数学必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体本节综合与测试第1课时达标测试

11.1.7综合复习习题课（第1课时）

【基础练习】

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

【答案】B

【解析】

对于A，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故A错误；

对于B，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示：

故B正确；

对于C，有两个平面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱不相交于一点，则不是棱台，故C错误；

对于D，由于棱台是用平行于底面的平面截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故D错误．

故选：B.

2．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是 (　  　)

A．四边形    B．三角形    C．五边形    D．六边形

【答案】D

【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.

3．一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（    ）

A． B． C．20cm D．10cm

【答案】A

【解析】

如图所示，在中，，，

所以（cm）.

所以圆锥的高为.

故选：A.

4．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设底面半径为r，则，所以.

所以圆锥的高.

所以体积.

故选：C.

5．已知长方体各个顶点都在球面上，，，过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

解：过棱作该球的截面，则当截面面积最小时，截面的直径为，

长方体各个顶点都在球面上，，，

球的半径为，

球心到截面的距离为．

故选：C.

二、填空题

6．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为，则原梯形的面积为__________.

【答案】4.

【解析】

由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图长度的2倍，在直观图中，易得的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的倍，故其面积是梯形面积的倍，因为梯形的面积为，所以原梯形的面积是4.

故答案为：4

7．如图，在体积为V的圆柱中，以线段上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为，，则的值是______.

【答案】

【解析】

由题得，，得.

故答案为：

8．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．

【答案】

【解析】

设圆柱的轴截面的边长为x，

则由，得，

∴．

故答案为：

三、解答题

9．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，求此几何体的体积．

【答案】96

【解析】

如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC­NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.

四棱锥D­MNEF的体积为V2＝S梯形MNEF·DN＝××(1＋2)×6×8＝24，

则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.

10．某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为.

（1）求关于的函数关系式；

（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.

【答案】（1），（2）侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为

【解析】

（1）设交于点，过作，垂足为，

在中，，，

在中，，

所以S，

（2）要使侧面积最大，由（1）得：

令，所以得，

由得：

当时，，当时，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以在时取得极大值，也是最大值；

所以当时，侧面积取得最大值，     

此时等腰三角形的腰长

答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．

【提升练习】

一、单选题

1．设所有棱长都为2的正三棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

解：如图，M，N分别是上下底面正三角形的中心，

O为MN的中点，

易知O为外接球的球心，

ANADAB2；

在直角三角形ONA中，可得半径OA，

∴S球＝4π，

故选：B．

2．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两动点，且，则三棱锥的体积为（   ）

A． B．

C．8 D．16

【答案】A

【解析】

如图，连结，，将平面QEF延展到平面，

由题意得出⊥平面，
过点作，
由题意得⊥平面，∴是点到平面的距离，
由题意得为靠近点的的四等分点，
，
∵四边形为矩形，

∴△的面积为 ，
∴三棱锥-的体积为：．
故选：A．

3．已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

点是的外心，过点作平面使，

是外接球球心，半径设为，则.

在直角梯形中，，，，得，

过点作球的截面，当截面时，截面面积最小，

此时截面圆的半径为，

截面面积的最小值是.

故选：B.

4．已知平面四边形，按照斜二测画法（）画出它的直观图是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形的面积是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

依题意，直观图的面积，设原图面积为，则，所以，所以，

故选：B.

5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

四棱锥的体积是三棱柱体积的，，当且仅当时，取等号．

∴．

故选C．

二、填空题

6．胶囊酒店是一种极高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤维制成的细小空间，仅够睡眠使用.空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手间及淋浴设施需要共享，其特点是使捷、价格便宜，多适用于旅客.如图为一胶囊模型，它由一个边长为2的等边圆柱（其轴截面为正方形）和一个半球组成，则它的内接正四棱锥的表面积为________.

【答案】

【解析】

解：由题意可知几何体的直观图如图：

正四棱锥的底面边长为：，棱锥的高为：3．斜高为：，

底面面积为：，侧面积为：．

所以正四棱锥的表面积为：．

故答案为：．

7．如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱靠近的三等分点，且三棱锥的体积为2，则四棱柱的体积为______．

【答案】12

【解析】

由题意，设底面平行四边形的，且边上的高为，直四棱柱的高为，

则直四棱柱的体积为，

又由三棱锥的体积为，

解得，即直四棱柱的体积为。

8．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分別为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______.

【答案】4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.

【解析】

由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高，应分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合直观图，与x,z轴平行的直线长度不变，与y轴平行的直线长度为原图的，则图形的尺寸应为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.

三、解答题

9．如图分别为直观图与水平放置的平面图形,梯形是平面图形ABCD的直观图.若,,,.如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积?

【答案】见解析,

【解析】

由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上､下底边长度分别为,,直角腰的长度,所以面积为.

直观图中梯形的高为,因此其面积为.

10．如图所示，在边长为的正三角形中，、依次是、的中点，，，，、、为垂足，若将绕旋转，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.

【答案】表面积为，体积为.

【解析】

由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，

且圆锥的底面半径为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为，

所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面．

圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为，

圆柱的侧面积为，

故所求几何体的表面积为.

阴影部分形成的几何体的体积为.