2020-2021学年山东省聊城市高二（上）12月月考数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年山东省聊城市高二（上）12月月考数学试卷人教A版（2019），共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在椭圆C：x25+y23=1中，以点P1,−1为中点的弦所在的直线方程为( )
A.3x+5y+2=0B.5x+3y−2=0C.5x−3y−8=0D.3x−5y−8=0

2. 双曲线x24−y25=1的渐近线方程是( )
A.y=±52xB.y=±255xC.y=±45xD.y=±54x

3. 已知双曲线x2a2−y24=1的一条渐近线方程为y=33x，则该双曲线的实轴长为( )
A.2B.23C.4D.43

4. 设F1，F2分别是双曲线x2−y24=1的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|=( )
A.1B.3C.3或7D.1或9

5. 若双曲线C：y2a2−x2b2=1a>0,b>0与双曲线D：x24−y26=1有相同的渐近线，且C经过点2,6，则C的实轴长为（ ）
A.4B.230C.12D.45

6. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若S3=4，S6=6，则S9的值是( )
A.1B.2C.6D.8

7. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S4=−4,S6=6，则S5=（ ）
A.0B.1C.−2D.4

8. 在等差数列{an}中，若a1+a2+a3=32，a11+a12+a13=118，则a4+a10=( )
A.45B.50C.60D.65
二、多选题

关于双曲线C1：x29−y216=1与双曲线C2：y29−x216=−1，下列说法正确的是( )
A.它们有相同的渐近线B.它们有相同的顶点
C.它们的离心率不相等D.它们的焦距相等

已知双曲线C：x22−y214=1，则( )
A.C的焦点在y轴上
B.C的渐近线方程为y=±7x
C.C的焦距为8
D.C上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为22

已知双曲线C过点3,2且渐近线方程为y=33x，则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为x23−y2=1
B.双曲线C的离心率为3
C.曲线y=ex−2−1经过双曲线C的一个焦点
D.焦点到渐近线的距离为1

设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S7S10，则下列结论正确的是( )
A.dS7D.S8，S9均为Sn的最大值
三、填空题

若双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2−6y+m=0相切，则m= .
四、解答题

已知等差数列an中满足a2=0，a6+a8=−10．
(1)求a1和公差d；

(2)求数列an的前10项的和．

Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a7=1，S4=−32．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求Sn，并求Sn的最小值．

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点为F1(−2, 0)，F2(2, 0)且过点(−2, 3)，椭圆上一点P到两焦点F1，F2的距离之差为2．
(1)求椭圆的标准方程；

(2)求△PF1F2的面积．

求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，a=2，离心率为32；

(2)焦点的坐标为(5, 0)，(−5, 0)，渐近线方程为y=±43x.

已知抛物线C:y2=2pxp>0，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；

(2)求以点M3,2为中点的弦所在直线方程．

已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3=−5,S4=−24.
(1)求数列an的通项公式；

