2020-2021学年江苏省淮安市高一（上）12月月考数学试卷 (1)苏教版

这是一份2020-2021学年江苏省淮安市高一（上）12月月考数学试卷 (1)苏教版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=−1,0,1，则集合A的真子集个数为（ ）
A.8B.7C.4D.3

2. 已知集合{α|2kπ+π4≤α≤2kπ+π2, k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）
A.B.C.D.

3. 已知函数fx=3x，x≥0，x2，x<0， 则ff−2的值为( )
A.4B.12C.16D.36

4. 若csα>0且tanα<0，则角α的终边落在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5. 一个扇形的弧长与面积都为6，则这个扇形圆心角的弧度数为( )
A.3B.4C.2D.32

6. 函数y=lga(x−3)+1(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是( )
A.4,1B.3,1C.4,0D.3,0

7. 已知α是第二象限的角，tanα=−12，则csα等于（ ）
A.−55B.−15C.−255D.45

8. 设0<α<π2，a是大于0的常数，函数F(α)=1csα+a1−csα，若F(α)≥16恒成立，则a的取值范围是（ ）
A.[1, +∞)B.[4, +∞)C.(9, +∞)D.[9, +∞)
二、多选题

若函数fx=3sin2x+3π4x∈R，则（ ）
A.函数fx的单调增区间为kπ−5π8,kπ−π8k∈Z
B.函数fx的一条对称轴方程是x=−5π8
C.函数fx的对称中心是kπ−π8,0k∈Z
D.函数y=fx+7π8是偶函数

若a，b，c都是正数，且4a=6b=9c，那么( )
A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2c=2a+1bD.1c=2b−1a

若函数fx是−m,mm>0上的奇函数，且函数gx=3fx+1在0,m上的最大值为7，最小值为−2，则函数gx在区间−m,0上有( )
A.最大值为4B.最大值为5C.最小值为−4D.最小值为−5

将函数fx=sinωxω>0的图象向右平移π12个单位长度得到函数y=g(x)的图象，若函数g(x)在区间0,π2上是单调增函数，则实数ω可能的取值为( )
A.23B.1C.65D.2
三、填空题

已知fx=m2−3m−3x1m−2 是幂函数，且在0,+∞上是减函数，则实数m=________.

已知a≤x≤a+12是1
已知a>0，b>0，且2ab=a+b+4，则a+b的最小值为________.

函数y=lnsinx+25−x2的定义域为________.
四、解答题

已知集合A={x|2a−3(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；

(2)是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．


(1)化简：382+lg98×lg227+0.064−13−1614+170−481；

(2)已知2m=3，2n=5，求lg1220（用m，n表示）．


(1)若tanα=−34， α∈0,π，求sinα−csα的值．

(2)若已知角α的终边经过点P12,−5．求 fα=csπ2+α−2csπ+αsinπ−α+2cs−α 的值．

已知函数fx=ln1+x−ln1−x.
(1)判断并证明函数fx的奇偶性；

(2)用定义法证明fx在定义域上是增函数；

(3)求不等式f2x−5+f2−x<0的解集．

如图，摩天轮上的一点P在x时刻距离地面的高度满足y=Asinωx+φ+b，φ∈−π,π，已知该摩天轮的半径为60米，摩天轮转轮中心O距离地面的高度是70米，摩天轮逆时针做匀速转动，每6分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点P0处．

(1)根据条件求出y（米）关于x（分钟）的解析式；

(2)在摩天轮从最低点P0开始计时转动的一圈内，有多长时间点P距离地面不低于100米？

已知函数fx=2sinωx+φω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点间的距离为213.

