2020-2021学年山东省滨州市博兴县高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省滨州市博兴县高二（上）期中数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线y=3x+2的倾斜角是（ ）
A.30∘B.45∘C.60∘D.120∘

2. 圆(x+2)2+y2=1与圆(x−2)2+(y−1)2=16的位置关系为（ ）
A.相交B.相离C.外切D.内切

3. 若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（ ）
A.6B.5C.62D.52

4. 如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设AB→=a→,AD→=b→,AA1→=c→，则B1M→=( )

A.−12a→−12b→−c→B.12a→+12b→−c→
C.12a→−12b→−c→D.−12a→+12b→−c→

5. 已知a→=(−2, −3, 1)，b→=(2, 0, 4)，c→=(−4, −6, 2)，则下列结论正确的是（ ）
A.a→∥c→,b→∥c→B.a→∥c→,a→⊥b→
C.a→∥b→,a→⊥c→D.a→∥b→,b→⊥c→

6. 已知平面α的法向量为n→=(−2, −2, 1)，点A(x, 3, 0)在平面α内，则点P(−2, 1, 4)到平面α的距离为103，则x=( )
A.−1B.−11C.−1或−11D.−21

7. 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则以线段AB为直径的圆一定（ ）
A.经过原点B.经过点(−1, 0)
C.与直线x=−1相切D.与直线y=−1相切

8. 如图，四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD，P为底面ABCD内的一动点，若PB→⋅PS→=1，则动点P的轨迹在（ ）

A.圆上B.双曲线上C.抛物线上D.椭圆上
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

已知直线l过点P(2, 4)，在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（ ）
A.x−y+2=0B.x+y−6=0C.x=2D.2x−y=0

椭圆x216+y2m=1的焦距为27，则m的值为（ ）
A.9B.23C.16−7D.16+7

已知v→为直线l的方向向量，n1→，n2→分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是( )
A.n1→ // n2→⇔α // βB.n1→⊥n2→⇔α⊥β
C.v→ // n1→⇔l // αD.v→⊥n1→⇔l // α

已知曲线C:mx2+ny2＝1．（ ）
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m＝n>0，则C是圆，其半径为n
C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±−mnx
D.若m＝0，n>0，则C是两条直线
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

两条平行直线l1:3x−y+1＝0与l2:ax+2y−3＝0之间的距离为________14 ．

已知点A(1, 2, 3)，B(0, 1, 2)，C(−1, 0, λ)，若A，B，C三点共线，则λ=________．

已知圆C的圆心在第一象限，且在直线y=2x上，圆C与抛物线y2=4x的准线和x轴都相切，则圆C的方程为________．

设P为方程(x+4)2+y2+(x−4)2+y2＝12表示的曲线上的点，M、N分别为圆(x+4)2+y2=4和圆(x−4)2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降1m，求水面的宽度．

一动点到两定点距离的比值为非零常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点A、B的坐标分别为：A(4, 0)、B(1, 0)，动点M满足AM=2BM．
（1）求动点M的阿波罗尼斯圆的方程；

（2）过P(2, 3)作该圆的切线l，求l的方程．

在正方体A1B1C1D1−ABCD中，棱长为1．

（1）求直线BC与直线B1D所成角的余弦值；

（2）求点A到平面B1CD的距离．

在①离心率e=12，②椭圆C过点(1,32)，③△PF1F2面积的最大值为3，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，已知椭圆C的短轴长为23， ①离心率e=12 ．
（1）求椭圆C的方程；

（2）若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证：|PQ||NF1|为定值．

如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，FD⊥平面ABCD，BE // FD，且DF=2BE=2．

