2020-2021学年山东省青岛市高二（下）期末考试数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年山东省青岛市高二（下）期末考试数学试卷人教A版（2019），共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A，B，C满足：A∪B=B，B∩C=B，则下列关系一定正确的是( )
A.A∩C=AB.A∩B=BC.A∪B=CD.A∪C=B

2. “a>2”是“函数fx=ax+lgaxa>0,a≠1 在0,+∞上单调递增”的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件

3. 设Sn为等差数列an的前n项和，若S5=S2+a11，且a1=1，则S8=( )
A.42B.56C.64D.82

4. 已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为( )

A.fx=ln|x|2+csxB.fx=2−ln|x|sinx
C.fx=csx⋅ln|x|D.fx=sinx⋅ln|x|

5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.1

6. 函数fx=x3−2021x+1图象的对称中心为（ ）
A.0,0B.1,0C.0,1D.1,1

7. 已知a=2−12， b=lg1225，c=lg283，则( )
A.c
8. 已知函数fx为偶函数，当x<0时， fx=ln−x+3x，则曲线y=fx上的点到直线y=−2x+1的最小距离为（ ）
A.1B.255C.355D.455
二、多选题

已知随机变量X∼N3,22，Y∼B10,0.6，则（ ）
附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2) ，则Pμ−σ<ξ<μ+σ=0.6827，Pμ−2σ<ξ<μ+2σ=0.9545.
A.DX=2B.EY=6
C.PX<5=0.84135D.DY=2.5

设全集U=R，集合A=y|y=x−2+2，集合B=x|x2−2x−3<0,x∈R，则( )
A.A∩B=2,3B.A∪B=[2,+∞)
C.A∩(∁RB)=[3,+∞)D.A∪∁RB=R

已知数列an中，a1=1，an+an+1=3n，n∈N∗，则下列说法正确的是（ ）
A.a6=8B.a2n是等差数列
C.S20=300D.a2n−a2n−1=3

已知函数fx=ex−cs2x，则下列结论正确的是（ ）
A.fx在0,π2 上单调递增B.fx在π2,π上单调递减
C.∀x0≥0，fx0≥0D.∃x0<0，fx0<0
三、填空题

x−x24展开式中x3的系数为________.

已知函数fx=−x2+ax+1−lnx，若fx在0,12上是减函数，则实数a的最大值为________.

给出一个满足以下条件的函数fx=________.
①fx的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②fx是偶函数；
③fx在0,+∞不是单调函数；
④fx有无数个零点．

O为平面直角坐标系xOy的坐标原点，点W00,2在x轴正半轴上依次取OW0中点W1，OW中点W2，OW2中点W3，⋯， OWn中点Wn+1，⋯，记|OW|=an，n∈N∗．
则(1)数列an的通项公式an=________；

(2)记cn=n2an，数列cn的最大值为________.
四、解答题

在①an+1>an，a2a9=51，a4+a7=22；②S5=25a1，a2=3；③Sn=n2三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
已知等差数列an的前n项和为Sn，且________，n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；

(2)若bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn．

阿根廷球员马拉多纳曾经是上个世纪最伟大的足球运动员之一，其精湛的足球技术在几十年当中始终无人超越．科学家通过电脑计算发现：马拉多纳在高速运动、高强度对抗、视角受限的情况下，传球和助攻有高达90%与电脑计算的最佳路线一样！为纪念“球王”马拉多纳，某地区举行了系列足球运动推广活动．
(1)受推广活动的影响，该地区球迷观看足球联赛的热情持续高涨，据统计相关轮次观看联赛的球迷人数y（单位：人）如下表：
现建立该地区观看球赛的人数y与轮次x的线性回归模型： y=bx+a．根据该模型预测第几轮次该地区观看球赛的人数y超过10000人？

