运用
【解析】
利用相互独立事件同时发生的概率解得甲乙都不落入的概率，再利用对立事件的概率得解.
【解答】
解：由题意可得，甲、乙两球落入盒子的概率分别为14和13，
且两球是否落入盒子互不影响，
∴ “甲乙二人都不落入盒子中”的概率为：
1−14×1−13=34×23=12，
∴ “甲乙至少有一个落入盒子”的概率为：1−12=12.
故答案为：12 .
【答案】
−∞,−4
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程与一般方程的转化
【解析】
本题将曲线的方程化为圆的标准方程，得圆心和半径，，曲线上所有的点在第二象限得aPC，
∴ 甲获得下一轮比赛的可能性最大 .
(2)设“三人考试后恰有两人获得获得下一轮比赛”为事件D，
则D=ABC¯+AB¯C+A¯BC .
P(ABC¯)=59×12×1−25=1590，
PAB¯C=59×1−12×25=19，
PA¯BC=1−59×12×25=890，
∴ PD=PABC¯∪AB¯C∪A¯BC
=1590+19+890
=3390=1130 .
即这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，
恰有两人获得下一轮比赛的概率为1130 .
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
（1）设“甲获下一轮比赛”为事件A，“乙获得下一轮比赛”为事件B，“丙获得下一轮比赛”为事件C，则A，B，C以及A，B，C的每两次考试之间彼此相互独立 .
因为pA=56×23=58,PB=23×34=12,pc=45×12=25 . 因为PA>PB>Pc，所以甲获得下一轮比赛的可能性最大 .
（2）设“三人考试后恰有两人获得获得下一轮比赛”为事件D，
则D=ABC¯+AB¯C+A¯BC . 由P(ABC¯)=59×12×1−25=1590，
PAB¯C=59×1−12×25=19，
PA¯BC=1−59×12×25=890，
可知pD=PABC¯+AB¯C+A¯BC=1590+19+890=3390=1130 .
即这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，恰有两人获得下一轮比赛的概率为1130 .
【解答】
解：(1)设“甲获下一轮比赛”为事件A，
“乙获得下一轮比赛”为事件B，
“丙获得下一轮比赛”为事件C，
则A，B，C以及A，B，C的每两次考试之间彼此相互独立 ，
∴ PA=56×23=59，
PB=23×34=12，
PC=45×12=25 .
∵ PA>PB>PC，
∴ 甲获得下一轮比赛的可能性最大 .
(2)设“三人考试后恰有两人获得获得下一轮比赛”为事件D，
则D=ABC¯+AB¯C+A¯BC .
P(ABC¯)=59×12×1−25=1590，
PAB¯C=59×1−12×25=19，
PA¯BC=1−59×12×25=890，
∴ PD=PABC¯∪AB¯C∪A¯BC
=1590+19+890
=3390=1130 .
即这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，
恰有两人获得下一轮比赛的概率为1130 .
【答案】
解：(1)如图建立空间直角坐标系C−xyz，
则A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(0,0,2)，A1(4,0,4)，
所以AB→=−4,4,0，EA1→=4,0,2，EB→=0,4,−2.
设平面A1BE的法向量为n→=x,y,z，
则EA1→⋅n→=0，EB→⋅n→=0，即2x+z=0，2y−z=0，
令x=1，则n→=1,−1,−2，
所以cs|AB→⋅n→||AB→|⋅|n→|=|−4−4|42⋅6=33 .
所以直线AB与平面A1BE所成角的正弦值为33 .
(2)假设在棱CC1上存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为45∘，
设P0,0,c，0≤c≤4 ，
则PA→=4,0,−c，
设平面PAB的法向量为m→=x,y,z，
则m→⋅PA→=0，m→⋅AB→=0，即4x−cz=0，−4x+4y=0，
取x=c，则m→=c,c,4．
由(1)知平面A1BE的法向量为n→=1,−1,−2，
所以cs⟨m→，n→⟩=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=86⋅2c2+16=22，
解得：c=263