专题16 三角函数-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（解析版）

这是一份专题16 三角函数-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国甲卷）（解析版），共22页。试卷主要包含了设函数，则下列结论中不正确的是，函数具有性质等内容，欢迎下载使用。

专题16 三角函数

1．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为______________．

【试题来源】2021年全国高考甲卷（理）
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得．
【解析】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即，所以．
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，可得的最小正整数为2．
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，
又，符合题意，可得的最小正整数为2．
故答案为2．
【名师点睛】根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解．

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数在[−π，π]的图象大致如下图，则f（x）的最小正周期为

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得.
所以函数最小正周期为，故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则
A．cos2α>0 B．cos2α<0
C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以，
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以，故选：D．
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，
选项C错误，选项D正确；故选D．
3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)=

A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由函数图象可知：，则，所以不选A,
当时，，解得：，
即函数的解析式为：.
而，故选BC．
4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】为偶函数，故①正确．
当时，，它在区间单调递减，故②错误．
当时，，它有两个零点：；当时，
，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．
当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．
综上所述，①④正确，故选C．
【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确．

5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；
因为，周期为，排除C；
作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；
作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A．

图1

图2

图3
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数.
6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，
由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；
②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；

④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，
因为在上有5个零点，所以当k=5时，，
当k=6时，，解得，故④正确.
③函数=sin（）的增区间为：，.取k=0，
当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为，
综上可得，在单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.
【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．

已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

一、单选题
1．已知函数的部分图象如下图所示，则

A． B．
C． D．
【试题来源】【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练
【答案】D
【分析】由图可求出函数的周期，再由周期公式求出的值，然后将点代入函数关系式中可求出的值
【解析】设函数的最小正周期为，则由题可得，
即，所以，所以，，
即，，因为，所以．故选D．
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【试题来源】【高频考点解密】2021年高考数学（文）二轮复习讲义 分层训练
【答案】A
【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．
【解析】因为函数，
所以为了得到函数的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．故选A．
3．角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】D
