专题23 不等式选讲-备战2022年高考数学（文）母题题源解密（全国甲卷）（解析版）

这是一份专题23 不等式选讲-备战2022年高考数学（文）母题题源解密（全国甲卷）（解析版），共25页。试卷主要包含了已知函数，设函数，已知，已知，且等内容，欢迎下载使用。

专题23 不等式选讲

1．已知函数．

（1）画出和的图象；
（2）若，求a的取值范围．
【试题来源】2021年全国高考甲卷（文）
【答案】（1）图象见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图象；（2）根据函数图象数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求．
【解析】（1）可得，画出图象如下：

，画出函数图象如下：

（2），如图，在同一个坐标系里画出图象，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，．

【名师点睛】本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图象数形结合求解．

1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．

【解析】（1）由题设知
的图像如图所示．

（2）函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像．

的图像与的图像的交点坐标为．
由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方，
故不等式的解集为．
2．【2020年高考全国II卷文数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x)= |x-a2|+|x-2a+1|．
（1）当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；
（2）若f(x)≥4，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，
因此，不等式的解集为．
（2）因为，故当，即时，．所以当a≥3或a≤-1时，．
当-1 所以a的取值范围是．
3．【2020年高考全国III卷文数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设a，b，c∈R，，．
（1）证明：；
（2）用表示a，b，c的最大值，证明：≥．
【解析】（1）由题设可知，a，b均不为零，所以


.
（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为，所以a>0，b<0，c<0.由，可得，故，所以.
4．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）因为，又，故有
．
所以．
（2）因为为正数且，故有



=24．
所以．
【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．
5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当a=1时，．
当时，；当时，．
所以，不等式的解集为．
（2）因为，所以．
当，时，．
所以，的取值范围是．
【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．
6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或．
【答案】（1）；（2）见详解．
【解析】（1）由于

，
故由已知得，
当且仅当x=，y=–，时等号成立．
所以的最小值为．
（2）由于

，
故由已知，
当且仅当，，时等号成立．
因此的最小值为．
由题设知，解得或．
【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．

1．解绝对值不等式的常用方法有：
（1）公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|0)和|x|>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式；
（2）平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)；
（3）零点分段法：对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；
（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c，|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即
①定理1:如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
②定理2:如果a，b，c是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b)(b−c)≥0时，等号成立.
③推论1:||a|−|b||≤|a+b|.
④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.
（5）图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|−a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.
2．含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：
（1）分享参数法
运用“”可解决恒成立中的参数范围问题.
求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“”求最值.
（2）更换主元法
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.
（3）数形结合法
在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.
3．不等式的证明
（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.
（2）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.

1．已知．
（1）解关于的不等式：；
（2）若的最小值为，且，求证：．
【试题来源】安徽省宣城市郎溪县2021届高考仿真模拟考试（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）分类讨论解不等式；（2）分类讨论法求得，然后结合基本不等式证明．
【解析】（1）不等式为，
时，不等式为，或．所以；
时，不等式为，或，无解；
时，不等式为，恒成立，所以
综上，原不等式的解集为．
（2）时，，在上递增，，
时，，在上递减，所以．
综上．
，
当且仅当，即时等号成立．所以．
2．已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】安徽省六安市舒城中学2021届高三下学期高考仿真（一）（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据零点分段求解不等式；
（2）根据，转化为恒成立，即可得解．
【解析】（1）当时，不等式，等价于；
当时，不等式化为，即，解集为；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，
即，解得；
综上，不等式的解集为．
（2）当时，，
等价于，
若，则，所以；
若，则，所以．
综上，实数的取值范围为．
3．已知函数（）．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）设关于的不等式的解集为A，，如果，求实数的取值范围．
【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意结合零点分段法运算即可得解；
（2）转化条件为不等式对恒成立，运算即可得解．
【解析】（1）当时，即，
①或②或③．
解①求得；解②得；解③求得．
求并集得原不等式的解集为．
（2），
已知关于的不等式的解集为A，
且，即，
则不等式对恒成立．
当时，
恒成立．
故实数的取值范围为．
4．设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有两个不等实数根，求的取值范围；
（3）已知，，，且，求的最小值及此时，，的值．
【试题来源】甘肃省白银市学科基地2021届高三高考数学（理）模拟试题（二）
【答案】（1）；（2）；（3）最小值为，，，．
【解析】（1），
当时，，解得，，
当时，，解得，，
综上所述，不等式的解集为．
（2），即，
显然不是方程的根，故，
令，
当时，，当且仅当时取等号
作出的图象，如图所示：

