2020-2021学年河南省高二（上）9月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省高二（上）9月月考数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，B=60∘，则角A为( )
A.135∘B.135∘或45∘C.45∘D.30∘

2. 在△ABC中，若A=π6，a=3，则a+b+csinA+sinB+sinC=( )
A.3B.23C.33D.43

3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=7，csB=−12，则c=( )
A.4B.5C.8D.10

4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，3sinAcsC+(3sinC+b)csA=0，则角A=( )
A.2π3B.π3C.π6D.5π6

5. 在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=3，B=π3，则角A=( )
A. π6 B. π3 C. π4 D. π2

6. 已知等差数列{an}的前n项和Sn，满足S12>0，S13<0，且{Sn}的最大项为Sm，am+1=−2，则−S13=( )
A.20B.22C.24D.26

7. 在等差数列{an}中，S10=120，则a2+a9=( )
A.12B.24C.36D.48

8. 首项为−21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A.d>3B.d<72C.3≤d<72D.3
9. 在等差数列an中，a2，a9是方程x2−10x+16=0的两个根，则数列an的前10项之和等于（ ）
A.100B.80C.50D.40

10. 正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3+a7−a52+15=0，则S9 等于( )
A.35B.36C.45D.54

11. 等差数列中，若a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=420，则a2+a10=( )
A.100B.120C.140D.160

12. 已知等差数列an中，a1=8，d=−1，则使得Sn最大的n值为( )
A.7B.9C.7或9D.8或9
二、填空题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csAa+csBb=sinCc，b2+c2−a2=65bc，则tanB=________．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sinA：sinB=1：3，若c=2csC=3，则△ABC的周长为________．

等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn=2n3n+1，则a5b5=________．

若数列{an}的前n项和Sn=2n2−3n+2，则它的通项公式an是________．
三、解答题

已知数列an为等差数列，且a2=3,a5=9.

(1)求an的通项公式；

(2)求an的前n项和 Sn.

在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足3a−2bsinA=0．
(1)求角B的大小；

(2)若a+c=5，且a>c，b=7，求边a，c的长.

如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=7.

1求cs∠CAD的值；

2若cs∠BAD=−714，sin∠CBA=216，求BC的长．

在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=35，tan(A−B)=−12．
(1)求tanB的值；

(2)若b=5，求c．

在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n．设bn=an2n−1．
(1)证明：数列bn是等差数列；