(1)求函数fx的解析式；

(2)若将函数fx图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到函数gx的图象，关于x的不等式gx≥12t2+2t在x∈3,5上有解，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省淮安市高一（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
子集与真子集
【解析】
若集合中含有n个元素时，真子集个数为2n−1个.
【解答】
解：A=−1,0,1,
∴ 真子集的个数为23−1=7，
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
任意角的概念
【解析】
先由图象写出角在0∘∼360∘间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合．
【解答】
解：易知集合{α|2kπ+π4≤α≤2kπ+π2, k∈Z}，
当k=0时，α∈[π4，π2]，
故只有选项B满足题意.
故选B．
3.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
根据分段函数解析式，先求内层函数值，再求外层函数值即可.
【解答】
解：∵ 函数fx=3x，x≥0，x2，x<0，
∴ f(−2)=(−2)2=4，
∴ ff−2=f(4)=3×4=12.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
三角函数值的符号
任意角的概念
【解析】
由csα>0可得角α终边位于第1或4象限；由tanα<0，可得角α终边位于第2或4象限，从而可判断角α终边位于第1象限．
【解答】
解：∵ csα>0，
∴ 角α终边位于第一或第四象限．
∵ tanα<0，
∴ 角α终边位于第二或第四象限．
综上可知，角α终边位于第四象限．
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据扇形的面积公式S=12lr，
可得6=12×6×r
解得r=2,
在根据弧长公式l=|α|⋅r，
可得：6=|α|×2
|α|=3.
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
暂无
【解答】
解：∵ 函数y=lga(x−3)+1，(a>0且a≠1)．
∴ 令x−3=1，解得x=4，
当x=4时，y=1，
∴ 函数y=lga(x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P4,1．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
根据tanα=sinαcsα，以及sin2α+cs2α＝1即可求出答案．
【解答】
解：∵ tanα=−12=sinαcsα，
∴ 2sinα＝−csα．
又∵ sin2α+cs2α＝1，α是第二象限的角，
∴ csα=−255．
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
一元二次不等式的解法
余弦函数的定义域和值域
【解析】
依题意知，csα>0，1−csα>0，又csα+(1−csα)=1，a>0，利用基本不等式可得F(α)=1csα+a1−csα=1+a+1−csαcsα+acsα1−csα≥1+a+2a，解不等式1+a+2a≥16即可求得答案．
【解答】
解：∵ 0<α<π2，
∴ csα>0，1−csα>0；
又csα+(1−csα)=1，a>0，
∴ F(α)=1csα+a1−csα
=(1−csα)+csαcsα+a[(1−csα)+csα]1−csα
=1+a+1−csαcsα+acsα1−csα≥
1+a+21−csαcsα⋅acsα1−csα=1+a+2a，当且仅当1−csαcsα=acsα1−csα时等号成立，
∴ F(α)min=1+a+2a，
又F(α)≥16恒成立，
∴ 1+a+2a≥16，
解得：a≥3或a≤−5（舍去），
∴ a≥9．
故选D．
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数的单调性及单调区间
函数奇偶性的判断
【解析】
对于形如fx=Asinωx+φ,其中ω>0的函数的性质
的认知：
根据复合函数的单调性，判断其单调性和单调区间；
对称轴一定经过它的最值点；
图像与x轴的交点才是它的对称中心.


