新教材2020_2021学年高一数学下学期暑假训练4立体几何

4 立体几何1

例1．下面关于空间几何体的定义或结构特征叙述错误的是（）

A．空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱

B．有两个侧面都是矩形的三棱柱，它的侧棱垂直于底面

C．以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥

D．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心

例2．如图，一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形，则原三角形的面积是（）

A． B． C． D．

例3．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且两两垂直，，，，则该三棱锥的体积为______，球O的表面积为______．

一、选择题．

1．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（）

A．4 B．6 C．8 D．

2．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积（）

A． B． C． D．

3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是（）

A．

B．

C．D．

4．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A． B． C． D．

二、解答题．

5．圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，

求此圆台的高、母线长及两底面的半径．

6．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，求周长的最小值．

7．正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b)．

（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；

（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．

8．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积．

9．如图所示的正方体的棱长为，求三棱锥的高．

例1．【答案】D

【解析】对于A，由四棱柱的定义：空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱，故A正确；

对于B，根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，是真命题，

故B正确；

对于C，由圆锥的定义：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故C正确；

对于D，底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心，

故D错误，

故选D．

例2．【答案】C

【解析】∵S△A′B′C′＝a2sin 60°＝a2，∴S△ABC＝S△A′B′C′＝a2，故选C．

例3．【答案】10，

【解析】由两两垂直，则以为底面，则为三棱锥的高，

则；

将三棱锥补成长方体如图所示，

则三棱锥的外接球与该长方体的外接球相同，

所以外接球的直径长等于长方体的体对角线的长，

所以，即，

所以外接球的表面积为，

故答案为10，．

一、选择题．

1．【答案】C

【解析】直观图如图所示：

由图知：原图形的周长为，故选C．

2．【答案】C

【解析】设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：

则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，

所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，

该球的表面积为，故选C．

3．【答案】C

【解析】对于A、B、D选项，两个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，底边上的高变为原来的，

如图：

选项A：

选项B：

选项D：

所以两个图形的直观图全等；

对于C中，第一个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，底边上的高变为原来的，第二个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB变为原来的，底边上的高OC不变，

如图：

所以这两个图形的直观图不全等，

故选C．

4．【答案】B

【解析】将三棱锥放入长方体中，如图，

三棱锥的外接球就是长方体的外接球．

因为，，为直角三角形，所以，

设外接球的半径为R，依题意可得，故，

则球O的表面积为，故选B．

二、解答题．

5．【答案】．

【解析】设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h．

由题意，得，即R＝3r．①

，即(R＋r)h＝392．②

又母线与底面的夹角为45°，则．③

联立①②③，得．

6．【答案】．

【解析】将三棱锥沿侧棱剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，

线段的长为所求周长的最小值．

∵，∴，

又，∴，

∴周长的最小值为．

7．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）如图所示，

平面，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，

，，．

分别取，的中点，，连接，．

则，，

斜高，

棱台的侧面积．

（2）棱台的侧面积等于两底面面积之和，

，，

．

8．【答案】．

【解析】如图，设、分别为上、下底面的中心，则平面，

过作于，所以，

所以平面，，

过作于，连接，且，

所以平面，，则为正四棱台的斜高，

由题意知，

，

又，

∴高，

∴．

9．【答案】．

【解析】设三棱锥的高为，则．

又，所以，所以，

所以三棱锥的高为．