2021年人教A版必修2数学第3章_直线与方程单元测试卷含答案

这是一份2021年人教A版必修2数学第3章_直线与方程单元测试卷含答案，共14页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ， ）

1. 若点 Pm,n在直线x+y−2=0上，则m2+n2的最小值是( )
A.22B.2C.2D.16

2. 已知直线l经过点A(1, 3)，B(−2, −5)，则直线l的斜率为( )
A.−2B.−83C.2D.83

3. 在平面直角坐标系xOy中，M,N分别是x轴正半轴和y=x(x>0)图像上的两个动点，且|MN|=2，则|OM|2+|ON|2的最大值是( )
A.4−22B.43C.4D.4+22

4. 若直线x+(1+m)y−2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为( )
A.1B.−2C.1或−2D.−23

5. “a=−1”是“直线ax+(2a−1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的（ ）
A.充分不必要的条件B.必要不充分的条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6. 已知两条直线l1:kx+(1−k)y−3=0和l2：(k−1)x+2y−2=0互相垂直，则k=( )
A.1或−2B.−1或2C.1或2D.−1或−2

7. 经过点(1,0)且与直线x−2y−2=0平行的直线方程为( )
A.x−2y−1=0B.x−2y+1=0C.2x+y−2=0D.2x−y−2=0

8. 已知A(1,4),B(−3,2)，直线l：ax+y+2=0，若直线l过线段AB的中点，则a=( )
A.−5B.5C.−4D.4

9. 直线x−2y=0与直线2x−4y+a=0的距离为5，则a的值为（ ）
A.±5B.±10C.10D.25

10. 已知直线l在x轴上的截距是−5，在y轴上的截距是6，则直线l的方程是( )
A.6x−5y+30=0B.6x+5y−30=0C.6x−5y−30=0D.6x+5y+30=0

11. 已知P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组a1x+b1y=1，a2x+b2y=1 的解的情况是( )
A.无论k，P1，P2如何，总是无解
B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C.存在k，P1，P2，使之恰有两解
D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 6 分 ，共计24分 ， ）

12. 求直线x+y−3=0关于A(6, 8)对称直线方程________．

13. 若点1,t在过点0,1和3,4的直线上，则实数t的值为________.

14. 经过点R(−2, 3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________．

15. 已知实数x、y满足关系式5x+12y−60＝0，则的最小值为________
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ， ）

16. 写出满足下列条件的直线的方程：
（1）过点(3, 2)，斜率为23；

（2）过点(−1, 2)，斜率为3；

（3）过点(0, 2)，斜率为−1；

（4）过点(−3, 1)，平行于x轴；

（5）过点(2, −1)，(−2, 3)；

（6）过点(−3, 1)，(1, 4)．

17. 已知△ABC的顶点A2,3,B−1,0,C2,0，求△ABC的周长．

18. 经过点P1,−1作直线l，若直线l与线段AB总有公共点，且A2,−2，B4,2.
(1)求当斜率为12，−12时直线l的方程；

(2)求直线l的斜率k的范围.

19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点D1,2为正方形OABC的中心．

(1)求直线OD的方程；

(2)若M，N分别是OA，OC的中点，求直线MN的方程．

20. 已知直线l1:3x+4y−7＝0与l2:3x+4y+8＝0．
（1）若A(x1, y1)、B(x2, y2)两点分别在直线l1、l2上运动，求AB的中点D到原点的最短距离；