(2)为了参加该地区举行的“花式足球大赛”，某球队需要从甲、乙所在的6名运动员中选三名队员参赛，求在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率．
附：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式和参考数据：b=i=1nxiyi−nx¯⋅y¯i=1nxi2−nx¯2=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2，a=y¯−bx¯，i=1nxiyi=103000．

已知各项均为正数的数列an满足an+2=4an+1−an， a1=1 ，a2=4，n∈N∗．
(1)证明：数列an+1−2an为等比数列；

(2)记bn=an2n，证明数列bn为等差数列，并求数列an的前n项和Sn．

已知函数fx=ax33−x22， a≥0．
(1)若a=1，求函数fx在−1,2上的最大值和最小值；

(2)求函数fx的极值点．

为治疗病毒Y引发的疾病，某医药公司研发了一种新药W，为了解W的药效，进行“双盲”对比试验，统计得到如下数据列联表：

(1)依据α=0.001的独立性检验，能否认为使用药W与治愈病毒Y引发的疾病有关联？

(2)假设该药的治愈率为80%，该公司生产了一批该药共100份赠予某医院，该医院对于赠药有这样的接受规定：随机选择4份该药给4名患者试用，如果治愈患者数量少于3则拒绝接受整批药物．求该批药物被拒绝的概率；

(3)已知该地区某医院收治的2kk≥3，k∈N∗名病毒Y感染者使用该药W治疗，需要通过被治疗者血液样本检测后确定是否治愈，若样本为阴性说明已经治愈，若样本为阳性说明未治愈．如果将样本混合后检测为阴性则说明每份样本为阴性，若检测为阳性则说明其中至少一份样本为阳性，样本之间是否呈阳性相互独立．假设该药治愈的概率p=0.91．现将2k份样本均分成两组进行检测，若任何一组为阳性则对该组每份逐一检测．当k=10时，预测检测次数是否小于15次？
附：参考公式及数据：①χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ，n=a+b+c+d．
②0.9110≈0.39