【分析】由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可．
【解析】因为角的终边在第一象限，
所以，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，综上，角的终边不可能落在第四象限，故选D．
4．若角的终边与单位圆的交点为，则点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】D
【分析】根据三角函数定义和诱导公式可得答案．
【解析】因为角的终边上与单位圆的交点为，所以，，
，，
点，位于第四象限，故选D．
5．已知点在角的终边上，若要得到函数的图象，则需将函数的图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】A
【分析】由题意可得为第二象限角，利用任意角的三角函数的定义可求，结合范，可求的值，进而根据函数的图象变换即可得解．
【解析】因为点在角的终边上，可得为第二象限角，所以，
因为，所以，所以若要得到函数的图象，
则需将函数的图象向左平移个单位长度即可得解．故选．
6．已知函数在，上的最大值为2，则实数的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】B
【分析】先对函数化简变形得，然后由，，得，，再由其最大值为2，所以可得，从而可求出的范围，进而可求出的最小值
【解析】函数，
因为，，所以，，因为函数的最大值为2，所以，，且，
解得，，且，所以的最小值为，故选B．
7．设函数，则下列结论中不正确的是
A．的图象关于点，对称 B．的图象关于直线对称
C．在，上单调递减 D．在，上的最小值为0
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】D
【分析】先利用三角函数公式对函数化简变形可得，然后根据正弦函数的图象和性质逐个分析判断即可
【解析】，
因为，所以对称中心，正确，故正确；
因为，所以函数达到最大值，所以正确；
，时，，，显然函数单调递减，所以正确；
，时，，，显然函数单调递增，所以函数的最小值为时，函数取最小值，且为，所以不正确；故选D．
8．已知函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若，则的最小值为
A． B．
C．π D．2π
【试题来源】山东省菏泽市2021届高三二模
【答案】B
【分析】先对函数化简，得，再利用三角函数图象变换规律求出，由，可得与都是波峰或波谷的横坐标，从而可得答案
【解析】因为的图象向右平移个单位得，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半得到，
因为，所以或，因为与都是波峰或波谷的横坐标，所以，故选B．
9．下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省渭南市富平县2021届高三下学期二模（理）
【答案】A
【分析】利用正弦函数、余弦函数的周期以及单调性逐一判断即可．
【解析】A，，，
由余弦函数的单调递增区间可得，
解得，当时，，故A正确；
B，，，由正弦函数的单调递增区间可得，
解得，显然在区间上不单调，故B错误；
C，，，故C错误；
D，当时，，当时，，所以周期不是，故D错误；故选A
10．函数具有性质
A．最大值为2，图象关于对称 B．最大值为，图象关于对称
C．最大值为2，图象关于直线对称 D．最大值为，图象关于直线对称
【试题来源】广东省广州市省实、广雅、执信、六中四校2022届高三上学期8月联考
【答案】C
【分析】首先利用诱导公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
【解析】，
，即，
所以，故B、D错误；
又当时，所以函数关于对称，故C正确；
当时，所以函数不关于对称，故A错误；故选C
11．若是第二象限角，则下列不等式正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省渭南市富平县2021届高三下学期二模（文）
【答案】B
【分析】根据是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解．
【解析】对于A：因为，所以，
所以是第三象限角，所以，故选项A不正确；
对于B：因为，所以，当时，，此时是第一象限角，
当时，，此时是第三象限角，
所以是第一或第三象限角，所以，故选项B正确；
对于C：因为，所以，所以是第三或第四象限角或终边落在轴非正半轴，所以，故选项C不正确；
对于D：因为，所以，所以是第三象限角，所以，故选项D不正确；故选B．
12．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值是
A． B．
C． D．
【试题来源】【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练
【答案】A
【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换和伸缩变换的应用和性质求出结果．
【解析】由题可得，
所以，
因为函数的图象关于轴对称，所以，即，
又，所以的最小值是．故选A．
13．已知在上单调递增，则的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文）
【答案】A
【分析】首先把函数的关系式利用辅助角公式变形成正弦型函数，进一步利用正弦函数的单调性即可求出结果．
【解析】函数，令，
解得，因为函数在上是增函数，
所以，而的值只能取0，得，即的最大值是，故选A．
14．记，那么
A． B．
C． D．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】D
【分析】依题意得，由同角三角函数关系得，进而可得结果．
【解析】，则，所以，
那么．故选D．
15．已知且为整数，且，函数的图象如图所示，A、C，D是的图象与相邻的三个交点，与x轴交于相邻的两个交点O、B，若在区间上，有2020个零点，则的最大值为

