新教材2020_2021学年高一数学下学期暑假训练8空间向量与立体几何

8 空间向量与立体几何

例1．在平行六面体中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．

（1）用向量表示，；

（2）若，求实数x，y，z的值．

例2．如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，，．

（1）求点B到平面B1C1E的距离；

（2）求二面角的正弦值．

一、选择题．

1．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A． B． C． D．

2．若向量，，且与的夹角余弦为，则λ等于（）

A． B． C．或 D．2

二、填空题．

3．下列关于空间向量的命题中，正确的有________．

①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；

②若非零向量，，满足，，则有；

③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；

④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．

4．在空间直角坐标系中，若点，，则_______．

5．点关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于的对称点是________．

三、解答题．

6．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点．

（1）求异面直线SA与FC所成角的大小；

（2）在棱SB上是否存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由．

7．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，点O为AB中点，点D为AA1中点．

（1）求平面ABC与平面B1CD所成锐二面角的大小；

（2）已知点E满足，当异面直线DE与CB1所成角最小时，求实数λ的值．

例1．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1），

．

（2），

所以．

例2．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

则B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），

∴，，，

设平面B1C1E的法向量，

则，取u＝1，得，

∴点B到平面B1C1E的距离为．

（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），

∴，，

设平面CC1E的法向量，

则，取x＝1，得，

设二面角B1﹣EC1﹣C的平面角为θ，则，

∴，

∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值为．

一、选择题．

1．【答案】A

【解析】

，

故选A．

2．【答案】A

【解析】∵向量，，

∴，解得，

故选A．

二、填空题．

3．【答案】①③④

【解析】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；

对于②：若非零向量，，满足，，则与不确定，可能共线，故②错误；

对于③：若，，是空间的一组基底，且，

则，即，

可得到四点共面，故③正确；

对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量，

存在唯一实数组，使得，

由的唯一性，则，，也是唯一的，

则，，也是空间的一组基底，故④正确，

故答案为①③④．

4．【答案】

【解析】空间直角坐标系中，点，，

则，

故答案为．

5．【答案】，，

【解析】点关于平面xOz的对称点是，

关于z轴的对称点是，

设点关于的对称点为，

则，解得，

故点关于点的对称点为，

故答案为，，．

三、解答题．

6．【答案】（1）90°；（2）存在，．

【解析】（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，

平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点，

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

设异面直线SA与FC所成角为，

则，∴θ＝90°，

∴异面直线SA与FC所成角的大小为90°．

（2）假设在棱SB上存在点Q（a，b，c），，(0≤λ≤1)，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，

则，即，

解得a＝2λ，b＝1﹣λ，，

∴，，，，

设平面ACQ的法向量，

则，

取x＝2，得；

设平面ASC的法向量，

则，取p＝2，得，

∵平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，

∴，

整理得，解得或（舍去），

故在棱SB上存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，此时．

7．【答案】（1）；（2）．

【解析】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA，

取A1B1的中点O1，连接OO1，则OO1AA1，AB⊥OC，

又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

而AB，OC⊂平面ABC，故AA1⊥OC，AA1⊥AB，所以OO1⊥OC，OO1⊥AB，

以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，

则，，，，，，

所以．

（1）∵AA1⊥平面ABC，∴平面ABC的一个法向量为，

设平面B1CD的一个法向量为，则，

故可取，

∴，

∴平面ABC与平面B1CD所成锐二面角为．

（2）∵，∴，

则，

设异面直线DE与CB1所成角为θ，则，

令，则，

当时，cosθ取得最大值，

∵y＝cosθ在上递减，∴θ取得最小值，此时．