已知函数fx=ex−aln1+x+lna+1a>0．
(1)当a=1时，证明： fx≥0．

(2)若fx有且仅有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1x2<0．
参考答案与试题解析
202-2021学年山东省青岛市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
分析题意，对照选项—一验证各选项的正确性，具体分析选项可得答案．
【解答】
解：∵A∩B=B，
∴A⊆B，
∵B∩C=B，
∴B⊆C，
∴A⊆B⊆C，
A，A∩C=A，故A正确；
B，A∩B=A，故B错误；
C，A∪B=B，故C错误；
D，A∪C=C，故D错误．
故选A．
2.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
当a>1时，函数fx单调递增．即可判断出．
【解答】
解：当a>2时，可以得出函数fx在0,+∞上单调递增．
由函数fx=ax+lgaxa>0,a≠1 在0,+∞上单调递增，
可以得出a>1，无法得出a>2，
∴ “a>2”是“函数fx=ax+lgax(a>0，a≠1) 在0,+∞上单调递增”的充分非必要条件．
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】
解：设等差数列an的公差为d，
∵ S5=S2+a11，a1=1，
∴ 5+5×42d=2+d+1+10d，
解得：d=2，
则S8=8+8×72×2=64．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
函数奇偶性的判断
【解析】
根据题意，依次分析选项中函数是否符合函数的图象，综合即可得答案．
【解答】
解：A，fx=ln|x|2+csx，其定义域为x≠0，
f−x=ln|−x|2+cs(−x)=ln|x|2+csx=f(x)，不符合题意，排除A；
B，fx=2−ln|x|sinx，其定义域为x|x≠kπ,k∈Z，不符合题意，排除B；
C，fx=csx⋅ln|x|，其定义域为x≠0，
f−x=cs(−x)⋅ln|−x|=fx，不符合题意，排除C；
D，fx=sinx⋅ln|x|，其定义域为x≠0，
f−x=sin(−x)⋅ln|−x|=−sinx⋅ln|x|=−fx，符合题意．
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
对数的运算性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，
太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，
所以m2−m1=52lgE1E2，且
m2=−1.45，m1=−26.7，
所以lgE1E2=10.1,
即E1E2=1010.1，
所以太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
函数的对称性
【解析】
根据函数对称性的性质建立方程进行求解即可．
【解答】
解：设对称中心的坐标为a,b ，
则有2b=fa+x+fa−x 对任意x均成立，
代入函数解析式得，
2b=a+x3−2021a+x+1+a−x3−2021a−x+1对任意x均成立，
解得a=0，b=1，即对称中为0,1．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
对数值大小的比较
指数式、对数式的综合比较
【解析】
由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．
【解答】
解：因为a=2−12=22，
b=lg1225=lg252，
c=lg283>lg252=b>1，
则a故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
由偶函数的定义，可得f−x=fx，即有x>0时，fx=lnx−3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．
【解答】
解：由fx为偶函数，可得f−x=fx，
当x<0时，fx=ln−x+3x，
即有x>0时，fx=lnx−3x，
则f′x=1x−3，
可得f1=ln1−3=−3，
f′1=1−3=−2，
则曲线y=fx在点1,−3处的切线方程为：
y−−3=−2x−1，即为2x+y+1=0，
则曲线y=fx上的点到直线y=−2x+1的最小距离为：
|2|22+12=255．
故选B．
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
根据对称性，由题意可求出答案．
【解答】
解：已知随机变量X∼N3,22，Y∼B10,0.6，
∴ DX=3，EY=10×0.6=6，
P1∴ DY=6×0.4=2.4，