方程有两个不等实数根，
由图象可知，的取值范围为．
（3），，，且，
由柯西不等式可得，，
当且仅当，且时，等号成立，
，当且仅当，，等号成立，
的最小值为，且，，．
5．已知函数．

（1）求的最小值，并在图中画出的图象；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）
【答案】（1）最小值为2，图象见解析；（2）．
【分析】（1）根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的单调性，分析可得其最小值，即可得答案，
（2）根据题意，结合函数的图象，分与两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案．
【解析】（1），
所以的图象如图，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取到最小值为．

（2）由图可知，当显然成立；
当时，由函数的对称性，只需即可，所以，
综上可得．
6．已知，，．
（1）求的最小值；
（2）解关于的不等式．
【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由“1”的妙用和基本不等式可得结果；
（2）用零点分段讨论法可得不等式的解集．
【解析】（1）因为，，由得，
则，
当且仅当即，时，有最小值．
（2）由（1）知即．
其等价于，或，或，
即，或，或，
故原不等式的解集为．
7．设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．
【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三二模（理）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用绝对值不等式的性质直接求解即可；
（2）根据题意，得到，然后根据，
化简得到，进而根据不等式恒成立的性质得到或恒成立，进而求出的取值范围
【解析】（1）由得，，整理得，
，解得，，
则原不等式解集为
（2）在区间上恒成立，即为
，即，可得，
，，所以，或，解得
或恒成立，化简得或恒成立，
由，可得，所以，或，
即的取值范围是
【名师点睛】解题关键在于根据，进而化简绝对值不等式，得到，最后利用绝对不等式的性质以及不等式的恒成立关系转化为求或成立的问题，进而求解，属于中档题
8．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】四川省绵阳中学2022届高三上学期第一次质量检测
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）换元，结合零点分段法转化为不等式组，解不等式组即可得解；
（2）按照、讨论，去掉绝对值后结合函数单调性、基本不等式即可得解．
【解析】（1）设，则，
不等式可化为，
等价于或或，
解得或，或，
即，
，解得或，
的解集为；
（2）时，，
当时，等价于，即，
又，当且仅当时取“”，；
当时，等价于，即，
又在上单调递增，，．
综上知，实数的取值范围是．即的取值范围是．
9．已知
（1）时，解不等式；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【试题来源】四川省资阳中学2022 届高三上学期第一次质量检测
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；
（2）由题知在恒成立，即恒成立，故，解不等式即可得答案．
【解析】（1）当时，，
若，则，，无解，
若，则，，
若，则，，
综上，，
不等式的解集为．
（2）在上恒成立，
，即，
，，

，
，
的取值范围为．
10．已知，且．
（1）若恒成立，求x的取值范围；
（2）证明：．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用基本不等式求出的最小值为9，从而将转化为，然后分，，解不等式即可；
（2）化简后利用基本不等式证明即可
【解析】（1）解：设
由，得．
所以．
当时，，得；
当时，，解得，故；
当时，，解得，故；
综上，x的取值范围为．
（2）证明：
．
11．已知函数．
（1）解不等式：；
（2）已知实数满足：对都有，若，，且，求最小值．
【试题来源】广西桂林市、崇左市2021届高三5月份高考数学（文）第二次联考试题
【答案】（1）；（2）12．
【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集；
（2）由已知可知，是函数的最小值，求出即可得到，再利用柯西不等式求最小值，即可得到答案
【解析】（1）
当时，由得，则；
当时，由得，则；
当时，由，则；
综上，不等式的解集：．
（2）已知对都有，则，
，
则在上是减函数，在上是增函数，
所以，
，即，
则
，
当且仅当，即，，时等号成立，
所以．
【名师点睛】常见的应用不等式求最值题型：
“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项和的最小值；
二维不等式：，当且仅当时，等号成立；
一般形式： ，当且仅当时，等号成立．
12．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设，，，，集合中的最大元素为，且，，求的最小值．
【试题来源】贵州省凯里市第一中学2021届高三三模《黄金三卷》（文）
【答案】（1）；（2）最小值为．
【分析】（1）用零点分段讨论求解即可；
（2）由（1）知，进而由柯西不等式求解即可．
【解析】（1）不等式可化为
，或，或，
解得，或，或，
不等式的解集．
（2）易知，所以，，
由柯西不等式得
(当且仅当时取等号)，
，即，的最小值为．
13．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若存在使得成立，求实数的取值范围．
【试题来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）分段讨论得出函数的解析式，由此可建立不等式组，解之可得答案．
（2）由（1）可作出函数的图象，根据图象可求得实数的取值范围．
【解析】（1）由题可得，
因为，所以或或，
即或或，所以，
所以不等式的解集为．
（2）因为存在，使得，所以，
由（1）可知，作出函数的图象，如下图所示，