（1）求直线AD和平面AEF所成角的大小；

（2）求平面AEF与平面ADF的夹角的大小．

如图，在直角坐标系xOy中，DP⊥y轴，点D为垂足，点M在线段DP的延长线上，且满足|DP|=32|DM|．当点P在圆x2+y2=3上运动时．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）直线l:x=my+1(m≠0)交曲线C于A，B两点，求△AOB面积的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省滨州市博兴县高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
直接利用直线倾斜角的正切值求斜率．
【解答】
解：设直线y=3x+2的倾斜角是α，
则tanα=3，又0∘≤α<180∘，
∴ α=60∘．
故选：C．
2.
【答案】
A
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
先求出两个圆的圆心和半径，再根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交．
【解答】
这两个圆(x+2)2+y2=1与圆(x−2)2+(y−1)2=16的圆心分别为(−2, 0)、(2, 1)；
半径分别为1、4．
圆心距为(2+2)2+(1−0)2=17，大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交，
3.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可．
【解答】
由已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，
可得ba=2，e=ca=1+(ba)2=5，
4.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
空间向量
【解析】
由于B1M→=B1B→+BM→，BM→=12BD→，BD→=BA→+BC→，代入化简即可得出．
【解答】
B1M→=B1B→+BM→，BM→=12BD→，BD→=BA→+BC→，
∴ B1M→=−AA1→+12(−AB→+AD→)
=−c→−12a→+12b→，
5.
【答案】
B
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
根据向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件，对各项逐个加以判别，即可得到本题答案．
【解答】
∵ a→=(−2,−3,1),c→=(−4,−6,2)，
∴ c→=2a→，∴ a→∥c→．
又a→=(−2,−3,1),b→=(2,0,4)，
则a→⋅b→=(−2, −3, 1)⋅(2, 0, 4)＝−2×2+(−3)×0+1×4＝0，
∴ a→⊥b→．
6.
【答案】
C
【考点】
平面的法向量
【解析】
求出AP→与n→的夹角和|AP→|，根据P到平面α的距离列方程求出x．
【解答】
AP→=(−2−x, −2, 4)，|AP→|=(−2−x)2+(−2)2+42=x2+4x+24，|n→|=4+4+1=3，
AP→⋅n→=−2(−2−x)+4+4=2x+12，
∴ cs=|AP→||n→|˙=2x+12x2+4x+24×3，
设AP与平面α所成角为θ，则sinθ=|2x+12|3x2+4x+24，
∴ P到平面α的距离为|AP|⋅sinθ=|2x+12|3=103，
解得x=−1或x=−11．
7.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
【解析】
求得抛物线的焦点和准线方程，设A，B，M在准线上的射影为A′，B′，M′，由抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系判断选项即可．
【解答】
y2=4x的焦点F(1, 0)，准线方程为x=−1，
设A，B，M在准线上的射影为A′，B′，M′，
由|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，|MM′|=12(|AA′|+|BB′|)=12(|AF|+|FB|)=12|AB|，
可得线段AB为直径的圆与准线相切，与直线y轴相交，
8.
【答案】
A
【考点】
轨迹方程
【解析】
建立空间直角坐标系，设坐标，由数量积可得P的轨迹为圆．
【解答】
由题意建立空间直角坐标系，以AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，A为坐标原点，则B(2, 0, 0)，S(0, 0, c)，设P(x, y, 0)因为PB→⋅PS→=(2−x, −y, 0)(−x, −y, c)＝x2−2x+y2+0＝(x−1)2+y2，
由题意可得：(x−1)2+y2＝1，可得动点P的轨迹为：以(1, 0)为圆心，以1为半径的圆．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
【答案】
B,D
【考点】
直线的斜截式方程
【解析】
分直线l过原点与不过原点两类讨论，当直线过原点时，直接写出直线方程，当直线不过原点时，设出直线的截距式方程x+y=m，代入P点坐标求得m值，则直线方程可求．
【解答】