(2)求数列an的通项公式．

已知等差数列{an}中，公差d>0，其前n项和为Sn，且满足a2⋅a3=45，a1+a4=14.
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求f(n)=n4(an−17)(n∈N∗)的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省高二（上）9月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
由题设条件，可由正弦定理建立方程求出角A的三角函数值，再由三角函数值求出角，选出正确选项
【解答】
解：∵ △ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，a=2，b=3，B=60∘，
∴ asinA=bsinB，即2sinA=3sin60∘，
∴ sinA=22，
又a=2∴ A=45∘.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理可求得a=23sinA，b=23sinB，c=23sinC，代入所求式子可整理得到结果．
【解答】
解：由正弦定理可知：
asinA=bsinB=csinC=3sinπ6=23，
∴ a=23sinA，b=23sinB，c=23sinC，
∴ a+b+csinA+sinB+sinC
=23sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC
=23.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a=3，b=7，csB=−12，
sinB=1−cs2B=32，
∴ 由余弦定理可得：−12=32+c2−722×3×c，
整理可得：c2+3c−40=0，
∴ 解得：c=5或c=−8（舍去）.
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
【解析】
由题可得：3sinAcsC+3sinC⋅csA+b⋅csA=0．
3sin(A+C)+b−csA=0．
∵a=1．
∴3⋅a⋅sinB+b⋅csA=0．
∴3⋅sinA⋅sinB+b⋅csA=0．
∴3⋅sinA+csA=0．
∴2sinA+π6=0．
∴A+π6=π．
A=56π．
故选D．
【解答】
解：由题可得：3sinAcsC+3sinC⋅csA+b⋅csA=0，
3sin(A+C)+b⋅csA=0.
∵a=1，
∴3⋅a⋅sinB+b⋅csA=0，
∴3⋅sinA⋅sinB+sinB⋅csA=0，
∴3⋅sinA+csA=0，
∴2sinA+π6=0，
∴A+π6=π，
则A=56π．
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理列出关系式，将a，sinB，b的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数.
【解答】
解：在三角形ABC中，a=1，b=3，B=π3，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB得:sinA=asinBb=12.
∵ a∴ A∴ A=π6.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列与一次函数的关系
等差中项
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ S12=6(a6+a7)>0，S13=13a7<0，
∴ a7<0，a6>0，
∵ {Sn}的最大项为Sm，
∴ m=6，am+1=a7=−2，
∴ S13=a1+a2+⋯+a12+a13=6(a1+a13)+a7
=13a7=−26.
∴ −S13=26.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的前n项和公式化简已知的等式，得到2a1+9d的值，然后利用等差数列的通项公式化简所求的式子，将2a1+9d的值代入即可求出值．
【解答】
解：∵ S10=10a1+45d=120，
即2a1+9d=24，
∴ a2+a9=(a1+d)+(a1+8d)=2a1+9d=24．
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
（1）根据题目所给信息进行求解即可.
【解答】
解：已知首项为−21的等差数列从第8项起开始为正数，
则a8=a1+7d=−21+7d>0 ，a7=a1+6d=−21+6d≤0，
解得3故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a2,a9是方程x2−10x+16=0的两个根，
∴ a2+a9=10，
∴ S10=a1+a102×10
=a2+a92×10
=5×10=50.
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的性质化简已知的等式，得到a5的值，然后利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质把所求的式子化简后，把a5的值代入即可求出值．
【解答】
解：由a3+a7−a52+15=0，
可得a52−2a5−15=0，
因为{an}为正项数列，可解得a5=5，
则S9=9(a1+a9)2=9a5=45．
故选C.
