2022版新高考数学一轮总复习课后集训：2+命题及其关系、充分条件与必要条件+Word版含解析

课后限时集训(二)

命题及其关系、充分条件与必要条件

建议用时：25分钟

一、选择题

1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　)

A．逆命题 B．否命题

C．逆否命题 D．否定

B　[命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．]

2．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是(　　)

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－1＜x＜1，则x2＜1

C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

D　[“－1＜x＜1”的否定为“x≥1或x≤－1”，“x2＜1”的否定为“x2≥1”，因此逆否命题为“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，故选D.]

3．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)

A．0 B．1 

C．2 D．4

C　[当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有2个．]

4．(2020·天津高考)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

A　[由a2＞a得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0.

∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选A.]

5．下列说法正确的是(　　)

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”

B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件

C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题

D．“tan x＝1”是“x＝”的充分不必要条件

C　[对A项，由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A错误；因为x2－x－2＝0⇔x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x2－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即B错误；因为由x＝y能推出sin x＝sin y，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝能推出tan x＝1，但由tan x＝1推不出x＝，所以“tan x＝1”是“x＝”的必要不充分条件，即D错误．]

6．(多选)－＜5x－3＜12的一个必要条件是(　　)

A．－＜x＜2 B．－＜x＜4

C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6

BD　[解－＜5x－3＜12，得－＜x＜3，结合选项，当x满足－＜x＜3时，必满足－＜x＜4和－1＜x＜6，故选BD.]

7．若x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是

(　　)

A．[－3,3]

B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D．[－1,1]

D　[∵x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，

∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选D.]

8．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　)

A．a＞b＋1 B．a＞b－1

C．a2＞b2 D．a3＞b3

A　[a＞b＋1⇒a＞b，但反之未必成立，故选A.]

二、填空题

9．原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d，”则它的逆否命题是________．

已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d　[“a＋c＝b＋d”的否定为“a＋c≠b＋d”，“a＝b，c＝d”的否定为“a≠b或c≠d”，因此逆否命题为“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d”．]

10．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合下列条件的，用序号填空：

(1)“使a，b都为0”的必要条件是________．

(2)“使a，b都不为0”的充分条件是________．

(3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________．

(1)①②③　(2)④　(3)①　[①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；

②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；

③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或

④ab＞0⇔或则a，b都不为0.]

11．给出下列说法：

①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；

②“在△ABC中，sin B＞sin C是B＞C的充要条件”是真命题；

③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；

④命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．

以上说法正确的是________．(填序号)

①②④　[对于①，“若x＋y＝，

则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，

则x＋y＝”，

当x＝0，y＝时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B＞sin C⇔b＞c⇔B＞C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．]

12．若“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．

3　[解不等式x2－x－6＞0得x＜－2或x＞3，由题意知{x|x＞a}{x|x＜－2或x＞3}，则a≥3.因此a的最小值为3.]

1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．x2≠1是x≠1的必要条件

B．x＞5是x＞4的充分不必要条件

C．xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件

D．x2＜4是x＜2的充分不必要条件

BD　[A中，x2≠1时，一定有x≠1，但x≠1时，不一定推出x2≠1，如x＝－1，故x2≠1是x≠1的充分不必要条件，故A不正确；B中，x＞5能推出x＞4，但x＞4不能推出x＞5，故x＞5是x＞4的充分不必要条件，故B正确；C中，由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，故C不正确；D中，x2＜4，则－2＜x＜2，能推出x＜2，但x＜2不能推出x2＜4，故x2＜4是x＜2的充分不必要条件，故D正确．故选BD.]

2．设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

3或4　[由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，则n＝1,2,3,4.

当n＝1,2时，方程没有整数根，

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.

综上可知，n＝3或4.]