当直线l过原点时，直线方程为y=2x，即2x−y=0；
当直线l不过原点时，设直线方程为x+y=m，则m=2+4=6，
∴ 直线方程为x+y−6=0．
∴ 直线l的方程可能为2x−y=0或x+y−6=0．
【答案】
A,B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
利用椭圆的方程求解半焦距，然后求解m，即可得到选项．
【解答】
椭圆x216+y2m=1的焦距为27，即2c=27，可得c=7，
依题意得16−m=7或m−16=7，解得m=9或m=23，
所以m的值为9或23．
【答案】
A,B
【考点】
平面的法向量
直线的方向向量
【解析】
利用平面的法向量、直线的方向向量的性质即可判断出正误．
【解答】
解：v→为直线l的方向向量，n1→，n2→分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），
则n1→ // n2→⇔α // β，n1→⊥n2→⇔α⊥β，v→ // n1→⇔l⊥α，v→⊥n1→⇔l // α或l⊂α．
因此AB正确．
故选AB.
【答案】
A,C,D
【考点】
圆锥曲线的综合问题
【解析】
根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．
【解答】
A．若m>n>0，则1m<1n，则根据椭圆定义，知x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
B．若m＝n>0，则方程为x2+y2=1n，表示半径为1n的圆，故B错误；
C．若m<0，n>0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±−mnx，
若m>0，n<0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±−mnx，
故C正确；
D．当m＝0，n>0时，则方程为y＝±1n表示两条直线，故D正确；
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
【答案】
14
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
利用平行线，求解a，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．
【解答】
两条平行直线l1:3x−y+1＝0与l2:ax+2y−3＝0，
可得a＝−23，
所以l2:3x−y+32=0，
所以两条平行直线l1:3x−y+1＝0与l2:ax+2y−3＝0之间的距离为：|−1+32|3+1=14．
【答案】
1
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值．
【解答】
点A(1, 2, 3)，B(0, 1, 2)，C(−1, 0, λ)，
所以AB→=(−1, −1, −1)，BC→=(−1, −1, λ−2)；
若A，B，C三点共线，则AB→ // BC→；
即−1−1=−1−1=λ−2−1，解得λ=1．
【答案】
(x−1)2+(y−2)2=4
【考点】
圆的标准方程
【解析】
由题意利用直线和圆的位置关系求出圆心和半径，可得圆的标准方程．
【解答】
∵ 圆C的圆心在第一象限，且在直线y=2x上，
故可设圆心为C(a, 2a)，a>0，
∵ 圆C与抛物线y2=4x的准线x=−1和x轴都相切，
故圆的半径|a+1|=|2a|，解得a=1，或a=−13（舍去），故半径为2，
则圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=4，
【答案】
9
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
由椭圆的方程可求得其焦点坐标F1(−4, 0)，F2(4, 0)，而两圆：(x+4)2+y2=4和(x−4)2+y2=1的圆心分别为两焦点，由于点P为椭圆方程为x236+y220＝1上任意一点，|PF1|+|PF2|=12，由图可知，|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|−2；|PM|+|PN|的最大值为|PF1|+|PF2|+2；问题可解决．
【解答】
∵ P为方程(x+4)2+y2+(x−4)2+y2＝12表示的曲线上的点，
∴ P是椭圆方程为x236+y220＝1上任意一点，∴ 其焦点坐标为F1(−4, 0)，F2(4, 0)，
∴ 两圆：(x+4)2+y2=4和(x−4)2+y2=1的圆心分别为F1(−4, 0)，F2(4, 0)，
又点P为椭圆为x236+y220＝1上任意一点，
∴ |PF1|+|PF2|=12，
由图可知，|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|−3=9；
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
【答案】
解：如图建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2=−2py，
∵ 水面离拱顶2m时，水面宽4m
∴ 点(2, −2)在抛物线上，所以p=1，x2=−2y，
∵ 水面下降1m，即y=−3
而y=−3时x=±6，所以水面宽为26m．
∴ 若水面下降1m，水面的宽度为26m