11.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由等差数列的性质和已知可得a6=60，而a2+a10=2a6，代入计算可得．
【解答】
解：由等差数列的性质可得a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9
=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6
=2a6+2a6+2a6+a6=7a6=420，
解得a6=60，
故a2+a10=2a6=120.
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式得a8>0，a9=0，a10<0，可得解.
【解答】
解：an=a1+n−1d=8+n−1×−1=9−n，
可得a8>0，a9=0，a10<0，
则Sn最大时n=8或9.
故选D.
二、填空题
【答案】
4
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ b2+c2−a2=65bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=65bc2bc=35，
∴ sinA=45，则csAsinA=34，
∵ csAa+csBb=sinCc，由正弦定理得：
csAsinA+csBsinB=sinCsinC=1，
∴ csBsinB=14，
∴ tanB=sinBcsB=4.
故答案为：4.
【答案】
3+23
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
根据题意，由正弦定理可得a:b=1:3，设a=t，则b=3t，分析可得csC的值，由余弦定理可得：c2=a2+b2−2abcsC=4t2−3t2=3，解可得t的值，即可得a、b的值，将a、b、c的值相加即可得答案．
【解答】
解：根据题意，△ABC中，sinA：sinB=1：3，
则有a:b=1:3，
设a=t，则b=3t，
又由c=2csC=3，则c=3，且csC=32；
由余弦定理可得：c2=a2+b2−2abcsC=4t2−3t2=3，
解得：t=3，
则a=3，b=3，
则△ABC的周长l=a+b+c=3+23.
故答案为：3+23.
【答案】
914
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
用等差中项凑前n项和公式把条件变为由SnTn=2n3n+1=n(a1+an)2n(b1+bn)2=a1+anb1+bn，而a5b5=92(a1+a9)92(b1+b9)=a1+a9b1+b9
即当n=9时，求出即可．
【解答】
解：由SnTn=2n3n+1=n(a1+an)2n(b1+bn)2=a1+anb1+bn，
而a5b5=12(a1+a9)12(b1+b9)=a1+a9b1+b9，
即a5b5=S9T9=2×93×9+1=1828=914.
故答案为：914.
【答案】
an=1，n=1，4n−5，n≥2.
【考点】
数列递推式
【解析】
利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn−Sn−1”即可得出．
【解答】
解：当n=1时，
a1=S1=2−3+2=1．
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=2n2−3n+2−[2(n−1)2−3(n−1)+2]=4n−5．
∴ an=1，n=1，4n−5，n≥2.
故答案为：an=1，n=1，4n−5，n≥2.
三、解答题
【答案】
解：(1)数列an 为等差数列，且a2=3, a5=9，
∴d=a5−a23=9−33=2，a1=a2−d=3−2=1,
∴an=1+2n−1=2n−1.
(2)∵a1=1, d=2，
∴Sn=n+2⋅nn−12=n2.
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)数列an 为等差数列，且a2=3, a5=9，
∴d=a5−a23=9−33=2，a1=a2−d=3−2=1,
∴an=1+2n−1=2n−1.
(2)∵a1=1, d=2，
∴Sn=n+2⋅nn−12=n2.
【答案】
解：(1)∵ 3a−2bsinA=0，
∴ 3sinA−2sinBsinA=0，
∵ sinA≠0，∴ sinB=32，
又B为锐角，则B=π3.
(2)由(1)可知B=π3，又b=7，
根据余弦定理，得b2=7=a2+c2−2accsπ3，
整理得：(a+c)2−3ac=7，
∵ a+c=5，∴ ac=6，
又a>c，可得a=3，c=2.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由b及csB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出csA的值，然后将所求的式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将b，c及csA的值代入即可求出值．
【解答】
解：(1)∵ 3a−2bsinA=0，
∴ 3sinA−2sinBsinA=0，
∵ sinA≠0，∴ sinB=32，
又B为锐角，则B=π3.
(2)由(1)可知B=π3，又b=7，
根据余弦定理，得b2=7=a2+c2−2accsπ3，
整理得：(a+c)2−3ac=7，
∵ a+c=5，∴ ac=6，
又a>c，可得a=3，c=2.
【答案】
解：(1)在△ACD中，由余弦定理，
得cs∠CAD=AC2+AD2−CD22⋅AD⋅AC=7+1−42×1×7=277.
