2022版新高考数学一轮总复习课后集训：14+对数与对数函数+Word版含解析

课后限时集训(十四)　对数与对数函数

建议用时：40分钟

一、选择题

1．(多选)已知ab＞0，给出下面四个等式，其中不正确的有(　　)

A．lg(ab)＝lg a＋lg b B．lg＝lg a－lg b

C．lg2＝lg D．lg(ab)＝

ABD　[当a＜0，b＜0时，lg(ab)＝lg(－a)＋lg(－b)，lg＝lg(－a)－lg(－b)，故A，B错；当ab＞0时，＞0，lg2＝lg，故C正确；当ab＝1时，logab10无意义，故D错误．]

2．(2020·张家界模拟)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝loga(x＋2)(a＞0，且a≠1)的图象可能为(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

A　[由a＞0知，函数f(x)＝2－ax为减函数，则排除C.

当0＜a＜1时，函数f(x)的零点x＝＞2，则排除D.

当a＞1时，函数f(x)的零点x＝＜2，且x＝＞0，则排除B.故选A.]

3．(2020·海口模拟)《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1 000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1 000个不同汉字任意排列，大约有4.02×102 567种方法，设这个数为N，则lg N的整数部分为

(　　)

A．2 566 B．2 567 

C．2 568 D．2 569

B　[由题可知，lg N＝lg(4.02×102 567)＝2 567＋lg 4.02.

因为1＜4.02＜10，所以0＜lg 4.02＜1，

所以lg N的整数部分为2 567.故选B.]

4．(2020·运城模拟)若log2x＝log3y＝log5z＜－2，则(　　)

A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2x

C．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3y

B　[设k＝log2x＝log3y＝log5z＜－2，

则x＝2k，y＝3k，z＝5k，

∴2x＝2k＋1,3y＝3k＋1,5z＝5k＋1，

由k＜－2知k＋1＜－1，即函数y＝xk＋1在(0，＋∞)上是减函数，

∴5k＋1＜3k＋1＜2k＋1，即5z＜3y＜2x，故选B.]

5．已知函数f(x)＝loga(6－ax)在区间[2,3]上单调递减，则a的取值范围是

(　　)

A．(1,2) B．(1,2] 

C．(1,3) D．(1,3]

A　[由a＞0知，函数y＝6－ax为减函数，要使f(x)＝loga(6－ax)在[2,3]上为减函数，则a＞1，且6－ax＞0在x∈[2,3]上恒成立，

则有解得1＜a＜2，故选A.]

6．已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则下列说法正确的是(　　)

①f(x)在(2,6)上单调递增；

②f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2；

③f(x)在(2,6)上单调递减；

④y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称．

A．①② B．②③ 

C．③④ D．②④

D　[f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令t＝(x－2)(6－x)，则f(x)＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2,6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选D.]

二、填空题

7．计算：log10＋log50.25－log32＝________.

　[log 10＋log50.25－log32＝2log510＋log50.25－3－log32＝log5100＋log50.25－3log3

＝log525－＝2－＝.]

8．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝________.

log2x　[由题意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．

∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.]

9．已知a＞0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________.

x　[设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α＝，故幂函数为f(x)＝x.]

三、解答题

10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

[解]　(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，

∴a＝2.

由得－1＜x＜3，

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

11．设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9.

(1)求f(3)的值；

(2)求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值．

[解]　(1)∵函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9，

故f(3)＝log327·log39＝3×2＝6.

(2)令t＝log3x，则－2≤t≤2，且f(x)＝(log3x＋2)(1＋log3x)＝t2＋3t＋2，

令g(t)＝t2＋3t＋2＝2－，

故当t＝－时，函数g(t)取得最小值为－，此时求得x＝3＝；

当t＝2时，函数g(t)取得最大值为12，此时求得x＝9.

1．(多选)(2020·山东夏津一中月考)已知函数f(x)＝－log2x，下列说法正确的是(　　)

A．函数f(|x|)为偶函数

B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1

C．函数f(－x2＋2x)在(1,3)上单调递增

D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|＜|f(1－a)|

ABD　[对于A，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函数，故A正确；

对于B，若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，－log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，得ab＝1，故B正确；

对于C，函数f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，所以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，故C错误；

对于D，因为0＜a＜1，所以1＋a＞1＞1－a＞0,0＜1－a2＜1，所以f(1＋a)＜0＜f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝|－log2(1＋a)|－|－log2(1－a)|＝log2(1＋a)＋log2(1－a)＝log2(1－a2)＜0，故D正确．故选ABD.]

2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)

A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0

C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0

A　[由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－x<2y－y.设f(x)＝2x－x，则f(x)<f(y)．因为函数y＝2x在R上单调递增，y＝－x在R上单调递增，所以f(x)＝2x－x在R上单调递增，则由f(x)<f(y)，得x<y，所以y－x>0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0，故选A.]

3．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0，且a≠1.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；

(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．

[解]　(1)因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，

所以解得－1＜x＜1.

故所求函数的定义域为{x|－1＜x＜1}．

(2)f(x)为奇函数．

证明如下：由(1)知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．故f(x)为奇函数．

(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域{x|－1＜x＜1}上是增函数，由f(x)＞0，得＞1，解得0＜x＜1.所以x的取值范围是(0,1)．

1.(2020·九江模拟)如图所示，正方形ABCD的四个顶点在函数y1＝logax，y2＝2logax，y3＝logax＋3(a＞1)的图象上，则a＝________.

2　[设B(x1,2logax1)，C(x1，logax1＋3)，A(x2，logax2)，D(x2,2logax2)，

则logax2＝2logax1，∴x2＝x，又2logax2＝logax1＋3,2logax＝logax1＋3，即x1＝a，x2＝a2，∵ABCD为正方形，∴|AB|＝|BC|.

可得a2－a＝2，解得a＝2或a＝－1(舍去)．]

2．若函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)＞0，求实数a的取值范围．

[解]　当0＜a＜1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga＞0，

即0＜－a＜1.

又2×－a＞0，

解得＜a＜，且a＜1，

故＜a＜1；

当a＞1时，函数f(x)在区间上是增函数，

所以loga(1－a)＞0，

即1－a＞1，且2×－a＞0，

解得a＜0，且a＜1，此时无解．

综上所述，实数a的取值范围是.