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
先以拱顶为原点，建立直角坐标系，再用待定系数法求抛物线的标准方程，最后将水面下降1m，求水面的宽度问题转化为y=−3时，求2x的值，利用抛物线标准方程易得此值
【解答】
解：如图建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2=−2py，
∵ 水面离拱顶2m时，水面宽4m
∴ 点(2, −2)在抛物线上，所以p=1，x2=−2y，
∵ 水面下降1m，即y=−3
而y=−3时x=±6，所以水面宽为26m．
∴ 若水面下降1m，水面的宽度为26m
【答案】
设动点M坐标为(x, y)，则AM=(x−4)2+y2，BM=(x−1)2+y2，
又知AM=2BM，则(x−4)2+y2=2(x−1)2+y2，得x2+y2=4．
当直线l的斜率存在为k时，则直线l的方程为y=kx−2k+3，l与圆相切，
则d=|−2k+3|k2+1=2，得k=512，此时l的方程为5x−12y+26=0；
当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x=2，
综上：直线l的方程为x=2与5x−12y+26=0．
【考点】
圆的切线方程
圆的标准方程
【解析】
（1）设M(x, y)，根据动点M满足AM=2BM，列出方程，化简即可．
（2）当切线的斜率不存在时，直线方程为x=2，满足题意；
当切线的斜率存在时，则设切线方程为y=kx−2k+3，利用点到直线的距离等于半径求出斜率，得到直线方程．
【解答】
设动点M坐标为(x, y)，则AM=(x−4)2+y2，BM=(x−1)2+y2，
又知AM=2BM，则(x−4)2+y2=2(x−1)2+y2，得x2+y2=4．
当直线l的斜率存在为k时，则直线l的方程为y=kx−2k+3，l与圆相切，
则d=|−2k+3|k2+1=2，得k=512，此时l的方程为5x−12y+26=0；
当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x=2，
综上：直线l的方程为x=2与5x−12y+26=0．
【答案】
依题意，AB，AD，AA1是两两互相垂直的，以A为坐标原点，
以AB、AD、AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，A1(0, 0, 1)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)，B1(1, 0, 1)∴ BC→=(0,1,0)，B1D→=(−1,1,−1)
设直线BC与直线B1D所成的角为α，∴ csα=|BC→⋅B1D→||BC→|⋅|B1D→|=13=33
即直线BC与直线B1D所成角的余弦值为33
由（1）知B1C→=(0,1,−1)，B1D→=(−1,1,−1)，AB1→=(1,0,1)
设平面B1CD的一个法向量n→=(x,y,z)，则n→⋅B1C→=0n→⋅B1D→=0 ，∴ y−z=0−x+y−z=0
令z＝1，则x＝0，y＝1，
此时n→=(0,1,1)，
∴ d=|AB1→⋅n→||n→|=12=22，
∴ 点A到平面B1CD的距离为22．
法二：（等体积法）
设A到B1CD的距离为d，VA−B1CD=13×d×S△B1CD=13×d×(12×1×2)，VB1−ACD=13×1×12=6，
∵ VA−B1CD=VB1−ACD，∴ d=22．
【考点】
点、线、面间的距离计算
异面直线及其所成的角
【解析】
（1）依题意，AB，AD，AA1是两两互相垂直的，以A为坐标原点，以AB、AD、AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设直线BC与直线B1D所成的角为α，利用csα=|BC→⋅B1D→||BC→|⋅|B1D→|即可得出．
（2）由（1）知B1C→=(0,1,−1)，B1D→=(−1,1,−1)，AB1→=(1,0,1)设平面B1CD的一个法向量n→=(x,y,z)，利用n→⋅B1C→=0n→⋅B1D→=0 ，可得n→．利用d=|A1B→⋅n→||n→|，可得A到平面B1CD的距离．
法二：（等体积法）设A到B1CD的距离为d，利用VA−B1CD=VB1−ACD即可得出．
【解答】
依题意，AB，AD，AA1是两两互相垂直的，以A为坐标原点，
以AB、AD、AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，A1(0, 0, 1)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)，B1(1, 0, 1)∴ BC→=(0,1,0)，B1D→=(−1,1,−1)
设直线BC与直线B1D所成的角为α，∴ csα=|BC→⋅B1D→||BC→|⋅|B1D→|=13=33
即直线BC与直线B1D所成角的余弦值为33
由（1）知B1C→=(0,1,−1)，B1D→=(−1,1,−1)，AB1→=(1,0,1)
设平面B1CD的一个法向量n→=(x,y,z)，则n→⋅B1C→=0n→⋅B1D→=0 ，∴ y−z=0−x+y−z=0
令z＝1，则x＝0，y＝1，
此时n→=(0,1,1)，
∴ d=|AB1→⋅n→||n→|=12=22，
∴ 点A到平面B1CD的距离为22．
法二：（等体积法）
