2020-2021学年江苏省淮安市高一（上）10月月考数学试卷 (1)苏教版

这是一份2020-2021学年江苏省淮安市高一（上）10月月考数学试卷 (1)苏教版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若实数x，y满足xy=1，则x2+y2的最小值是( )
A.1B.2C.4D.8

2. 命题“∀x∈−1,3,x2−3x+2≤0”的否定为（ ）
A.∃x0∈−1,3，x02−3x0+2>0B.∀x∉−1,3，x2−3x+2>0
C.∀x∈−1,3，x2−3x+2>0D.∃x0∉−1,3，x02−3x0+2>0

3. 设a，b∈R，则“a+b>4”是“a>2且b>2”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4. 设集合U=1,2,3,4,5，A=1,2,3，B=2,5，则B∩∁UA=( )
A.5B.4,5C.2,4D.1,3

5. 已知集合A=x|03}，则A∩B=( )
A.0,2∪3,+∞B.0,1C.⌀D.0,+∞

6. 若x，y是正数，且1x+4y=1，则xy的最小值为( )
A.12B.14C.16D.18

7. 若aA.1a<1bB.0b2D.ba>ab

8. 下列命题中正确的个数是( )
①a>b，c>d⇔a+c>b+d； ②a>b，c>d⇒ad>bc；③a2>b2⇔|a|>|b| ；④a>b⇔1a<1b.
A.4个B.3个C.2个D.1个
二、多选题

设集合A={x|x2+x=0}，则下列表述正确的是( )
A.0∈AB.1∉AC.−1∈AD.0⊆A

对任意实数a，b，c，下列命题中正确的是( )
A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
D.“a<5”是“a<3”的必要条件

下列命题中，是全称命题且是真命题的是( )
A.∀x∈R， x2−x+14≥0B.所有正方形都是矩形
C.∀x∈R，x2+2x+2≠0D.∃x∈R， x3+1=0

下列命题中正确的是( )
A.当x>1时， x+1x≥2B.当x<0时，x+1x≤−2
C.当0三、填空题

已知集合A=1,2,3, B=2,4,5 ，则集合 A∪B 中元素的个数为________.

若x>0，则2+3x+4x的最小值等于________.

比较两个实数大小： 7+10 ________4+13（用不等号填空）.

已知2四、解答题

在“①A=⌀，②A恰有两个子集，③A∩12,2≠⌀”这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．
已知集合A={x∈R|mx2−2x+1=0}.
(1)若1∈A，求实数m的值；

(2)若集合A满足________，求实数m的取值范围．

设U=R ，A=x|−52}，求：
(1)A∩B；

(2)∁UA∩∁UB.


(1)设A={−4, 2a−1, a2}，B={a−5, 1−a, 9}，已知A∩B={9}，求a的值，并求出A∪B；

(2)已知集合A={x|−3≤x≤5}，B={x|m−2≤x≤m+1}，满足B⊆A，求实数m的取值范围．

证明不等式：
(1)设a>0，b>0，求证：a3+b3≥ab2+a2b；

(2)设x，y∈R，求证： x2+y2+5≥22x+y.

某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）．池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计．问净水池的长为多少时，可使总造价最低？


设全集U=R，集合A={x|1≤x≤5}，集合B={x|2−a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
(1)若“x∈A"是“x∈B"的充分条件，求实数a的取值范围；