(2)求数列|an|的前20项和T20.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省聊城市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
可采用“点差法”，即先设弦的两端点为Ax1,y1，，Bx2,y2，分别代入椭圆方程后作差，可求出直线的斜率，再结合过点M，写出点斜式方程．
【解答】
解：设弦的两个端点分别为Ax1,y1，Bx2,y2，
则x125+y123=1，x225+y223=1，
两式相减得：
x1+x2x1−x25+y1+y2y1−y23=0，
∴ y1−y2x1−x2=−35⋅x1+x2y2+y2.
又∵ P1,−1为AB的中点，
∴ x1+x2=2，y1+y2=−2，
∴ y1−y2x1−x2=35，
即kAB=35，
∴ AB所在的直线方程为y+1=35x−1，
即3x−5y−8=0.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．
【解答】
解：在双曲线x24−y25=1中a=2，b=5,
可得渐近线方程为y=±52x．
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
无
【解答】
解：由题意可得ba=33,b2=4,
解得a=23，
则该双曲线的实轴长为2a=43．
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
双曲线的定义
【解析】
直接利用双曲线的定义转化求解即可．
【解答】
解：双曲线x2 − y24 = 1，可得a=1，
F1，F2分别是双曲线x2 − y24 = 1的左、右焦点，
点P在双曲线上，且PF1=5，
当P在双曲线的左支时，则PF2=2a+PF1=2+5=7，
当P在双曲线的右支时，则PF2=−2a+PF1=−2+5=3，
综上PF2=3或7．
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
【解析】
无
【解答】
解：依题意可设C的方程为x24−y26=λ，
将2,6代入，得224−626=λ=−5，
则C的方程为x24−y26=−5，即y230−x220=1，
则C的实轴长为2a=230．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
本题考查等差数列的概念以及等差数列的前n项和的性质，属基础题．利用等差数列的前n项和Sn性质：
当n∈N∗时，Sn，S2n−Sn，S3n−S2n，也成等差数列即可求解．
【解答】
解：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以S3，S6−S3，S9−S6也成等差数列．
因为S3=4，S6=6，
所以4，2，S9−6成等差数列，
所以S9−6=0，即S9=6．
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
根据等差数列的前π项和公式求出a1和d，进而可求出S5
【解答】
解：由题可知， S4=−4, S6=6，
则S4=4a1+6d=−4，S6=6a1+15d=6，
解得： a1=−4，d=2，
所以S5=5a1+10d=5×−4+10×2=0.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
等差中项
【解析】
根据等差数列的性质，结合已知，可得a2+a12=50，进而得到a4+a10的值．
【解答】
解：∵ a1+a2+a3=3a2=32，a11+a12+a13=3a12=118，
∴ 3(a2+a12)=150，
即a2+a12=50，
∴ a4+a10=a2+a12=50．
故选B．
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
求解两个双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率，焦距判断选项即可．
【解答】
解：双曲线C1：x29−y216=1的顶点坐标为(±3,0)，
渐近线方程为4x±3y=0，离心率e=53，焦距2c=10．
双曲线C2：y29−x216=−1，即x216−y29=1，
它的顶点坐标为±4,0，渐近线方程为3x±4y=0，
离心率e=54，焦距2c=10，
所以它们的顶点坐标不相同，渐近线方程不相同，故AB错误；
它们的离心率不相等，它们的焦距相等，故CD正确.
故选CD.
【答案】
B,C,D
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
双曲线的定义
【解析】
解：易知C的焦点在x轴上，所以A错误．
因为a2=2,b2=14，渐近线方程为：
y=±bax=±7x，所以B正确，
因为a=2，b=14，所以c=2+14=4，所以C正确，
因为a=2，所以D正确，
所以BCD正确．
【解答】
解：由双曲线的方程易知C的焦点在x轴上，所以A错误;
因为a2=2,b2=14，
渐近线方程为：y=±bax=±7x，所以B正确;
因为a=2,b=14，所以C正确;
c=2+14=4，所以D正确.
故选BCD.
【答案】
A,C,D
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
双曲线的准线方程
【解析】