设A到B1CD的距离为d，VA−B1CD=13×d×S△B1CD=13×d×(12×1×2)，VB1−ACD=13×1×12=6，
∵ VA−B1CD=VB1−ACD，∴ d=22．
【答案】
选择①离心率e=12，可得e=ca=12，2b＝23，即b=a2−c2=3，
解得a＝2，c＝1，即有椭圆的方程为x24+y23=1；
选②椭圆C过点(1,32)，即有1a2+94b2=1，又2b＝23，即b=3，解得a＝2，
即有椭圆的方程为x24+y23=1；
选③△PF1F2面积的最大值为3，可得P位于短轴的端点时，取得最大值，且为12⋅2c⋅b=3，
即为bc=3，又2b＝23，即b=3，c＝1，a=b2+c2=2，
即有椭圆的方程为x24+y23=1；
证明：设直线l的方程为y＝k(x+1)，联立椭圆方程可得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12＝0，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，可得x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，
可得|PQ|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=1+k2⋅64k4(3+4k2)2−16k2−483+4k2=12(1+k2)3+4k2，
设PQ的中点为H(t, s)，可得t=x1+x22=−4k23+4k2，s=3k3+4k2，
由题意可得kHN=3k3+4k2−4k23+4k2−xN=−1k，解得xN=−k23+4k2，
可得|NF1|＝|−1+k23+4k2|=3(1+k2)3+4k2，
可得|PQ||NF1|=4，即为定值．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）可选①，由题意可得b，运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，即可得到椭圆方程；
若选②，由题意可得b，将已知点代入椭圆方程求得a，即可得到椭圆方程；
选③，可得P位于短轴的端点时，取得最大值，结合条件可得b，c的值，由a，b，c的关系可得a的值，进而得到所求方程．
（2）设直线l的方程为y＝k(x+1)，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|PQ|；由中点坐标公式可得PQ的中点H，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得N的坐标，求得|NF1|，即可得到定值．
【解答】
选择①离心率e=12，可得e=ca=12，2b＝23，即b=a2−c2=3，
解得a＝2，c＝1，即有椭圆的方程为x24+y23=1；
选②椭圆C过点(1,32)，即有1a2+94b2=1，又2b＝23，即b=3，解得a＝2，
即有椭圆的方程为x24+y23=1；
选③△PF1F2面积的最大值为3，可得P位于短轴的端点时，取得最大值，且为12⋅2c⋅b=3，
即为bc=3，又2b＝23，即b=3，c＝1，a=b2+c2=2，
即有椭圆的方程为x24+y23=1；
证明：设直线l的方程为y＝k(x+1)，联立椭圆方程可得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12＝0，
设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，可得x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，
可得|PQ|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=1+k2⋅64k4(3+4k2)2−16k2−483+4k2=12(1+k2)3+4k2，
设PQ的中点为H(t, s)，可得t=x1+x22=−4k23+4k2，s=3k3+4k2，
由题意可得kHN=3k3+4k2−4k23+4k2−xN=−1k，解得xN=−k23+4k2，
可得|NF1|＝|−1+k23+4k2|=3(1+k2)3+4k2，
可得|PQ||NF1|=4，即为定值．
【答案】
取BC的中点M，连接DM，
∵ 菱形ABCD，∠BAD=60∘，∴ ∠ADM=90∘，即AD⊥DM，
以D为原点，DA、DM、DF分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，E(1, 3, 1)，F(0, 0, 2)，
∴ DA→=(2, 0, 0)，AE→=(−1, 3, 1)，AF→=(−2, 0, 2)，
设平面AEF的法向量为m→=(x, y, z)，则m→⋅AF→＝0˙，即−x+3y+z＝0−2x+2z＝0，
令x=1，则y=0，z=1，∴ m→=(1, 0, 1)，
设直线AD和平面AEF所成角为α，
则sinα=|cs|=||DA→|⋅|m→|˙|=|22×2|=22，
∵ α∈[0,π2]，∴ α=π4，
故直线AD和平面AEF所成角的大小为π4．
由（1）知，AD⊥DM，
∵ FD⊥平面ABCD，∴ FD⊥DM，
又AD∩DF=D，AD、DF⊂平面ADF，
∴ DM⊥平面ADF，
∴ 平面ADF的一个法向量为n→=(0, 1, 0)，
∴ cs=|m→|⋅|n→|˙=0，