Px<5=0.5+12×0.6827=0.84135.
故选BC．
【答案】
A,C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
可以求出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．
【解答】
解：由题意得，A=y|y>2，B=x|−1∴ A∩B=2,3，A∪B=−1,+∞，
∁RB={x|x≤−1或x≥3}，
∴ A∩(∁RB)=[3,+∞)，
A∪∁RB=(−∞,−1)∪(2,+∞)，故AC正确，BD错误．
故选AC．
【答案】
A,B,C
【考点】
数列递推式
等差数列
数列的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a1=1，a1+a2=3，
∴ a2=2，
由题意得，an+an+1=3n，①
则n≥2时，an−1+an=3(n−1)，②
①−②，得an+1−an−1=3，
则a2(n+1)−a2n=3.
∴ 数列a2n是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴ a2n=2+3(n−1)=3n−1，
∴ a6=8.
同理可得，数列a2n−1是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴ a2n−1=1+3(n−1)=3n−2，
∴ S20=2+292×10+1+282×10=155+145=300，
∵ a2n=3n−1，a2n−1=3n−2，
∴ a2n−a2n−1=1.
故选ABC.
【答案】
A,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数恒成立问题
【解析】
通过对函数求导来解决单调性问题，判断单调区间。
【解答】
解：f′x=ex+2csxsinx=ex+sin2x，
当x≥0时，f′x>0，
则函数fx在(0,+∞)上单调递增， 故A正确，B错误；
则f(x)≥f(0)=0，
则∀x0≥0，fx0≥0，故C正确；
f−π=e−π−1<0 ，
则∃x0<0，fx0<0，故D正确.
故选ACD.
三、填空题
【答案】
32
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
二项式定理的应用
【解析】
直接利用二项式定理的展开式的通项公式求出展开式中x3的系数即可．
【解答】
解：因为x−x24的展开式的通项公式为：
Tr+1=C4rx4−r⋅(−x2)r
=C4rx4−r2⋅(−12)r⋅xr
=C4r⋅(−12)r⋅x2+r2，
令2+12r=3，得r=2，
所以x−x24的展开式中x3的系数：C42(−12)2=32．
故答案为：32．
【答案】
3
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
利用导数研究函数的极值
【解析】
f′x=−2x+1x，根据fx在0,12上是减函数，可得f′x≤0在0,12上恒成立．可得a≤2x+1x，令gx=2x+1x，x∈0,12，利用导数研究其单调性极值应与最值即可得出．
【解答】
解：f′x=−2x+a−1x，
∵ fx在0,12上是减函数，
∴ f′x=−2x+a−1x≤0在0,12上恒成立．
∴ a≤2x+1x ，
令gx=2x+1x，x∈0,12，
则g′x=2−1x2
=2x+22x−22x2<0 ，
∴ 函数gx在0,12上单调递减，
∴ a≤2×12+112=3，即实数a的最大值为3．
故答案为：3．
【答案】
xsinx(答案不唯一)
【考点】
函数的零点
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据题意，分析可得则fx可以由三角函数变换得到，由此可得答案．
【解答】
解：根据题意，要求函数fx满足4个条件，
则fx可以由三角函数函数变换得到，比如fx=xsinx．
故答案为：xsinx(答案不唯一)．
【答案】
12n−1
94
【考点】
数列递推式
【解析】
【解答】
解：(1) 由题知a1=1，
a2=12，
a3=14，
⋯，
依次类推，可得an=12n−1 .
故答案为：12n−1.
(2)由(1)知，cn=n2an=n2⋅12n−1.
当n=1时，c1=1，
当n=2时，c2=2，
当n=3时，c3=94，
当n=4时，c4=2，
当n=5时，c5=2516，
当n=6时，c6=98，
当n=7时，c6=4964<1，
⋯
当n→+∞时， cn<1，
∴ 当 n=3 时，数列cn取得最大值94.
故答案为：94.
四、解答题
【答案】
解：(1)若选择①，
由a2a9=51与a4+a7=a2+a9=20，
解得：a2=3，a9=17或a2=17，a9=3（由于an+1>an，舍去） ，
设数列an的公差为d，则a2=a1+d=3，a9=a1+8d=17，
解得a1=1，d=2，