(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省淮安市高一（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由x，y>0，xy=1，可得x2+y2≥2xy，即可得到所求最小值．
【解答】
解：由题意知，正数x，y满足xy=1，
则x2+y2≥2xy=2，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
则x2+y2的最小值是2.
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：全称命题的否定为特称命题，
∴ 命题“∀x∈−1,3,x2−3x+2≤0”的否定为“∃x0∈−1,3，x02−3x0+2>0”.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．
【解答】
解：由a+b>4不能推出a>2且b>2，故充分性不成立，
由a>2且b>2能推出a+b>4，故必要性成立，
所以a+b>4是a>2且b>2的必要而不充分条件．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
先求出CUA，再得出答案.
【解答】
解：集合U=1,2,3,4,5，A=1,2,3，B=2,5，
∴ ∁UA={4,5}，
∴B∩(∁UA)={5}.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
由集合A与B可得A与B的交集.
【解答】
解：∵A={x|03}，
∴A∩B={x|0故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题意可得1x+4y=1≥24xy=41xy，可得1xy≤116，即xy≥16，从而得到结论．
【解答】
解：∵ x，y是正数，且1x+4y=1，
∴ 1x+4y=1≥21x⋅4y=41xy，
∴ 1xy≤116，
∴ xy≥16，
当且仅当1x=4y=12，即x=2，y=8时，等号成立，
∴ xy的最小值为16．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
用不等式的性质和特殊值法可依次验证每个选项
【解答】
解：对于A，当a=−2，b=−1时，显然不成立，故A错误；
对于B，∵ a|b|>0，
∴ ab>1，故B错误；
对于C，由已知条件知a根据不等式的性质得：a⋅b>b⋅b，
即ab>b2，故C正确；
对于D，由已知条件知：ba<1，ab>1，∴ ba故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
不等式性质的应用
命题的真假判断与应用
【解析】
由不等式的性质及通过举反例得出正确答案.
【解答】
解：①a>b，c>d⇒a+c>b+d，反之，不成立，比如：a=4，b=1，c=2，d=2，故该命题不正确；
②该命题不正确，比如3>2，−2>−3，而3−3=2−2；
③该命题正确；
④该命题不正确，比如a=1，b=−2.
综上，③正确，故正确的个数为1个.
故选D.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
集合的包含关系判断及应用
元素与集合关系的判断
【解析】
求出集合A={x|x2+x=0}={0,−1},根据元素与集合的关系,集合与集合的关系即可得解.
【解答】
解：∵ 集合A={x|x2+x=0}={0,−1}，
∴ 0∈A，−1∈A，0⊆A，−1⊆A，1∉A，
∴ ABD选项均正确.
故选ABD．
【答案】
B,D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
不等式的概念与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，∵a=b，∴ac=bc，
∴ “a=b”是“ ac=bc”的充分条件，
在c=0时，ac=bc=0，此时a与b大小关系不确定，
∴ “a=b”不是“ac=bc”的必要条件，故A不正确；
B，∵ a+5是无理数，5是有理数，∴ a必是无理数，