故平面AEF与平面ADF的夹角的大小为π2．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面所成的角
【解析】
（1）取BC的中点M，连接DM，可证AD⊥DM，于是以D为原点，DA、DM、DF分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求得平面AEF的法向量m→，设直线AD和平面AEF所成角为α，由sinα=|cs|，得解；
（2）可推出DM⊥平面ADF，故平面ADF的一个法向量为n→=(0, 1, 0)，再由cs，得解．
【解答】
取BC的中点M，连接DM，
∵ 菱形ABCD，∠BAD=60∘，∴ ∠ADM=90∘，即AD⊥DM，
以D为原点，DA、DM、DF分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，E(1, 3, 1)，F(0, 0, 2)，
∴ DA→=(2, 0, 0)，AE→=(−1, 3, 1)，AF→=(−2, 0, 2)，
设平面AEF的法向量为m→=(x, y, z)，则m→⋅AF→＝0˙，即−x+3y+z＝0−2x+2z＝0，
令x=1，则y=0，z=1，∴ m→=(1, 0, 1)，
设直线AD和平面AEF所成角为α，
则sinα=|cs|=||DA→|⋅|m→|˙|=|22×2|=22，
∵ α∈[0,π2]，∴ α=π4，
故直线AD和平面AEF所成角的大小为π4．
由（1）知，AD⊥DM，
∵ FD⊥平面ABCD，∴ FD⊥DM，
又AD∩DF=D，AD、DF⊂平面ADF，
∴ DM⊥平面ADF，
∴ 平面ADF的一个法向量为n→=(0, 1, 0)，
∴ cs=|m→|⋅|n→|˙=0，
故平面AEF与平面ADF的夹角的大小为π2．
【答案】
设M(x, y)，P(x0, y0)，则D(0, y)，y0=y，|DP|=|x0|，|DM|=|x|，
∵ |DP|=32|DM|，∴ x0=32x，
∵ P在圆x2+y2=3上运动，∴ x02+y02=3，
把x0=32x，y0=y，代入可得：3x24+y2=3，即x24+y23=1，
∵ |DP|=32|DM|，∴ |DP|≠0，∴ x≠0，
∴ 点M的轨迹C的方程为x24+y23=1(x≠0)．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则直线l与椭圆C方程联立，
消去x，化简整理得(3m2+4)y2+6my−9=0，
∴ y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
因为直线l:x=my+1(m≠0)恒过定点(1, 0)，
所以△AOB的面积S=12|y1−y2|=12(y1+y2)2−4y1y2
=1236m2(3m2+4)2+363m2+4=6m2+1(3m2+4)2=233m2+3(3m2+3)2+2(3m2+3)+1
=2313m2+3+13m2+3+2，
∵ m≠0，所以3m2+3>3，∴ 由对勾函数的性质可得3m2+3+13m2+3>103，
∴ △AOB的面积S∈(0, 32)．
又∵ 椭圆方程x24+y23=1中x≠0，
∴ 直线l不能过点(0, ±3)，即△AOB面积S≠435，
∴ △AOB面积的取值范围为(0, 435)∪(435, 32)．
【考点】
轨迹方程
【解析】
（1）设M(x, y)，P(x0, y0)，则D(0, y)，​0y=y，|DP|=|x0|，|DM|=|x|，根据已知可得x0=32x，y0=y，又P在圆x2+y2=1上，代入即可求点M的轨迹C的方程；
（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l与椭圆C方程联立，可得(3m2+4)y2+6my−9=0，由根与系数的关系，以及△AOB的面积S=12|y1−y2|，化简可得S=2313m2+3+13m2+3+2，由对勾函数的性质即可求得△AOB面积的取值范围．
【解答】
设M(x, y)，P(x0, y0)，则D(0, y)，y0=y，|DP|=|x0|，|DM|=|x|，
∵ |DP|=32|DM|，∴ x0=32x，
∵ P在圆x2+y2=3上运动，∴ x02+y02=3，
把x0=32x，y0=y，代入可得：3x24+y2=3，即x24+y23=1，
∵ |DP|=32|DM|，∴ |DP|≠0，∴ x≠0，
∴ 点M的轨迹C的方程为x24+y23=1(x≠0)．
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则直线l与椭圆C方程联立，
消去x，化简整理得(3m2+4)y2+6my−9=0，
∴ y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
因为直线l:x=my+1(m≠0)恒过定点(1, 0)，
所以△AOB的面积S=12|y1−y2|=12(y1+y2)2−4y1y2
=1236m2(3m2+4)2+363m2+4=6m2+1(3m2+4)2=233m2+3(3m2+3)2+2(3m2+3)+1
=2313m2+3+13m2+3+2，
∵ m≠0，所以3m2+3>3，∴ 由对勾函数的性质可得3m2+3+13m2+3>103，
∴ △AOB的面积S∈(0, 32)．
又∵ 椭圆方程x24+y23=1中x≠0，
∴ 直线l不能过点(0, ±3)，即△AOB面积S≠435，
∴ △AOB面积的取值范围为(0, 435)∪(435, 32)．