【解答】
解：设双曲线方程为Ax2+By2=1，
将(3,2)代入得9A+2B=1，
由双曲线的渐近线方程为y=±−ABx，
则−AB=33⇒AB=−13，
由9A+2B=1，AB=−13， 解得A=13,B=−1，
则双曲线的方程为x23−y2=1，
即a=3，b=1，c=2．故A选项正确．
双曲线的离心率为ca=23=233，故B选项错误．
双曲线的焦点坐标为(±2，0) ，其中(2，0)满足y=ex−2−1，故C选项正确．
双曲线一个焦点为(2，0)，
则渐近线方程y=33x，
即3x−3y=0，
焦点到渐近线的距离为233+9=1，故D选项正确．
故选ACD．
【答案】
A,B,D
【考点】
数列与不等式的综合
等差数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设等差数列{an}的公差为d，
∵ S7S10，
∴ S8−S7=a8>0，S10−S9=a100>a10，
∴ a10−a8=2dS11，
故选项C错误；
∵ d0>a10，a9=0，
∴ S8与S9均为Sn的最大值，
故选项D正确.
故选ABD.
三、填空题
【答案】
6
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
圆的标准方程
【解析】
根据双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为3，可得c=3a，从而求出双曲线的一条渐近线y=2x，再根据渐近线与圆x2+y2−6y+m=0相切，即可求出.
【解答】
解：∵双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为3，
∴ c=3a，
∵b2=c2−a2，
∴ b=2a，
取双曲线的一条渐近线y=2x，
∵双曲线的x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线与圆x2+y2−6y+m=0相切，
∴ 圆心0,3到渐近线的距离d=r，
∴ −32+1=9−m，
∴ m=6.
故答案为：6.
四、解答题
【答案】
解：(1)由已知得a2=a1+d=0，a6+a8=2a1+12d=−10，
解方程组可得a1=1，d=−1.
(2)由等差数列前n项和公式可得，
S10=10×1+10×(10−1)2×(−1)=−35，
∴ 数列{an} 的前10项的和为−35.
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
1根据题意列出a2=a1+d=0，a6+a8=2a1+12d=−10，然后求出首项和公差；
2根据等差数列的求和公式即可求解.
【解答】
解：(1)由已知得a2=a1+d=0，a6+a8=2a1+12d=−10，
解方程组可得a1=1，d=−1.
(2)由等差数列前n项和公式可得，
S10=10×1+10×(10−1)2×(−1)=−35，
∴ 数列{an} 的前10项的和为−35.
【答案】
解：(1)∵ Sn为等差数列{an}的前n项和，
且a7=1，S4=−32．
∴ a1+6d=1，4a1+4×32d=−32，
解得a1=−11，d=2，
∴ 数列{an}的通项公式
an=−11+(n−1)×2=2n−13.
(2)∵ Sn=−11n+n(n−1)2×2
=n2−12n=(n−6)2−36，
∴ 当n=6时，Sn有最小值−36．
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
(1)由等差数列{an}的通项公式和前n项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式；
(2)求出Sn=n2−12n=(n−6)2−36，从而n=6时，Sn的最小值为−36．
【解答】
解：(1)∵ Sn为等差数列{an}的前n项和，
且a7=1，S4=−32．
∴ a1+6d=1，4a1+4×32d=−32，
解得a1=−11，d=2，
∴ 数列{an}的通项公式
an=−11+(n−1)×2=2n−13.
(2)∵ Sn=−11n+n(n−1)2×2
=n2−12n=(n−6)2−36，
∴ 当n=6时，Sn有最小值−36．
【答案】
解：(1)根据题意，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点为F1(−2, 0)，F2(2, 0)，
则椭圆的焦点在x轴上，且c=2，
又椭圆经过点(−2, 3)，
∴ 2a=[(−2)−(−2)]2+(3−0)2+[2−(−2)]2+(0−3)2
=3+5=8，
∴ a=4，
∴ b2=a2−c2=16−4=12，
∴ 椭圆的标准方程为x216+y212=1.
(2)由(1)可知，椭圆的标准方程为x216+y212=1，
∴ |PF1|+|PF2|=2a=8.
∵ 椭圆上一点P到两焦点F1，F2的距离之差为2，
设|PF1|>|PF2，则有|PF1|−|PF2|=2，
解得|PF1|=5，|PF2|=3，
又|F1F2|=2c=4，
∴ |F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2，
∴ △ABC为直角三角形，
∴ 面积S=12×|PF2|×|F1F2|=12×3×4=6.
故△PF1F2的面积为6．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆中的平面几何问题
【解析】
(1)根据题意，由椭圆的焦点坐标分析可得椭圆的位置以及c的值，由椭圆的定义可得a的值，由椭圆的标准方程分析可得答案；
(2)根据题意，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝8，又由|PF1|−|PF2|＝2，求出|PF1|＝5，|PF2|＝3，分析可得△ABC为直角三角形，据此即可得答案．
【解答】
解：(1)根据题意，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦点为F1(−2, 0)，F2(2, 0)，
则椭圆的焦点在x轴上，且c=2，
又椭圆经过点(−2, 3)，
∴ 2a=[(−2)−(−2)]2+(3−0)2+[2−(−2)]2+(0−3)2
=3+5=8，
∴ a=4，
∴ b2=a2−c2=16−4=12，
∴ 椭圆的标准方程为x216+y212=1.
(2)由(1)可知，椭圆的标准方程为x216+y212=1，
∴ |PF1|+|PF2|=2a=8.
∵ 椭圆上一点P到两焦点F1，F2的距离之差为2，
设|PF1|>|PF2，则有|PF1|−|PF2|=2，
解得|PF1|=5，|PF2|=3，
又|F1F2|=2c=4，
∴ |F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2，
∴ △ABC为直角三角形，
∴ 面积S=12×|PF2|×|F1F2|=12×3×4=6.
故△PF1F2的面积为6．
【答案】
解：(1)焦点在x轴上，a=2，离心率为32，
可得e=ca=32，即有c=3，b=9−4=5，
则双曲线的方程为x24−y25=1.
(2)可设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，
由题意可得c=5=a2+b2.
由渐近线方程y＝±bax，可得ba=43，
解得a=3，b=4，
则双曲线方程为x29−y216=1．
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
（1）由离心率公式可得c，进而得到b，即可得到所求双曲线方程；
（2）设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a, b>0)，运用渐近线方程和焦点坐标，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．
【解答】
解：(1)焦点在x轴上，a=2，离心率为32，
可得e=ca=32，即有c=3，b=9−4=5，
则双曲线的方程为x24−y25=1.
(2)可设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，
由题意可得c=5=a2+b2.
由渐近线方程y＝±bax，可得ba=43，
解得a=3，b=4，
则双曲线方程为x29−y216=1．
【答案】
解：(1)抛物线y2=2pxp>0的准线方程为： x=−p2.
∵ 抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，
∴ 根据抛物线的定义可知， 3+p2=5，
∴ p=4，
∴ 抛物线C的方程是y2=8x．
(2)设以点M3,2为中点的直线与抛物线交于两点Ax,y，Bx2,y2，
则y12=8x1①，y22=8x2②，
①−②得y12−y22=8x1−x2，
即y1−y2x1−x2=8y1+y2=2．
即kAB=2,
∴ 以点M3,2为中点的直线方程为y−2=2x−3，
得2x−y−4=0．
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的性质
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】