（2）若M(2, 3)，直线l过点M，且被直线l1、l2截得的线段长为3，求直线l的方程．

21. 已知△ABC的顶点A的坐标为2,−4，C的坐标为8,−1，∠B的平分线所在的直线方程为x+y−2=0.
(1)求BC所在的直线方程；

(2)求点B的坐标．
参考答案与试题解析
2021年人教A版必修2数学第3章 直线与方程单元测试卷含答案
一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）
1.
【答案】
B
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
m2+n2表示原点到点P距离的平方．利用点到直线的距离公式求解即可.
【解答】
解：∵ 点Pm,n在直线x+y−2=0上，
∴ m2+n2表示原点到点P距离的平方．
又原点到直线x+y−2=0的距离为22，
∴ m2+n2的最小值为222=2.
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
直线的斜率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 直线l过点A(1, 3)，B(−2, −5)，
∴ 斜率=3+51+2=83.
故选D.
3.
【答案】
D
【考点】
两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可设，M(a,a),N(b,0),a>0,b>0，
则(a−b)2+a2=2，
所以2a2+b2=2+2ab≥22ab，
即222−2=1+2≥ab，
因为|OM|2+|ON|2
=b2+2a2≥22ab=22+4，
当且仅当b=2a时，上式取等号，
故|OM|2+|ON|2的最大值是4+22.
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
由直线平行可得1×2−(1+m)m=0，解方程排除重合可得．
【解答】
解：∵ 直线x+(1+m)y−2=0和直线mx+2y+4=0平行，
∴ 1×2−(1+m)m=0，解得m=1或−2，
当m=−2时，两直线重合．
∴ m=1
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
当a=−1时直线ax+(2a−1)y+1=0的斜率和直线3x+ay+3=0的斜率都存在，只要看是否满足k1⋅k2=−1即可．
【解答】
当a=−1时直线ax+(2a−1)y+1=0的斜率是−13，直线3x+ay+3=0的斜率是3，
∴ 满足k1⋅k2=−1
a=0时，直线ax+(2a−1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直，
∴ a=−1是直线ax+(2a−1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直的充分条件．
6.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
根据直线的一般式方程垂直的条件，直接代入即可求解K的值
【解答】
解：∵ 直线l1:kx+(1−k)y−3=0和l2：(k−1)x+2y−2=0互相垂直
∴ k(k−1)+2(1−k)=0
∴ k2−3k+2=0
∴ k=2或k=1
故选：C．
7.
【答案】
A
【考点】
直线的点斜式方程
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：所求直线与直线x−2y−2=0平行，
故所求直线的斜率k=12．
又直线过点(1,0)，
利用点斜式得所求直线的方程为y−0=12(x−1)，
即x−2y−1=0．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
待定系数法求直线方程
中点坐标公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为A(1,4),B(−3,2)，所以线段AB的中点为(−1,3)，
因为直线l过线段AB的中点，所以−a+3+2=0，
解得a=5，
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
利用两条平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】
解：直线x−2y=0化为2x−4y=0，
∵ 直线x−2y=0与直线2x−4y+a=0的距离为5，
∴ |a|22+(−4)2=5，
化为|a|=10，
解得a=±10．
故选：B．
10.
【答案】
A
【考点】
各直线方程式之间的转化
直线的一般式方程
直线的截距式方程
【解析】
利用截距式的直线方程，再化为一般式.
【解答】
解：已知直线l在x轴上截距−5，在y轴上的截距6，
由截距式得：x−5+y6=1，
化为一般式，得6x−5y+30=0.
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
方程组解的个数与两直线的位置关系
斜率的计算公式
【解析】
判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．
【解答】
解：P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，
∴ k=b2−b1a2−a1，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，
∴ a2b1−a1b2=ka1a2−ka1a2+a2−a1=a2−a1，
a1x+b1y=1①a2x+b2y=1②
①×b2−②×b1得：(a1b2−a2b1)x=b2−b1，
即(a1−a2)x=b2−b1．
∴ 方程组有唯一解．
故选B.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 6 分 ，共计24分 ）
12.
【答案】
x+y−25=0
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
设直线x+y−3=0关于A(6, 8)对称直线上任意一点P(x, y)，则P(x, y)关于A(6, 8)的对称点(12−x, 16−y)在直线x′+y′−3=0上，代入即可得出．
【解答】
解：设直线x+y−3=0关于A(6, 8)对称直线上任意一点P(x, y)，
则P(x, y)关于A(6, 8)的对称点(12−x, 16−y)在直线x′+y′−3=0上，
∴ 12−x+16−y−3=0，
化为x+y−25=0．
故要求的直线方程为：x+y−25=0．
故单为：x+y−25=0．
13.
【答案】
2
【考点】
直线的点斜式方程
三点共线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：过点(0,1)和(3,4)的直线方程为y=x+1，
当x=1时，y=2，∴ t=2.
故答案为：2.
14.
【答案】
y=−32x或x+y−1=0
【考点】
直线的截距式方程
【解析】
分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可．
【解答】
解：①当直线经过原点时，直线方程为y=−32x；
②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a，则a=−2+3=1，因此所求的直线方程为x+y=1．
故答案为：y=−32x或x+y−1=0．
15.
【答案】
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）
16.
【答案】
过点(3, 2)，斜率为23，则直线的方程为y−2=23(x−3)，变形可得2x−3y＝0；
过点(−1, 2)，斜率为3；则直线的方程为y−2=3(x+1)，变形可得3x−y+2+3=0；
过点(0, 2)，斜率为−1；则直线的方程为y−2＝−x(x−0)，变形可得x+y−2＝0；
过点(−3, 1)，平行于x轴；则直线的方程为y＝1，
过点(2, −1)，(−2, 3)；直线的斜率k=3−(−1)(−2)−2=−1，则直线的方程为y−3＝−(x+2)，变形可得x+y−1＝0；
过点(−3, 1)，(1, 4)；直线的斜率k=4−11−(−3)=34，则直线的方程为y−1=34(x+3)，变形可得3x−4y+13＝0．
【考点】
直线的斜率
【解析】
对于（1）（2）（3），由直线的点斜式方程求出直线的方程，变形为一般式方程即可；
对于（4）（5）（6），先分析直线的斜率，由直线的点斜式方程求出直线的方程，变形为一般式方程即可．
【解答】
过点(3, 2)，斜率为23，则直线的方程为y−2=23(x−3)，变形可得2x−3y＝0；
过点(−1, 2)，斜率为3；则直线的方程为y−2=3(x+1)，变形可得3x−y+2+3=0；
过点(0, 2)，斜率为−1；则直线的方程为y−2＝−x(x−0)，变形可得x+y−2＝0；
过点(−3, 1)，平行于x轴；则直线的方程为y＝1，
过点(2, −1)，(−2, 3)；直线的斜率k=3−(−1)(−2)−2=−1，则直线的方程为y−3＝−(x+2)，变形可得x+y−1＝0；
过点(−3, 1)，(1, 4)；直线的斜率k=4−11−(−3)=34，则直线的方程为y−1=34(x+3)，变形可得3x−4y+13＝0．
17.
【答案】
解：|AB|=2+12+32=32，
|BC|=2+12+0=3,
|AC|=2−22+32=3，
则△ABC的周长为6+32.
【考点】
两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：|AB|=2+12+32=32，
|BC|=2+12+0=3,
|AC|=2−22+32=3，
则△ABC的周长为6+32.
18.
【答案】
解：(1)由题知，当斜率为12时，直线l的方程为y−−1=12x−1，即x−2y−3=0；
当斜率为−12时，直线l的方程为y−−1=−12x−1，即x+2y+1=0.
(2)kPA=−2−−12−1=−1，kPB=2−−14−1=1.
因为l与线段AB相交，
所以kPA≤k≤kPB，
所以−1≤k≤1．
【考点】
直线的点斜式方程
斜率的计算公式
【解析】