A． B．
C． D．
【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题
【答案】C
【分析】由求得的范围，由求得，再利用求得，得周期，结合周期可得最大值．
【解析】由题意则为，则有，进而，
又或，因为大于0小于3，所以等于2，与，得，则，相邻2个零点的距离有两种和，则当为1010个与1011个的和时最大为．
故选C．
16．已知函数的图象经过点，则下列命题是真命题的是
A．函数在上单调递增
B．函数的图象的一个对称中心是
C．是函数的一个周期
D．函数的图象的对称轴方程为（）
【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文）
【答案】C
【分析】首先求出函数的解析式，然后利用正弦型函数的性质分别判断、、、选项即可得答案．
【解析】因为函数的图象经过点，所以，
又，所以，故．
对于：因为在上单调递增，而时，不是的子区间，故错误；对于：当时，，故错误；
对于：函数的最小正周期为，所以为函数的周期，故正确；
对于：令，解得，故错误．故选C．
17．函数的部分图象如图中实线所示，点C是曲线的一个对称中心，以C为圆心的圆与相交于M，N两点，且M在y轴上，则函数图象的一条对称轴为

A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（三）
【答案】B
【分析】根据题意利用函数的图象的对称性可知M，N两点关于圆心对称，可得圆心坐标，以及五点法作图求得函数的解析式，即可求解．
【解析】由函数的图象以及圆的对称性，可得M，N两点关于圆心对称，
所以，因为，所以，所以，
由，可得，
因为，所以，，所以，
令可得，
经检验可得当时，，其他选项不正确，故选B．
18．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于直线对称
【试题来源】天津市宝坻区第一中学2020-2021学年高三上学期第三次月考
【答案】C
【分析】根据相邻两条对称轴之间的距离得出函数的最小正周期，由函数是偶函数，则的一条对称轴为，根据正弦函数的对称轴求出，将代入函数解析式，验证对称中心，将代入函数解析式，验证对称轴，由整体法结合正弦函数的单调性得出函数在上单调性，即可得出答案．
【解析】图象相邻两条对称轴之间的距离为，即三角函数的周期为，
所以，即，
所以，
又是偶函数，故，即，
又，解得，所以．
对于选项A：最小正周期，故A错误；
对于选项B： 当时，，不是正弦函数的对称中心，故B错误；
对于选项C：由，故，由正弦函数图象可知，在上单调递增，故C正确；由，
对于选项D：当时，，故不是该函数的对称轴，故D错误；
综上所述，选项C正确．故选C．
【名师点睛】本题主要考查了由正弦型函数的性质求解析式，对称轴，对称中心以及单调性，属于中档题．
19．下列区间中，函数单调递增的区间是
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省2022届高三上学期8月阶段性质量检测
【答案】C
【分析】先化简，再求出的单调增区间，通过对赋值，可确定具体的单调增区间，再确定选项．
【解析】由题知，，
由，，得，．
所以函数的单调增区间为，．
令，有在上单调递增；令，有在上单调递增；
令，有在上单调递增；对于选项所给的区间，只有在区间内，其余的都不在的任何一个单调增区间内．故选C．
20．已知，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省2021-2022学年高三入学考试数学（理）
【答案】C
【分析】先求出，即得解．
【解析】由题得，
所以在第三、四象限，又，所以在第四象限，所以．
所以．故选C
二、填空题
21．若函数关于对称，则常数的一个可能取值为____________．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于函数的图象关于直线对称，从而可得，代入函数中化简可得结果
【解析】由题意，知，即，
所以．故答案为（答案不唯一）
22．已知角的终边经过点，，则的值为____________．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】
【分析】根据三角函数的定义可得答案．
【解析】，角的终边经过点，，，，
，，．故答案为．
23．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则____________．
【试题来源】黑龙江省大庆市2021届高三二模（文）
【答案】
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【解析】角的终边经过点，．故答案为．
24．若是区间上的单调函数，则正数的最大值是____________．
【试题来源】全国2021届高三高考数学（文）信息试题（一）
【答案】
【分析】先由辅助角公式可得，根据题意可得，由的单调性，所以只要即可得解．
【解析】，由且，
所以，因为在上为增函数，
所以，可得，所以正数的最大值是．故答案为．
25．已知函数(，)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，且是一个极小值点．若把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为____________．
【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）
【答案】
【分析】利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就是对称轴，然后得到的最小值．
【解析】相邻的对称轴与对称中心之间的距离为，所以，所以，
所以最小值点右侧最近的一个最大值点为，第二个最值点为最小值点，即是第一个超过的最值点，即右侧第一条对称轴为，所以把函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象关于直线对称，则实数的最小值为，
故答案为．
【名师点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题．注意相邻的中心与轴间的距离为四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期．注意平移的方向，找到函数在直线右侧的第一条对称轴是关键．
26．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为，若，则____________．
【试题来源】江苏省跨地区职业学校单招2020届高三下学期一轮联考
【答案】
【分析】由题意求出，进而得出函数的解析式，将代入即可．
【解析】函数是奇函数，则，
因为的最小正周期为，所以，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，
所得图象对应的函数为，又，所以，解得，
所以，所以．故答案为
27．若函数在上单调递增，则的取值范围是____________．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】，
【分析】由题意结合正弦函数的性质可得，解不等式组可求出的取值范围
【解析】因为，，所以，
因为函数在上单调递增，
所以，，解得，，
因为，所以当时上式有解，所以，故答案为，．
28．已知，则函数的最小正周期为____________．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】
【分析】应用二倍角正余弦公式、辅助角公式可得，根据正弦函数的最小正周期为，即可求的最小正周期．
【解析】，
由二倍角公式，，，
所以，
因为，所以函数的最小正周期为，故答案为．
29．已知函数的相邻两个零点间的距离为，且，则____________．
【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研
【答案】
【分析】由相邻零点距离得周期，由周期求得，然后由函数值计算出．
【解析】由题意，，所以，
，，
又，所以．故答案为
30．已知函数在上的值域为，则的取值范围为____________．
【试题来源】2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】
【分析】首先利用三角函数两角和公式，进行化简，其次，结合值域的取值范围求出的取值范围，最后根据该取值范围求出最后答案．
【解析】由题意可得
，其中，，，设，，
，，，，，，，
，即，，
的取值范围为，故答案为．