第2章 新高考新题型微课堂　1　多选题命题热点之函数性质的综合问题-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

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一　多选题命题热点之函数性质的综合问题函数问题中的多选题主要集中在函数的性质中，涉及函数的单调性、奇偶性和周期性等. 从命题角度看，既可以是与函数性质有关的组合型选择题，也可以是新定义函数后再从不同角度研究函数的性质问题. 　与函数性质有关的组合型问题(多选题)已知偶函数f (x)满足f (x)＋f (2－x)＝0，下列说法正确的是(　　)A．函数f (x)是以2为周期的周期函数B．函数f (x)是以4为周期的周期函数C．函数f (x＋2)为偶函数D．函数f (x－4)为偶函数BCD　解析：偶函数f (x)满足f (x)＋f (2－x)＝0，即有f (－x)＝f (x)＝－f (2－x)，所以f (x＋2)＝－f (x)，f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，可得4为函数f (x)的周期，故A错误，B正确．由f (x)＋f (2－x)＝0，可得f (－x)＋f (2＋x)＝0，两式相减得f (2－x)－f (2＋x)＝0，故f (2－x)＝f (2＋x)，所以f (x＋2)为偶函数，故C正确．由f (x)为偶函数得f (－x－4)＝f (x＋4)．若f (x－4)为偶函数，则有f (－x－4)＝f (x－4)，可得f (x＋4)＝f (x－4)，即f (x＋8)＝f (x)，可得8为f (x)的周期，故D正确．故选BCD．关于函数性质有关的组合型多选题，关键是要熟练掌握函数的有关性质及一些常用结论，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力．(多选题)函数f (x)的定义域为R，若f (x＋1)与f (x－1)都是奇函数，则(　　)A．f (x)是偶函数 B．f (x)是奇函数C．f (x)＝f (x＋4) D．f (x＋3)是奇函数CD　解析：因为f (x＋1)与f (x－1)都是奇函数，所以函数f (x)的图象关于点(1,0)及点(－1,0)对称，所以f (x)＋f (2－x)＝0，f (x)＋f (－2－x)＝0，故有f (2－x)＝f (－2－x)，函数f (x)是周期T＝2－(－2)＝4的周期函数，选项C正确．因为f (－x－1＋4)＝－f (x－1＋4)，即f (－x＋3)＝－f (x＋3)，所以f (x＋3)是奇函数，选项D正确．故选CD．　新定义函数问题(多选题)若函数f (x)满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有＞0；②对于定义域内任意x1，x2都有f ≥成立．则称其为G函数．下列函数为G函数的是(　　)A．f (x)＝3x＋1B．f (x)＝－2x－1C．f (x)＝x2－2x＋3D．f (x)＝－x2＋4x－3，x∈(－∞，1)AD　解析：①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有＞0，则函数f (x)为增函数；②对于定义域内任意x1，x2都有f ≥成立，则函数f (x)为“凸函数”或其图象为一条直线．对于A，f (x)＝3x＋1在R上为增函数，且f ＝，故满足条件①②；对于B，f (x)＝－2x－1在R上为减函数，不满足条件①；对于C，f (x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，不满足条件①；对于D，f (x)＝－x2＋4x－3的对称轴为x＝2，故函数f (x)＝－x2＋4x－3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②. 故选AD．关于新定义函数问题，关键是理解新定义函数的概念. 根据新定义函数的概念并挖掘其隐含条件，对比选项判断正误．(多选题)(2020·枣庄二调)对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称为“取整函数”．下列命题中的真命题是(　　)A．∃x∈R，x≥[x]＋1B．∀x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]C．函数y＝x－[x](x∈R)的值域为[0, 1) D．若∃t∈R，使得[t3]＝1，[t4]＝2，[t5]＝3，…，[tn]＝n－2同时成立，则正整数n的最大值是5BCD　解析：[x]是整数，[x]＋1是整数，若x≥[x]＋1，则[x]≥[x]＋1，矛盾，A错误．∀x，y∈R，[x]≤x，[y]≤y，所以[x]＋[y]≤x＋y，所以[x]＋[y]≤[x＋y]，B正确．由定义知x－1<[x]≤x，所以0≤x－[x]<1，所以函数f (x)＝x－[x]的值域是[0,1)，C正确．若∃t∈R，使得[t3]＝1，[t4]＝2，[t5]＝3，…，[tn]＝n－2同时成立，则1≤t<，≤t<，≤t<，≤t<，…，≤t<.因为＝，若n≥6，则不存在t同时满足1≤t<，≤t<，只有n≤5时，存在t∈[，)满足题意．故选BCD．