2∵ cs∠BAD=−714，
∴ sin∠BAD=1−7196=32114.
∵ cs∠CAD=277，
∴ sin∠CAD=1−47=217，
∴ sin∠BAC=sin(∠BAD−∠CAD)
=sin∠BADcs∠CAD−cs∠BADsin∠CAD
=32114×277+714×217=32，
由正弦定理可知，BCsin∠BAC=ACsin∠CBA，
∴ BC=ACsin∠CBA⋅sin∠BAC
=7216×32=3.
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
（1）利用余弦定理，利用已知条件求得cs∠CAD的值．
（2）根据cs∠CAD，cs∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．
【解答】
解：(1)在△ACD中，由余弦定理，
得cs∠CAD=AC2+AD2−CD22⋅AD⋅AC=7+1−42×1×7=277.
2∵ cs∠BAD=−714，
∴ sin∠BAD=1−7196=32114.
∵ cs∠CAD=277，
∴ sin∠CAD=1−47=217，
∴ sin∠BAC=sin(∠BAD−∠CAD)
=sin∠BADcs∠CAD−cs∠BADsin∠CAD
=32114×277+714×217=32，
由正弦定理可知，BCsin∠BAC=ACsin∠CBA，
∴ BC=ACsin∠CBA⋅sin∠BAC
=7216×32=3.
【答案】
解：(1)锐角三角形ABC中，sinA=35，
∴ csA=45，tanA=34；
又tan(A−B)=tanA−tanB1+tanA⋅tanB=34−tanB1+34tanB=−12，
∴ 解得tanB=2.
(2)∵ tanB=2，∴ sinBcsB=2，sinB=2csB；
∴ sin2B+cs2B=4cs2B+cs2B=5cs2B=1，
∴ csB=55，sinB=255；
∴ sinC=sin[π−(A+B)]
=sin(A+B)
=sinAcsB+csAsinB
=35×55+45×255
=11525；
又b=5，且bsinB=csinC，
∴ c=b⋅sinCsinB=5×11525255=112．
【考点】
两角和与差的三角函数
两角和与差的正弦公式
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）根据同角的三角函数关系求出tanA，再利用两角差的正切公式，即可求出tanB；
（2）求出sinB与csB，计算sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．
【解答】
解：(1)锐角三角形ABC中，sinA=35，
∴ csA=45，tanA=34；
又tan(A−B)=tanA−tanB1+tanA⋅tanB=34−tanB1+34tanB=−12，
∴ 解得tanB=2.
(2)∵ tanB=2，∴ sinBcsB=2，sinB=2csB；
∴ sin2B+cs2B=4cs2B+cs2B=5cs2B=1，
∴ csB=55，sinB=255；
∴ sinC=sin[π−(A+B)]
=sin(A+B)
=sinAcsB+csAsinB
=35×55+45×255
=11525；
又b=5，且bsinB=csinC，
∴ c=b⋅sinCsinB=5×11525255=112．
【答案】
(1)证明：∵ bn=an2n−1，
∴ bn+1=an+12n，
∴ bn+1−bn=an+12n−an2n−1=an+1−2an2n.
∵an+1=2an+2n，
∴ an+1−2an=2n，
∴ bn+1−bn=2n2n=1，
∴ bn是等差数列，首项为b1=a11=1，公差为1.
(2)解：由(1)可知bn=1+n−1⋅1=n，即an2n−1=n，
∴ an=n⋅2n−1(n∈N∗).
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ bn=an2n−1，
∴ bn+1=an+12n，
∴ bn+1−bn=an+12n−an2n−1=an+1−2an2n.
∵an+1=2an+2n，
∴ an+1−2an=2n，
∴ bn+1−bn=2n2n=1，
∴ bn是等差数列，首项为b1=a11=1，公差为1.
(2)解：由(1)可知bn=1+n−1⋅1=n，即an2n−1=n，
∴ an=n⋅2n−1(n∈N∗).
【答案】
解：(1)∵ 等差数列{an}中，公差d>0，
∴ a2⋅a3=45，a1+a4=a2+a3=14，
解得a2=5，a3=9，
∴d=4，a1=5−4=1，
∴an=1+4(n−1)=4n−3.
(2)∵ an=4n−3，
∴ f(n)=14n(4n−3−17)=n2−5n=(n−52)2−254，
∴ 当n=2或3时，f(n)取到最小值−6．
【考点】
等差数列的通项公式
数列的函数特性
【解析】
（1）由等差数列的性质，结合a2⋅a3=45，a1+a4=14求解a2，a3的值，则公差d可求，由an=a2+(n−2)d得通项公式；
（2）把an代入f(n)=n4(an−17)(n∈N∗)，利用配方法求函数的最小值．
【解答】
解：(1)∵ 等差数列{an}中，公差d>0，
∴ a2⋅a3=45，a1+a4=a2+a3=14，
解得a2=5，a3=9，
∴d=4，a1=5−4=1，
∴an=1+4(n−1)=4n−3.
(2)∵ an=4n−3，
∴ f(n)=14n(4n−3−17)=n2−5n=(n−52)2−254，
∴ 当n=2或3时，f(n)取到最小值−6．