∴ “a+5是无理数”是“a是无理数”的充分条件；
∵ a是无理数，5是有理数，∴ a+5是无理数，
∴ “a+5是无理数”是“a是无理数”的必要条件，
因此是充要条件，故B正确；
C，∵ 1>−2，但12<(−2)2，
∴ “a>b”不是“a2>b2”的充分条件，故C不正确；
D，∵ a<3时，必有a<5，
∴ “a<5”是“a<3”的必要条件，故D正确．
故选BD.
【答案】
A,B,C
【考点】
全称命题与特称命题
全称量词与存在量词
命题的真假判断与应用
【解析】
首先判断是否为全称命题，再判断命题的真假，即可得到答案.
【解答】
解：A，是全称命题，且x2−x+14=x−122≥0恒成立，故为真命题，故A正确；
B，是全称命题，且所有正方形都是矩形是正确的，故为真命题，故B正确；
C，是全称命题，且x2+2x+2=(x+1)2+1≥1≠0，故为真命题，故C正确；
D，是特称命题，故D错误.
故选ABC.
【答案】
B,D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
若x>0，则x+1x≥2（当且仅当x=1时取等）；若x<0，则x+1x≤−2（当且仅当x=−1时取等），根据均值不等式取等号的条件，来逐个判断选项的正误.
【解答】
解：A，x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，
因为x>1，所以x+1x>2，故A错误；
B，当x<0时，x+1x=−(−x+1−x)，
−x>0，−x+1−x≥2−x⋅1−x=2，
当且仅当−x=1−x，即x=−1时等号成立，
所以x+1x=−(−x+1−x)≤−2，故B正确；
C，x+1x≥2x⋅1x=2，
当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，
因为02，故C错误；
D，x+2x≥2x⋅2x=22，
当且仅当x=2x，即x=2时成立，故D正确.
故选BD.
三、填空题
【答案】
5
【考点】
并集及其运算
元素与集合关系的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：集合A=1,2,3, B=2,4,5 ，
则集合 A∪B ={1,2,3,4,5}.
故答案为：5.
【答案】
2+43
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
直接利用基本不等式求最值即可，注意等号成立的讨论.
【解答】
解：∵ x>0，
∴ 2+3x+4x≥2+23x⋅4x=2+212=2+43，
当且仅当3x=4x，即x=233时，等号成立，
∴ 2+3x+4x的最小值为2+43.
故答案为：2+43.
【答案】
>
【考点】
不等式性质的应用
不等式比较两数大小
【解析】
利用两边平方得70>52，可得结果.
【解答】
解：由题设得7+102=17+270，
4+132=17+252，
由70>52，可得7+102>4+132，
即：7+10>4+13.
故答案为：>.
【答案】
(7,13),(25,43)
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
由不等式的基本性质可得答案.
【解答】
解：∵2∴4<2a<8，15<1b<13，
∴7<2a+b<13，25故答案为：(7,13)；(25,43).
四、解答题
【答案】
解：(1)若1∈A，则m−2+1=0，
∴ m=1.
(2)选①：若A=⌀，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，
所以m≠0，且Δ=4−4m<0
所以m>1；
选②：若A恰有两个子集，则A为单元素集，
所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，
讨论：①当m=0时，x=12，满足题意：
②当m≠0时， Δ=4−4m=0，所以m=1，
综上，m=1或m=12；
选③：若A∩12,2≠⌀
则关于x的方程mx2=2x−1在区间12,2内有解，
等价于当x∈12,2时，求m=2x−1x2=1−1x−12的值域，
所以m∈(0,1].
【考点】
交集及其运算
元素与集合关系的判断
【解析】