由函数的图象可知，
所以，所以实数的取值范围为．
【名师点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
14．已知函数．
（1）解不等式的解集；
（2）设的最小值为，且，求的最小值．
【试题来源】全国100所名校最新高考2021届模拟示范卷（理）（七）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可得，可得出，进而可得出，利用基本不等式可求得的最小值．
【解析】（1）当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时．
综上，不等式的解集为；
（2）由绝对值三角不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则，故，所以，，
所以，，
当且仅当时取等号，故的最小值为．
15．已知不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）求的最大值．
【试题来源】全国名校2021届高三高考数学（理）冲刺试题（二）
【答案】（1），；（2）4．
【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，解不等式即可求出不等式的解集，从而求出，的值；
（2）利用柯西不等式的性质即可求出最大值．
【解析】（1）由，得，
解得，所以，．
（2）由（1）得，
当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为4．
16．已知函数．
（1）求函数的取值范围；
（2）若的最小值为，且，求证：．
【试题来源】四川省仁寿第一中学校南校区2021届高三仿真高考（文）（二）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求得的取值范围；
（2）由基本不等式求得，，即可证明．
【解析】（1）
当且仅当，即时取到等号，
所以g(x)的取值范围是
（2）由（1）问可知g(x)的最小值为1，所以，
因为，所以，
同理，，
三个不等式相加得
即，当且仅当时等号成立．
17．已知函数．
（1）解不等式；
（2）若方程的解集为空集，求k的取值范围．
【试题来源】陕西省西安中学2021届高三第一次仿真考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）把函数化为分段函数形式，在各段上解不等式即可作答；
（2）化方程为，作出函数图象，利用数形结合的思想即可得解．
【解析】（1），则不等式化为
或或，解得或或，
即，所以不等式的解集为；
（2），令
方程解集为空集，即直线与函数图象无公共点，在同一坐标系内作出直线和函数图象，如图：

直线是过原点的直线，当它过点A(4，2)时，，当它与直线BC平行时，，
观察图形知，当直线在直线和所夹含x轴的对顶角区域(不包括直线)内绕原点旋转时与函数图象无公共点，即，
所以k的取值范围是．
【名师点睛】绝对值不等式的解法：
（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
18．已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021届高三下学期5月第四次模拟考试数学（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根据绝对值的性质，将函数的解析表达式写成分段函数的形式，单后利用分区间讨论求解方法求得不等式的解集；（2）等价转化为恒成立，利用绝对值不等式的性质求得的最大值，进而利用不等式恒成立的意义求得．
【解析】（1）当时，，不等式，即，
当时，由，解得；
当时，由，解得，故不等式无解；
当时，由，解得．
综上的解集为．
（2）等价于．
，当时，等号成立，
所以的最大值为，
因为恒成立，所以，解得．
19．已知函数．
（1）解不等式；
（2）记的最大值为t，若，求证：．
【试题来源】甘肃省靖远县2021届高三高考考前全真模拟（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由，得到，分类讨论，即可求解；
（2）由绝对值三角不等式，求得，得到，即，要证，只需证，结合比较法，即可求解．
【解析】（1）由题意，函数，
因为，即，
可得或或，
解得x无实根或或，
综上可得，不等式的解集为．
（2）由，
当且仅当，且，即时取等号，
所以，即，要证，
只需证，即证，

．
又，所以，
所以，即，所以．
20．已知函数，．
（1）若，且恒成立，求实数的最小值．
（2）若，求的最大值．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模（理）
【答案】（1）2；（2）2．
【分析】（1）由绝对值三角不等式可得的最大值，进而可得结果；（2）由柯西不等式可得结果．
【解析】（1），当且仅当时成立，
所以，，故的最小值为2．
（2），，
由柯西不等式得，
当且仅当时取等号．所以，最大值为2．