2022版新高考数学一轮总复习课后集训：5+一元二次不等式及其解法+Word版含解析

课后限时集训(五)

一元二次不等式及其解法

建议用时：40分钟

一、选择题

1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为(　　)

A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}

C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜1或x＞2}

A　[原不等式可化为(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，故选A.]

2．若0＜m＜1，则不等式x2－x＋1＜0的解集为(　　)

D　[不等式x2－x＋1＜0可化为(x－m)＜0，由0＜m＜1知m＜，因此原不等式的解集为，故选D.]

3．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＞0的解集为(　　)

A． B．

C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2或x＞1}

A　[由题意知

即解得

则不等式2x2＋bx＋a＞0，即为2x2＋x－1＞0，解得x＞或x＜－1，故选A.]

4．不等式x2－2x＋m＞0对一切实数x恒成立的充要条件是(　　)

A．m＞2 B．0＜m＜1 

C．m＞0 D．m＞1

D　[若不等式x2－2x＋m＞0对一切实数x恒成立，则对于方程x2－2x＋m＝0，Δ＝4－4m＜0，解得m＞1，所以m＞1是不等式x2－2x＋m＞0对一切实数x恒成立的充要条件，结合选项知选D.]

5．若存在实数x，使得不等式x2－ax＋1＜0成立，则实数a的取值范围是

(　　)

A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．(－2,2] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D　[由题意知，当x∈R时，不等式x2－ax＋1＜0有解，则Δ＝a2－4＞0，解得a＞2或a＜－2.故选D.]

6．(多选)(2020·山东淄博期末)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(　　)

A．6 B．7 

C．8 D．9

ABC　[设y＝x2－6x＋a，则其图象为开口向上，对称轴是直线x＝3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则解得5＜a≤8，又a∈Z，所以a的值可以为6,7,8.故选ABC.]

二、填空题

7．不等式x2－2ax－3a2＜0(a＞0)的解集为________．

{x|－a＜x＜3a}　[x2－2ax－3a2＜0⇔(x－3a)(x＋a)＜0.

又a＞0，则－a＜3a，所以－a＜x＜3a.]

8．关于x的不等式x2＋ax＋a≤1对一切x∈(0,1)恒成立，则a的取值范围为________．

(－∞，0]　[原不等式可化为x2＋ax＋a－1≤0，设f(x)＝x2＋ax＋a－1，

由题意知即解得a≤0.]

9．不等式＜1的解集是________．

{x|x＞1或x＜－1}　[由＜1得＜0，

原不等式可化为(x－1)(x＋1)＞0，解得x＞1或x＜－1.]

三、解答题

10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.

(1)解关于a的不等式f(1)>0；

(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．

[解]　(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，即a2－6a－3<0，解得3－2<a<3＋2.

所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}．

(2)∵f(x)＞b的解集为(－1,3)，

∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，

∴解得

故a的值为3±，b的值为－3.

11．解不等式2x2－3(1＋a)x＋6a＞0(0＜a＜1)．

[解]　Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝9(a－3).

(1)当＜a＜1时，Δ＜0，原不等式的解集为R.

(2)当a＝时，原不等式为2x2－4x＋2＞0，即(x－1)2＞0，解得x≠1，原不等式的解集为{x|x≠1}．

(3)当0＜a＜时，Δ＞0，方程2x2－3(1＋a)x＋6a＝0的两个根为x1＝，x2＝，

因为x2＞x1，所以原不等式的解集为

综上所述：当0＜a＜时，原不等式的解集为

当a＝时，原不等式的解集为{x|x≠1}；

当＜a＜1时，原不等式的解集为R.

1．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对任意的x∈(1,4)都有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞) B．

C． D．

D　[∵对任意的x∈(1,4)，都有f(x)＝ax2－2x＋2>0恒成立，∴a>＝2，对任意的x∈(1,4)恒成立，∵<<1，

∴2∈，

∴实数a的取值范围是.]

2．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为________．

　[由题意可知，方程x2－2ax＋a＝－1有唯一解，

∴Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，即a＝.]

3．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．

[解]　原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.

(1)当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0.因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时，2＜，则原不等式的解集是；当a＝时，原不等式的解集是∅；

当a＞时，＜2，则原不等式的解集是.

(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，

即原不等式的解集是{x|x＞2}．

(3)当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)＞0，

由于＜2，故原不等式的解集是.

综上所述，当a＜0时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；

当0＜a＜时，不等式的解集为；

当a＝时，不等式的解集为∅；

当a＞时，不等式的解集为.