【解答】
解：因为函数fx=3sin2x+3π4x∈R,
对于A,fx的单调递增区间由
2kπ−π2≤2x+3π4≤2kπ+π2,k∈Z,
得kπ−5π8≤x≤kπ−π8,k∈Z，A正确；
对于B，当x=−5π8时，
f−5π8=3sin2×−5π8+3π4
=3sin−π2=−3,B正确；
对于C，当x=kπ−π8,k∈Z时，
fkx−π8=3sin2×kπ−π8+3π4
=3sin2kπ+π2=3,C错误；
对于D，函数y=fx+7π8=3sin2x+7π8+3π4
=3sin2x+5π2
=3cs2x，是偶函数，D正确.
故选ABD.
【答案】
A,D
【考点】
有理数指数幂的运算性质及化简求值
换底公式的应用
【解析】
将指数式化为对数式，根据选项中的 运算分别验证即可．
【解答】
解：依题意设4a=6b=9c=k，则a=lg4k，b=lg6k，c=lg9k，
对于A，ab+bc=2ac，即bc+ba=2，
因为bc+ba=lg6klg9k+lg6klg4k
=lg69+lg64=lg636=2，故A正确，B错误；
对于C，2a+1b=2lg4k+1lg6k
=2lgk4+lgk6=lgk96≠2c
=2lgk9=lgk81，故C错误；
对于D，2b−1a=2lgk6−lgk4=lgk364
=lgk9=1c，故D正确；
故选AD.
【答案】
A,D
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的最值及其几何意义
【解析】
由fx是−m,m上的奇函数，可知gx−1=3fx也是−m,m上的奇函数，则能求出gx−1在0,m上的最大值和最小值，然后再根据奇偶性的性质得出gx−1在−m,0上的最值.
【解答】
解：∵ fx是−m,m上的奇函数，
∴ gx−1=3fx也是−m,m上的奇函数.
∵ gx=3fx+1在0,m上的最大值为7，最小值为−2，
∴ gx−1在0,m上的最大值为6，最小值为−3，
∴ gx−1在−m,0上的最大值为3，最小值为−6，
∴ gxmax=4，gxmin=−5.
故选AD.
【答案】
A,B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
【解析】
根据图象平移求得函数y=gx的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得Ⅳ的取值范围，即可求解．
【解答】
解：由题意，将函数fx=sinωxω>0的图象向右平移π12个单位长度，
得函数y=gx=sinωx−ωπ12.
又函数gx在区间0,π2上是单调增函数，
则满足−ωπ12≥−π2，ωπ2−ωπ12≤π2，
解得0综上所述，实数ω可能的取值为23，1，65.
故选ABC.
三、填空题
【答案】
−1
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的性质
【解析】
先根据幂函数的定义列式计算出m，再根据其单调性的性质确定m的值．
【解答】
解：因为fx=m2−3m−3x1m−2 是幂函数，
所以m2−3m−3=1，即m2−3m−4=0，
解得m=−1或m=4.
又幂函数fx在区间0,+∞上是减函数，
所以1m−2<0，
所以m=−1.
故答案为：−1.
【答案】
1【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
首先确定两个范围的包含关系，即可构造不等式组，即可解出.
【解答】
解：由题意可知：集合x|a≤x≤a+12是x|1集合x|a≤x≤a+12显然不是空集，
所以a>1，a+12<2，解得1故答案为：1【答案】
4
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a>0，b>0，
∴ ab≤a+b22，当且仅当a=b时等号成立，
∴ 2ab=a+b+4≤a+b22，
即a+b2−2a+b−8≥0,
∴ a+b≥4或a+b≤−2(舍去)，
∴ a+b的最小值为4.
故答案为：4.
【答案】
[−5,−π)∪0,π
【考点】
一元二次不等式的解法
正弦函数的定义域和值域
函数的定义域及其求法
【解析】
由函数的性质得sinx>0，25−x2≥0.可得解.
【解答】
解：由题设得sinx>0，25−x2≥0.
解得2kπ解得：−5≤x<−π或0故答案为：[−5,−π)∪0,π.
四、解答题
【答案】
解：(1)因为A⊆B，所以集合A可以分为A=⌀或A≠⌀两种情况来讨论：
当A=⌀时，2a−3≥3a+1⇒a≤−4．
当A≠⌀时，得2a−3≥−5，3a+1≤4，2a−3<3a+1， ⇒−1≤a≤1．
综上，a∈(−∞, −4]∪[−1, 1]．
(2)若存在实数a，使A=B，
则必有2a−3=−5，3a+1=4，
上述不等式组无解．
故不存在实数a，使得A=B.
【考点】
反证法
集合的包含关系判断及应用
【解析】
（1）根据A⊆B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
（2）假设A＝B，建立条件关系即可求实数a的值是否存在，即可判断．
【解答】
解：(1)因为A⊆B，所以集合A可以分为A=⌀或A≠⌀两种情况来讨论：
当A=⌀时，2a−3≥3a+1⇒a≤−4．
当A≠⌀时，得2a−3≥−5，3a+1≤4，2a−3<3a+1， ⇒−1≤a≤1．
综上，a∈(−∞, −4]∪[−1, 1]．
(2)若存在实数a，使A=B，
则必有2a−3=−5，3a+1=4，
上述不等式组无解．
故不存在实数a，使得A=B.
【答案】
解：(1)原式=364+32lg32×3lg23+(0.43)−13−(24)14+1−434
=4+92+0.4−1−2+1−3=7．
(2)因为2m=3，2n=5，
所以m=lg23，n=lg25．
因为lg1220=lg220lg212=lg24+lg25lg23+lg24=2+lg252+lg23，
所以lg1220=n+2m+2．
【考点】
对数及其运算
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
对数的运算性质
指数式与对数式的互化
【解析】