∴数列an的通项公式为an=2n−1．
若选择②，
设数列an的公差为d，
由S5=25a1，a2=3，
得5a3=25a1 ，a2=a1+d=3，
则a1+2d=5a1，a1+d=3，解得a1=1，d=2，
∴数列an的通项公式为an=2n−1 ．
若选择③，
∵an=S1，n=1，Sn−Sn−1，n≥2，
解得an=1，n=1，2n−1，n≥2，
∴数列an的通项公式为an=2n−1 ．
(2)由题意得bn=12n−12n+1=1212n−1−12n+1 ，
∴Tn=b1+b2+b3+⋯+bn
=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1) ，
=121−12n+1
=n2n+1．
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)若选择①，
由a2a9=51与a4+a7=a2+a9=20，
解得：a2=3，a9=17或a2=17，a9=3（由于an+1>an，舍去） ，
设数列an的公差为d，则a2=a1+d=3，a9=a1+8d=17，
解得a1=1，d=2，
∴数列an的通项公式为an=2n−1．
若选择②，
设数列an的公差为d，
由S5=25a1，a2=3，
得5a3=25a1 ，a2=a1+d=3，
则a1+2d=5a1，a1+d=3，解得a1=1，d=2，
∴数列an的通项公式为an=2n−1 ．
若选择③，
∵an=S1，n=1，Sn−Sn−1，n≥2，
解得an=1，n=1，2n−1，n≥2，
∴数列an的通项公式为an=2n−1 ．
(2)由题意得bn=12n−12n+1=1212n−1−12n+1 ，
∴Tn=b1+b2+b3+⋯+bn
=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1) ，
=121−12n+1
=n2n+1．
【答案】
解：(1)由已知可得：x¯=1+3+4+5+75=4 ，y¯=4200，
i=15xiyi=103000，i=1nxi2=12+32+42+52+72=100，
b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=103000−84000100−5×42=1900020=950，
∴a=y¯−bx¯=4200−950×4=400，
∴y=bx+a=950x+400，
当y=950x+400>10000时，x≥11，
∴估计第11轮联赛观看比赛的人数y超过10000人 ．
(2)设甲被选中为事件A，乙被选中为事件B，
由题意可知： PA=C52C63=1020=12 ，
PAB=C41C63=420=15 ，
PB|A=PABPA=1512=25 ，
∴在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率为25 ．
【考点】
求解线性回归方程
条件概率与独立事件
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由已知可得：x¯=1+3+4+5+75=4 ，y¯=4200，
i=15xiyi=103000，i=1nxi2=12+32+42+52+72=100，
b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=103000−84000100−5×42=1900020=950，
∴a=y¯−bx¯=4200−950×4=400，
∴y=bx+a=950x+400，
当y=950x+400>10000时，x≥11，
∴估计第11轮联赛观看比赛的人数y超过10000人 ．
(2)设甲被选中为事件A，乙被选中为事件B，
由题意可知： PA=C52C63=1020=12 ，
PAB=C41C63=420=15 ，
PB|A=PABPA=1512=25 ，
∴在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率为25 ．
【答案】
证明：(1)∵an+2=4an+1−an，
∴an+2−2an+1=2an+1−2an ，
又∵a2−2a1=2≠0 ，
∴数列an+1−2an是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an+1−2an=2×2n−1=2n．
(2)∵an+1−2an=2n，
可得bn+1−bn=an+12n+1−an2n=an+1−2an2n+1=12 ，
∴数列bn是以12为首项，以12为公差的等差数列，
∴bn=12+12×n−1=n2 ，
∵bn=an2n=n2，
∴an=n2n−1 ，
∴Sn=1×20+2×21+3×22+⋯+n×2n−1，
2Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n−1×2n−1+n×2n，
