2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）期中数学试卷（理科）人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线x2=−4y的焦点坐标为( )
A.(−16, 0)B.(0,−116)C.(0, −1)D.(−1, 0)

2. 空间直角坐标系中，点B(2, 1, 6)关于xOz平面的对称点为C，则A(−3, 4, 0)与C的距离为（ ）
A.243B.221C.86D.9

3. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得128粒内夹谷14粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A.133石B.168石C.337石D.1364石

4. 用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1∼160编号，若第1组抽出的号码为6，则第6组中抽取的号码是（ ）
A.66B.56C.46D.126

5. 有两组数据如图：其中甲组数据的平均数是88，乙组数据的中位数是89，则m+n的值是（ ）

A.13B.12C.11D.10

6. 经过点P(0, −1)作直线l，若直线l与连接A(1, −2)，B(2, 1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.[0,π4]∪[34π,π)B.[0,π4]C.[34π,π)D.[0,π4]∪[34π,π]

7. 已知直线l1：(3+m)x+4y＝5−3m，l2:2x+(5+m)y＝8平行，则实数m的值为（ ）
A.−7B.−1C.−1或−7D.133

8. 已知方程x2m2+n+y2n−3m2=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A.(0, 3)B.(0, 3)C.(−1, 3)D.(−1, 3)

9. 如果直线y=−33x+m曲线y=1−x2有两个不同的公共点，那么实数m的取值范围是（ ）
A.[1, 233 )B.[33, 233 )C.(−33, 233]D.(−233, 233 )

10. 斜率为12的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则|AF|+|BF||AF|⋅|BF|的值为（ ）
A.12B.1C.2D.4

11. 若圆M:x2+y2+ax+by−ab−6＝0，(a>0, b>0)平分圆N:x2+y2−4x−2y+4＝0的周长，则2a+b的最小值为（ ）
A.8B.9C.16D.20

12. 设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点P．若P到直线BC的距离小于a+c，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.(1, 2)B.(−∞, 2)C.(1, 2]D.(1, 3)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

已知一组数据4.7，4.8，5.2，5.3，5.5，则该组数据的方差是________．

一抛物线型拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为________．

已知点A(−2, −2)，B(4, −2)，点P在圆x2+y2＝4上运动，则|PA|2+|PB|2的最小值是________．

已知方程：x2+y2−(4m+2)x−2my−m＝0，(m∈R)．
①该方程表示圆，且圆心在直线x−2y−1＝0上；
②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；
③当m＝−1时，该方程表示的曲线关于直线l:x−y+1＝0的对称曲线为C，则曲线C上的点到直线l的最大距离为2+22；
④若m≥1，过点(−1, 0)作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在的直线方程为4x+y−2＝0．
以上四个命题中，是正确的有________.（填序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

某市有100万居民，政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0, 0.5),[0.5, 1),…,[4, 4.5]分成9组，制成了如图的频率分布直方图：

（1）求直方图中a的值；

（2）估计居民月均用水量的众数、中位数（精确到0.01）．

已知ΔABC的顶点A(5, 1)，直线BC的方程为6x−5y−9＝0，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5＝0．
（1）求顶点C的坐标；

（2）求AC边上的高所在直线方程．

已知圆C1过点A(0, 6)，且与圆C2:x2+y2+10x+10y＝0相切于原点，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4＝0．
（1）求圆C1的方程；

（2）求直线l经过的定点P的坐标及直线l被圆C1所截得的弦长的最小值．

已知点P(x, y)(x≥0)到点(12, 0)的距离比到y轴的距离大12，其轨迹为曲线C，过点(2, 0)的直线l交C于A，B两点．
（1）求曲线C的方程；

（2）证明：以线段AB为直径的圆过原点O．

在圆x2+y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹为曲线C，直线l过点E(−1, 0)且与曲线C交于A，B两点．
（1）求M的轨迹方程；

（2）求△AOB面积的最大值．

已知椭圆C中心为原点，离心率12，焦点F(1, 0)，斜率为k的直线l与C交于A，B两点．
（1）若线段AB的中点为M(1, m)，P为C上一点，且|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，求P的坐标；

（2）若l过点(0, n)(00，可得：(n+1)(n−3)0，
因为∠OQA＝∠OQB，所以QA与QB倾斜角互补，即kQA+kQB＝0，
所以y0−y1−x1+y0−y2−x2=0，
所以x2(y0−y1)+x1(y0−y2)＝0，
所以y0(x1+x2)−x2y1−x1y2＝0，
所以y0(x1+x2)−x2(kx1+n)−x1(kx2+n)＝0，
所以(y0−n)(x1+x2)−2kx1x2＝0，
所以(y0−n)(−8kn)−2k(4n2−12)＝0，
所以k(24−8ny0)＝0，
所以y0=3n，
故存在这样的点，且Q(0, 3n)．