人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式习题

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与不等式有关的恒成立问题 1．设a＞0，b＞0，且不等式恒成立，则实数k的最小值为_________．            2.设a＞b＞c，且恒成立，求m的取值范围．           3．若两个正实数x，y满足，并且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是_________．          4．若对任意， 恒成立，则a的取值范围是         ．          5.．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是              ．             6．设，若恒成立，则实数的最大值为         .
  参考答案:1.答案  -4解析  由a＞0，b＞0，，得．又因为（当且仅当a＝b时取等号），所以．因此要使恒成立，应有k≥-4，即实数k的最小值为-4．2. 解析  由a＞b＞c，知a-b＞0，a-c＞0，b-c＞0．    ∴原不等式等价于．    要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可．        ．    当且仅当，即2b＝a+c时，等号成立．    ∴m≤4，即m∈（-∞，4]．3.答案  （-4，2）    解析  ∵，∴，当且仅当，即x＝2y＝4时等号成立．由x+2y＞m2+2m恒成立可知m2+2m＜8恒成立，即m2+2m-8＜0，解得-4＜m＜2．4.【答案】【解析】试题分析：因为，对任意， 恒成立，所以的最大值。而，所以，，故a的取值范围是。考点：本题主要考查均值定理的应用。点评：中档题，涉及表达式恒成立问题，往往转化成求函数的最值。本题利用均值定理求得了函数的最大值。5.【答案】（-4，2）【解析】试题分析：∵，∴x+2y=（x+2y）（）=4+，又x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得-4＜m＜2考点：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．点评：此类问题常常利用恒成立问题转化为最值问题，主要考查了学生分析问题和解决问题的能力． 6.【答案】12【解析】试题分析：当且仅当时等号成立，最小值为12，要满足最大为12考点：均值不等式求最值点评：将不等式恒成立转化为求函数最值，可利用均值不等式求最值，还可构造新函数通过导数求最值