两式作差得： −Sn=20+21+22+⋯+2n−1−n2n=1−2n1−2−n2n ，
∴Sn=n−12n+1．
【考点】
等比数列的通项公式
数列递推式
数列的应用
【解析】
无
无
【解答】
证明：(1)∵an+2=4an+1−an，
∴an+2−2an+1=2an+1−2an ，
又∵a2−2a1=2≠0 ，
∴数列an+1−2an是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an+1−2an=2×2n−1=2n．
(2)∵an+1−2an=2n，
可得bn+1−bn=an+12n+1−an2n=an+1−2an2n+1=12 ，
∴数列bn是以12为首项，以12为公差的等差数列，
∴bn=12+12×n−1=n2 ，
∵bn=an2n=n2，
∴an=n2n−1 ，
∴Sn=1×20+2×21+3×22+⋯+n×2n−1，
2Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n−1×2n−1+n×2n，
两式作差得： −Sn=20+21+22+⋯+2n−1−n2n=1−2n1−2−n2n ，
∴Sn=n−12n+1．
【答案】
解：(1)当a=1时，fx=x33−x22，
f′x=x2−x=xx−1，
当f′x=0时，解得：x=0或x=1，
所以，当x变化时，f′x，fx的变化情况如表所示：
所以，函数fx在−1,2上的最大值为23，最小值为−56．
(2)当a=0时，fx=−x22，存在唯一极大值点x=0．
当a>0时，f′x=ax2−x=axx−1a．
由f′x=0解得：x=0或x=1a，
所以当x∈−∞,0时，f′x>0，fx在−∞,0上单调递增，
当x∈0,1a时，f′x<0，fx在0,1a上单调递减，
当x∈1a,+∞时，f′x>0，fx在1a,+∞上单调递增，
所以，fx的极大值点x=0，极小值点x=1a．
综上：当a=0时：fx=−x22，存在唯一极大值点x=0，
当a>0时，fx的极大值点x=0，极小值点x=1a．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=1时，fx=x33−x22，
f′x=x2−x=xx−1，
当f′x=0时，解得：x=0或x=1，
所以，当x变化时，f′x，fx的变化情况如表所示：
所以，函数fx在−1,2上的最大值为23，最小值为−56．
(2)当a=0时，fx=−x22，存在唯一极大值点x=0．
当a>0时，f′x=ax2−x=axx−1a．
由f′x=0解得：x=0或x=1a，
所以当x∈−∞,0时，f′x>0，fx在−∞,0上单调递增，
当x∈0,1a时，f′x<0，fx在0,1a上单调递减，
当x∈1a,+∞时，f′x>0，fx在1a,+∞上单调递增，
所以，fx的极大值点x=0，极小值点x=1a．
综上：当a=0时：fx=−x22，存在唯一极大值点x=0，
当a>0时，fx的极大值点x=0，极小值点x=1a．
【答案】
解：(1)由题知：χ2=10048×18−2×32250×50×80×20=16>10.828=x0.001，
依据α=0.001的独立性检验，认为使用药W与治愈病毒Y引发的疾病有关联.
(2)由题知，4名患者中治愈的人数ξ∼B4,0.8，
所以该批药物被拒绝的概率P=1−Pξ=3−Pξ=4
=1−C420.84−C430.83×0.2=1−2×0.84=0.1808．
(3)设检测的次数为X，由题知X的可能取值为：2，2+k，2+2k；
PX=2=p2k，
PX=2+k=C21pk1−pk，
PX=2+2k=1−pk2，
所以E(X)=2p2k+(4+2k)pk(1−pk)+(2+2k)(1−pk)2=2k(1−pk)+2．
因为k=10，p=0.91，
所以EX−15=201−0.9110−13<0，
所以可以预测检测次数小于15次．
【考点】
独立性检验
概率的应用
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)由题知：χ2=10048×18−2×32250×50×80×20=16>10.828=x0.001，
依据α=0.001的独立性检验，认为使用药W与治愈病毒Y引发的疾病有关联.
(2)由题知，4名患者中治愈的人数ξ∼B4,0.8，
所以该批药物被拒绝的概率P=1−Pξ=3−Pξ=4
=1−C420.84−C430.83×0.2=1−2×0.84=0.1808．
(3)设检测的次数为X，由题知X的可能取值为：2，2+k，2+2k；
PX=2=p2k，
PX=2+k=C21pk1−pk，
PX=2+2k=1−pk2，
所以E(X)=2p2k+(4+2k)pk(1−pk)+(2+2k)(1−pk)2=2k(1−pk)+2．
因为k=10，p=0.91，
所以EX−15=201−0.9110−13<0，
所以可以预测检测次数小于15次．
【答案】
证明：(1)当a=1时，fx=ex−ln1+x+1，
f′x=ex−11+xx≥−1．