【解答】
解：(1)若1∈A，则m−2+1=0，
∴ m=1.
(2)选①：若A=⌀，则关于x的方程mx2−2x+1=0没有实数解，
所以m≠0，且Δ=4−4m<0
所以m>1；
选②：若A恰有两个子集，则A为单元素集，
所以关于x的方程mx2−2x+1=0恰有一个实数解，
讨论：①当m=0时，x=12，满足题意：
②当m≠0时， Δ=4−4m=0，所以m=1，
综上，m=1或m=12；
选③：若A∩12,2≠⌀
则关于x的方程mx2=2x−1在区间12,2内有解，
等价于当x∈12,2时，求m=2x−1x2=1−1x−12的值域，
所以m∈(0,1].
【答案】
解：(1)A=x|−51}，
∴ A∩B=x|1(2)∵ ∁UA={x|x≤−5或x>6}，
∁UB=x|−6∴ ∁UA∩∁UB=x|−6【考点】
交、并、补集的混合运算
交集及其运算
【解析】


【解答】
解：(1)A=x|−51}，
∴ A∩B=x|1(2)∵ ∁UA={x|x≤−5或x>6}，
∁UB=x|−6∴ ∁UA∩∁UB=x|−6【答案】
解：(1)∵ A={−4, 2a−1, a2}，B={a−5, 1−a, 9}，A∩B={9}，
∴ 9∈A，
∴ a2=9或2a−1=9，
解得：a=±3或a=5，
当a=3时，A={9, 5, −4}，B={−2, −2, 9}，B中元素违背了互异性，舍去；
当a=−3时，A={9, −7, −4}，B={−8, 4, 9}，A∩B={9}满足题意；
此时A∪B={−7, −4, −8, 4, 9}；
当a=5时，A={25, 9, −4}，B={0, −4, 9}，此时A∩B={−4, 9}，
与A∩B={9}矛盾，故舍去，
综上所述，A∪B={−7, −4, −8, 4, 9}.
(2)∵ A={x|−3≤x≤5}，B={x|m−2≤x≤m+1}，
且B⊆A，
∴ B≠⌀，要满足B⊆A，须有−3≤m−2,m+1≤5,
解得：−1≤m≤4．
【考点】
并集及其运算
集合的包含关系判断及应用
集合的确定性、互异性、无序性
【解析】
(1)A，B以及两集合的交集，得到9属于A，根据A中的元素列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而求出A与B的并集即可.
(2)由A，B，以及B为A的子集，确定出m的范围即可．
【解答】
解：(1)∵ A={−4, 2a−1, a2}，B={a−5, 1−a, 9}，A∩B={9}，
∴ 9∈A，
∴ a2=9或2a−1=9，
解得：a=±3或a=5，
当a=3时，A={9, 5, −4}，B={−2, −2, 9}，B中元素违背了互异性，舍去；
当a=−3时，A={9, −7, −4}，B={−8, 4, 9}，A∩B={9}满足题意；
此时A∪B={−7, −4, −8, 4, 9}；
当a=5时，A={25, 9, −4}，B={0, −4, 9}，此时A∩B={−4, 9}，
与A∩B={9}矛盾，故舍去，
综上所述，A∪B={−7, −4, −8, 4, 9}.
(2)∵ A={x|−3≤x≤5}，B={x|m−2≤x≤m+1}，
且B⊆A，
∴ B≠⌀，要满足B⊆A，须有−3≤m−2,m+1≤5,
解得：−1≤m≤4．
【答案】
证明：(1)a3+b3−ab2+a2b
=a3+b3−ab2−a2b
=a3−ab2+b3−a2b
=aa2−b2+bb2−a2
=a2−b2a−b
=a+ba−b2，
因为a>0，b>0，
所以a+ba−b2≥0，
所以a3+b3−ab2+a2b≥0，
所以a3+b3≥ab2+a2b.
(2)因为x2+y2+5−22x+y
=x2+y2+5−4x−2y
=x2−4x+y2−2y+5
=x−22+y−12≥0，
所以x2+y2+5≥22x+y.
【考点】
不等式的证明
【解析】


【解答】
证明：(1)a3+b3−ab2+a2b
=a3+b3−ab2−a2b
=a3−ab2+b3−a2b
=aa2−b2+bb2−a2
=a2−b2a−b
=a+ba−b2，
因为a>0，b>0，
所以a+ba−b2≥0，
所以a3+b3−ab2+a2b≥0，
所以a3+b3≥ab2+a2b.
(2)因为x2+y2+5−22x+y
=x2+y2+5−4x−2y
=x2−4x+y2−2y+5
=x−22+y−12≥0，
所以x2+y2+5≥22x+y.
【答案】
解：设水池的长为x米，则宽为200x米．
总造价：y=400(2x+400x)+100⋅200x+200×60
=800(x+225x)+12000≥800⋅2x⋅225x+12000=36000，
当且仅当x=225x，即x=15时，取得最小值36000．
即净水池的长为15m时，可使总造价最低．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
净水池的底面积一定，设长为x米，则宽可表示出来，从而得出总造价y=f(x)，利用基本不等式求出最小值．
【解答】
解：设水池的长为x米，则宽为200x米．
总造价：y=400(2x+400x)+100⋅200x+200×60
=800(x+225x)+12000≥800⋅2x⋅225x+12000=36000，
当且仅当x=225x，即x=15时，取得最小值36000．
即净水池的长为15m时，可使总造价最低．
【答案】
解：(1)∵ “x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴ A⊆B，
∴ 2−a≤1，1+2a≥5，
∴ a≥2，
故所求实数a的取值范围是[2,+∞)．
(2)∵ “x∈B ”是“x∈A”的充分条件，
∴ B⊆A.
当B=⌀时，2−a>1+2a，
解得a<13；
当B≠⌀时，2−a≤1+2a，2−a≥1，1+2a≤5，
解得13≤a≤1．
综上所述a≤1，
故所求实数a的取值范围是(−∞,1]．
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】


【解答】
解：(1)∵ “x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴ A⊆B，
∴ 2−a≤1，1+2a≥5，
∴ a≥2，
故所求实数a的取值范围是[2,+∞)．
(2)∵ “x∈B ”是“x∈A”的充分条件，
∴ B⊆A.
当B=⌀时，2−a>1+2a，
解得a<13；
当B≠⌀时，2−a≤1+2a，2−a≥1，1+2a≤5，
解得13≤a≤1．
综上所述a≤1，
故所求实数a的取值范围是(−∞,1]．