专题18 立体几何综合-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）（原卷版）

专题18   立体几何综合

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）；（2）

【试题解析】（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、，

则，，

，则，解得，故；

（2）设平面的法向量为，则，，

由，取，可得，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

，

所以，，

因此，二面角的正弦值为.

【点睛】

思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.

【命题意图】

高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等．

【命题方向】

高考对该部分内容的考查主要有两种形式：一是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；二是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题.

【得分要点】

1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法

设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，则

（1）线面平行：l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2=0；

（2）线面垂直：l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2；

（3）面面平行：α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3；

（4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3=0.

注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a=λb（λ∈R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.

2.利用向量求异面直线所成的角

把角的求解转化为向量运算，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cos β=.

注意：两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，即cos α=|cos β|.

3.利用向量求直线与平面所成的角

（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

注意：直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ=(a3，b3，c3)，直线l与平面α的夹角为，则.

4.利用向量求二面角

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则.

5.用向量解决探索性问题的方法

（1）确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．

（2）确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标．

（3）解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．

1．（2021·重庆高三其他模拟）已知正方体中，分别为棱的中点.

（1）求证；四点共面；

（2）求二面角的余弦值.

2．（2021·普宁市普师高级中学高三其他模拟）如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若是等边三角形，求二面角的余弦值.

3．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）如图，在三棱锥中，是正三角形，是等腰直角三角形，，.

（1）求证：；

（2）若点为的中点，求与平面所成角的大小.

4．（2021·山东高三其他模拟）在正六棱柱中，.

（1）求到平面的距离；

（2）求二面角的余弦值.

5．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知四棱锥的底面是菱形，对角线、交于点，，，底面，设点满足．

（1）若三棱锥体积是，求的值；

（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．

6．（2021·山西高三三模（理））如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

7．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）如图，四棱锥中，，，是正三角形.

（1）求证：平面底面.

（2）点在棱上，且直线与底面所成角为30°，求二面角的余弦值.

8．（2021·北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．

（1）证明：点为的中点；

（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．

9．（2021·上海市崇明中学高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点是的中点.

（1）证明：直线平面；

（2）者直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.

10．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点，，的平面与棱交于点．

（1）证明四边形为矩形；

（2）若与平面所成角的正切值为，求与平面所成角的正弦值．

11．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（理））已知正三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图1），将沿折起到的位置（如图2），且使与底面成角，连接，．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求二面角的余弦值．

12．（2021·福建高三三模）如图，在平面四边形中，且，分别将､沿直线翻转为､(，不重合)，连结，，.

(1)求证：；

(2)若，，点在平面内的正投影为的重心，求二面角的余弦值.

13．（2021·四川雅安市·雅安中学高二期中（理））如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，为正三角形，且平面平面，为线段中点，在线段上.

（1）当是线段中点时，求证：平面；

（2）当时，求二面角的正弦值.

14．（2021·河南郑州市·高二期末（文））开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等．如图，如果四面体中棱，，两两垂直，那么称四面体为直角四面体．请类比直角三角形（表示斜边上的高）中的性质给出直角四面体中的两个性质，并给出证明．

15．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（理））已知正四棱柱中，，．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．