因为f′x在−1,+∞上单调递增，且f′0=0，
所以，当x∈−1,0时，f′x<0，即fx在区间−1,0上单调递减，
当x∈0,+∞时，f′x>0，即fx在区间0,+∞上单调递增，
所以fx≥fxmin=f0=0．
(2)由题知：f′x=ex−a1+xx>−1，
令gx=f′x，
则g′x=ex+a1+x2>0，
所以f′x在−1,+∞上单调递增；
当a=1时，由(1)知：fx只有一个零点，不合题意．
当0因为f′x在−1,+∞上单调递增；
且f′0=1−a>0，f′a−1=ea−1−1<0，
故存在x0∈−1,0，使得f′x0=0，
即ex0=a1+x0，ln1+x0=lna−x0，
所以，当x∈−1,x0时，f′x<0，fx在区间−1,x0上单调递减
当x∈x0,+∞时，f′x>0，fx在区间x0++∞上单调递增，
所以fx≥fx0=ex0−aln1+x0−alna−a=a1+x0+ax0−2alna−a，
所以fx0=a1+x0+a1+x0−2alna−2a≥−2alna>0，
所以，fx没有零点，不合题意．
当a>1时，
因为f′x在区间−1,+∞上单调递增，
且f′0=1−a<0，f′lna=elna−a1+lna=a1−11+lna>0，
所以存在t∈0,lna满足f′t=0，
所以，当x∈−1,t时，f′x<0，fx在区间−1,t上单调递减，
当x∈t,+∞时，f′x>0，fx在区间t,+∞上单调递增，
所以fx≥ft=et−aln1+t−alna−a=a1+t+at−2alna−a，
又ft=a1+t+a1+t−2alna−2a
=a11+lna−lna−1<0，
易证：x−1>lnx，
所以f(5a)=e5a−aln(1+5a)+lna+1>e5a−a(5a+a)
>e3a+2lna−6a2=a2e3a−6>0，
又因为f1ae−1=e1at−1>0，
所以a>1时，fx有且仅有两个零点x1，x2，
设x1则x1∈1ae−1,0，x2∈0,5a，
所以x1x2<0．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究函数的极值
【解析】
无
无
【解答】
证明：(1)当a=1时，fx=ex−ln1+x+1，
f′x=ex−11+xx≥−1．
因为f′x在−1,+∞上单调递增，且f′0=0，
所以，当x∈−1,0时，f′x<0，即fx在区间−1,0上单调递减，
当x∈0,+∞时，f′x>0，即fx在区间0,+∞上单调递增，
所以fx≥fxmin=f0=0．
(2)由题知：f′x=ex−a1+xx>−1，
令gx=f′x，
则g′x=ex+a1+x2>0，
所以f′x在−1,+∞上单调递增；
当a=1时，由(1)知：fx只有一个零点，不合题意．
当0因为f′x在−1,+∞上单调递增；
且f′0=1−a>0，f′a−1=ea−1−1<0，
故存在x0∈−1,0，使得f′x0=0，
即ex0=a1+x0，ln1+x0=lna−x0，
所以，当x∈−1,x0时，f′x<0，fx在区间−1,x0上单调递减
当x∈x0,+∞时，f′x>0，fx在区间x0++∞上单调递增，
所以fx≥fx0=ex0−aln1+x0−alna−a=a1+x0+ax0−2alna−a，
所以fx0=a1+x0+a1+x0−2alna−2a≥−2alna>0，
所以，fx没有零点，不合题意．
当a>1时，
因为f′x在区间−1,+∞上单调递增，
且f′0=1−a<0，f′lna=elna−a1+lna=a1−11+lna>0，
所以存在t∈0,lna满足f′t=0，
所以，当x∈−1,t时，f′x<0，fx在区间−1,t上单调递减，
当x∈t,+∞时，f′x>0，fx在区间t,+∞上单调递增，
所以fx≥ft=et−aln1+t−alna−a=a1+t+at−2alna−a，
又ft=a1+t+a1+t−2alna−2a
=a11+lna−lna−1<0，
易证：x−1>lnx，
所以f(5a)=e5a−aln(1+5a)+lna+1>e5a−a(5a+a)
>e3a+2lna−6a2=a2e3a−6>0，
又因为f1ae−1=e1at−1>0，
所以a>1时，fx有且仅有两个零点x1，x2，
设x1则x1∈1ae−1,0，x2∈0,5a，
所以x1x2<0．轮次x
1
3
4
5
7
观看的人数y
1300
3300
4200
5200
7000
使用药W人数
未使用药W人数
总计
治愈人数
48
32
80
未治愈人数
2
18
20
总计
50
50
100
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
x
−1
−1,0
0
0,1
1
1,2
2
f′x
+
0
0
+
fx
−56
单调递增
极大值
0
单调递减
极小值−16
单调递增
23
x
−1
−1,0
0
0,1
1
1,2
2
f′x
+
0
0
+
fx
−56
单调递增
极大值
0
单调递减
极小值−16
单调递增
23