【解答】
解：(1)由题知，当斜率为12时，直线l的方程为y−−1=12x−1，即x−2y−3=0；
当斜率为−12时，直线l的方程为y−−1=−12x−1，即x+2y+1=0.
(2)kPA=−2−12−1=−1，kPB=2−−14−1=1，
因为l与线段AB相交，
所以kPA≤k≤kPB．
所以−1≤k≤1．
19.
【答案】
解：(1)设直线OD的方程为y=kx，
将D1,2代入，
得k=2，
所以直线OD的方程为y=2x．
(2)因为kOD=2，AC⊥OD，
所以kAC=−12，
因为M，N分别是OA，OC的中点，
所以MN//AC，
所以kMN=−12，
又OD的中点坐标为12,1，
所以直线MN的方程为y−1=−12x−12，
即y=−12x+54．
【考点】
待定系数法求直线方程
直线的点斜式方程
【解析】
（1）设直线OD的方程为y=kx，
将D1,2代入解得k=2，所以直线OD的方程为y=2x．
【解答】
解：(1)设直线OD的方程为y=kx，
将D1,2代入，
得k=2，
所以直线OD的方程为y=2x．
(2)因为kOD=2，AC⊥OD，
所以kAC=−12，
因为M，N分别是OA，OC的中点，
所以MN//AC，
所以kMN=−12，
又OD的中点坐标为12,1，
所以直线MN的方程为y−1=−12x−12，
即y=−12x+54．
20.
【答案】
设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，
则＝，
化为：6x+8y−1＝0，
可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离＝＝；
设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，
分别联立：，，
解得：，，
由题意可得：＝3，
化为：11k2+24k+4＝0，
解得k＝−2，或-．
∴ 直线l的方程为：y＝−2x+7，或y＝-x+．
【考点】
直线的一般式方程与直线的性质
【解析】
（1）设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，可得：＝，化简即可得出方程．可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离．
（2）设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，分别联立：，，解得交点，利用两点之间的距离公式进而得出结论．
【解答】
设与直线l1及l2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x, y)，
则＝，
化为：6x+8y−1＝0，
可得：AB的中点D到原点的最短距离为原点O到上述直线的距离＝＝；
设要求的直线方程为：y−3＝k(x−2)，
分别联立：，，
解得：，，
由题意可得：＝3，
化为：11k2+24k+4＝0，
解得k＝−2，或-．
∴ 直线l的方程为：y＝−2x+7，或y＝-x+．
21.
【答案】
解：(1)因为点A关于∠B的平分线所在直线的对称点在直线BC上，
设点A关于∠B的平分线所在直线的对称点为A′m,n，
则 n+4m−2⋅−1=−1，m+22+n−42−2=0，
解得m=6，n=0，
故A′6,0.
由两点式y−0−1−0=x−68−6，
整理得x+2y−6=0，
即BC:x+2y−6=0.
(2)B点在∠B的平分线所在直线上，也在边BC所在直线上，
解x+2y−6=0，x+y−2=0，得x=−2，y=4，
故B−2,4.
【考点】
两条直线的交点坐标
直线的一般式方程与直线的性质
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】


【解答】
解：(1)因为点A关于∠B的平分线所在直线的对称点在直线BC上，
设点A关于∠B的平分线所在直线的对称点为A′m,n，
则 n+4m−2⋅−1=−1，m+22+n−42−2=0，
解得m=6，n=0，
故A′6,0.
由两点式y−0−1−0=x−68−6，
整理得x+2y−6=0，
即BC:x+2y−6=0.
(2)B点在∠B的平分线所在直线上，也在边BC所在直线上，
解x+2y−6=0，x+y−2=0，得x=−2，y=4，
故B−2,4.