【解答】
解：(1)原式=364+32lg32×3lg23+(0.43)−13−(24)14+1−434
=4+92+0.4−1−2+1−3=7．
(2)因为2m=3，2n=5，
所以m=lg23，n=lg25．
因为lg1220=lg220lg212=lg24+lg25lg23+lg24=2+lg252+lg23，
所以lg1220=n+2m+2．
【答案】
解：(1)∵ tanα=sinαcsα=−34，
且sin2α+cs2α=1，
又α∈0,π，则可解得sinα=35，csα=−45，
故sinα−csα=75．
(2)由题意可得：|OP|=13，
由角的终边上的点的性质可得sinα=−513，csα=1213，
fα=csπ2+α−2csπ+αsinπ−α+2cs−α
=−sinα+2csαsinα+2csα
=5−513+21213
=2919．
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
任意角的三角函数
运用诱导公式化简求值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ tanα=sinαcsα=−34，
且sin2α+cs2α=1，
又α∈0,π，则可解得sinα=35，csα=−45，
故sinα−csα=75．
(2)由题意可得：|OP|=13，
由角的终边上的点的性质可得sinα=−513，csα=1213，
fα=csπ2+α−2csπ+αsinπ−α+2cs−α
=−sinα+2csαsinα+2csα
=5−513+21213
=2919．
【答案】
解：(1)由对数函数的定义得1−x>0,1+x>0,得x<1,x>−1,即−1所以函数fx的定义域为−1,1，
因为f−x=ln1−x−ln1+x=−fx，
所以fx是定义上的奇函数．
(2)设−1则fx1−fx2
=ln1+x1−ln1−x1−ln1+x2+ln1−x2，
=ln1+x11+x2⋅1−x21−x1，
因为−1于是0<1+x11+x2<1，0<1−x21−x1<1．
则0<1+x11+x2⋅1−x21−x1<1，所以ln1+x11+x2⋅1−x21−x1<0，
所以fx1−fx2<0，即fx1(3)因为fx在−1,1上是增函数且为奇函数．
所以不等式f2x−5+f2−x<0可转化为f2x−5<−f2−x=fx−2，
所以 −1<2x−5<1,−1所以不等式的解集为x|2【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由对数函数的定义得1−x>0,1+x>0,得x<1,x>−1,即−1所以函数fx的定义域为−1,1，
因为f−x=ln1−x−ln1+x=−fx，
所以fx是定义上的奇函数．
(2)设−1则fx1−fx2
=ln1+x1−ln1−x1−ln1+x2+ln1−x2，
=ln1+x11+x2⋅1−x21−x1，
因为−1于是0<1+x11+x2<1，0<1−x21−x1<1．
则0<1+x11+x2⋅1−x21−x1<1，所以ln1+x11+x2⋅1−x21−x1<0，
所以fx1−fx2<0，即fx1(3)因为fx在−1,1上是增函数且为奇函数．
所以不等式f2x−5+f2−x<0可转化为f2x−5<−f2−x=fx−2，
所以 −1<2x−5<1,−1所以不等式的解集为x|2【答案】
解：(1)由题意得：A=60，b=70，T=6，
所以ω=π3，
所以y=60sinπ3x+φ+70.
又因为图象过点0,10，
所以60sinφ+70=10，φ∈−π,π，
所以φ=−π2，
所以y=60sin(π3x−π2)+70.
(2)由(1)知：y=60sinπ3x−π2+70，
因为点P距离地面不低于100米，
所以令y=60sinπ3x−π2+70≥100，其中0≤x≤6.
即sinπ3x−π2≥12，0≤x≤6，
所以π6≤π3x−π2≤5π6，
即2≤x≤4，
所以有2分钟的时间点P距离地面不低于100米．
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
已知三角函数模型的应用问题
函数的求值
【解析】
由（1）知：y=60sinπ3x−π2+70，根据点P距离地面不低于100米，则由y=60sinπ3x−π2+70≥100求解．
【解答】
解：(1)由题意得：A=60，b=70，T=6，
所以ω=π3，
所以y=60sinπ3x+φ+70.
又因为图象过点0,10，
所以60sinφ+70=10，φ∈−π,π，
所以φ=−π2，
所以y=60sin(π3x−π2)+70.
(2)由(1)知：y=60sinπ3x−π2+70，
因为点P距离地面不低于100米，
所以令y=60sinπ3x−π2+70≥100，其中0≤x≤6.
即sinπ3x−π2≥12，0≤x≤6，
所以π6≤π3x−π2≤5π6，
即2≤x≤4，
所以有2分钟的时间点P距离地面不低于100米．
【答案】
解：(1)由题意得fx的最大值为2，最小值为−2，
设函数fx的最小正周期为T，则42+T22=213，
解得T=12，
所以ω=2πT=π6，fx=2sinπ6x+φ.
因为fx的图象过点1,2，
所以f1=2sinπ6+φ=2，即π6+φ=π2+2kπk∈Z.
因为|φ|<π2，
所以φ=π3，fx=2sinπ6x+π3．
(2)因为将函数fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到函数gx的图象，
所以gx=2sinπ3x+π3，
当x∈3,5时，π3x+π3∈4π3,2π，则2sinπ3x+π3∈−2,0，
因为不等式gx≥12t2+2t在x∈3,5上有解，即有12t2+2t≤0，
解得−4≤t≤0，
所以实数t的取值范围为−4,0．
【考点】
一元二次不等式的解法
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得fx的最大值为2，最小值为−2，
设函数fx的最小正周期为T，则42+T22=213，
解得T=12，
所以ω=2πT=π6，fx=2sinπ6x+φ.
因为fx的图象过点1,2，
所以f1=2sinπ6+φ=2，即π6+φ=π2+2kπk∈Z.
因为|φ|<π2，
所以φ=π3，fx=2sinπ6x+π3．
(2)因为将函数fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到函数gx的图象，
所以gx=2sinπ3x+π3，
当x∈3,5时，π3x+π3∈4π3,2π，则2sinπ3x+π3∈−2,0，
因为不等式gx≥12t2+2t在x∈3,5上有解，即有12t2+2t≤0，
解得−4≤t≤0，
所以实数t的取值范围为−4,0．