【解答】
解：(1)抛物线y2=2pxp>0的准线方程为： x=−p2.
∵ 抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，
∴ 根据抛物线的定义可知， 3+p2=5，
∴ p=4，
∴ 抛物线C的方程是y2=8x．
(2)设以点M3,2为中点的直线与抛物线交于两点Ax,y，Bx2,y2，
则y12=8x1①，y22=8x2②，
①−②得y12−y22=8x1−x2，
即y1−y2x1−x2=8y1+y2=2．
即kAB=2,
∴ 以点M3,2为中点的直线方程为y−2=2x−3，
得2x−y−4=0．
【答案】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由条件得a1+2d=−5,4a1+6d=−24,
解得a1=−9,d=2,
∴ an=−9+2n−1，即an=2n−11．
(2)令2n−11≥0，解得n≥112，
∴ 当n≤5时，an0，
∴ T20=|a1|+|a2|+⋯+|a20|
=−a1+a2+⋯+a5+a6+a7+⋯+a20
=−2a1+a2+⋯+a5+(a1+a2+⋯+a5+a6+a7+⋯+a20)
=−2S5+S20
=−25×−9+5×42×2+20×−9+20×192×2
=−2×−25+200
=250．
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
本题考查利用基本量求等差数列的通项公式以及计算绝对值数列的前20项和．
暂无
【解答】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由条件得a1+2d=−5,4a1+6d=−24,
解得a1=−9,d=2,
∴ an=−9+2n−1，即an=2n−11．
(2)令2n−11≥0，解得n≥112，
∴ 当n≤5时，an0，
∴ T20=|a1|+|a2|+⋯+|a20|
=−a1+a2+⋯+a5+a6+a7+⋯+a20
=−2a1+a2+⋯+a5+(a1+a2+⋯+a5+a6+a7+⋯+a20)
=−2S5+S20
=−25×−9+5×42×2+20×−9+20×192×2
=−2×−25+200
=250．