高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.2 平面的基本事实与推论课后测评

11.2 平面的基本事实与推论

【基础练习】

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形

C．梯形一定是平面图形 D．共点的三条直线确定一个平面

【答案】C

【解析】

对于A，由公理3知，不共线的三点确定一个平面，故A不正确；

对于B，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B不正确；

对于C，再同一个平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故C正确；

对于D，当三条直线交于一点时，三条直线有可能不共面，故D不正确.

故选C.

2．下列四个命题中错误的是（　　）

A．若直线互相平行，则直线确定一个平面

B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线

C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面

【答案】C

【解析】

公理“两条平行直线确定一个平面”，则正确；

若四点中有三点共线，由公理的推论“一条直线和这条直线外的一点确定一个平面”知这四点一定共面，故正确；

若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故错；

若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故正确.

所以选择答案

3．如图所示，用符号语言可表达为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

结合图形可以得出平面相交于一条直线，直线在平面内，直线相交于点A，

结合选项可得C正确；

故选：C.

4．如图所示，平面平面，点，点，直线.设过三点的平面为，则（    ）

A．直线 B．直线

C．直线 D．以上均不正确

【答案】C

【解析】

，平面平面，，.又三点确定的平面为，.又是平面和的公共点，.

故选：C

5．已知分别为空间四边形的棱，，，的中点，若对角线，，则的值是（    ）

A．5 B．10 C．12 D．不能确定

【答案】B

【解析】

根据题意，作图如下：

如图所示，由三角形中位线的性质，

可得//BD//GF，HG//AC//EF，

可得四边形为平行四边形，

故：.

故选：B.

二、填空题

6．已知表示不同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理错误的是______(填序号).

①,,,;

②,,,;

③,.

【答案】③

【解析】

解: ①为判断直线在平面内的依据,故正确;

②为判断两个平面相交的依据,故正确;

③中,,则,即为经过点A的一条直线而不是点A,故错误.

故答案为：③

7．给出下列说法：

①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；

⑤点在平面外，点和平面内的任意一条直线都不共面.

其中所有正确说法的序号是______.

【答案】③④

【解析】

①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定一个平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点和平面内的任意一条直线都能确定一个平面.

故答案为：③④

8．如图,已知是的边上的点,平面经过两点,若直线与平面的交点是P,则点P与直线的位置关系是_____.

【答案】直线

【解析】

解:因为,平面,所以平面.

又,平面平面,所以直线.

故答案为：直线.

三、解答题

9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上.

【答案】见解析

【解析】

证明　因为O1∈平面AB1D1，

O1∈平面AA1C1C，

A∈平面AB1D1，A∈平面AA1C1C，

所以平面AB1D1∩平面AA1C1C＝AO1.

又因为A1C∩平面AB1D1＝P，

所以P∈直线A1C，P∈平面AB1D1，

所以P∈平面AA1C1C，

所以P∈直线AO1，

即O1，P，A三点在同一条直线上．

10．如图，已知直线，，，.求证：共面.

【答案】证明见解析

【解析】

，确定一个平面. ，

.

又，，

，确定一个平面.

同理可证.

于是，即.

又与不重合，∴与重合，共面.

【提升练习】

一、单选题

1．设l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，Q表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ）

①，  ②，  ③，，，

④且，，，

A．①② B．②③ C．②③ D．③④

【答案】D

【解析】

对于①，点和直线都在平面内，但是不一定在直线上，故①错误.

对于②，根据条件可知直线有一个点在内，根据公理1，无法判断直线是否含于平面，故②错误.

对于③，由于，所以与共面，直线与确定一个平面，且，，所以，故③正确.

对于④，且，而，，，过一点只能作平面的一条垂线，且，所以，故④成立

故选：D

2．在空间四边形各边、、、上分别取点、、、，若直线、相交于点，则（    ）

A．点必在直线上 B．点必在直线上

C．点必在平面内 D．点必在平面内

【答案】A

【解析】

解：

∵在面上，而在面上，
且、能相交于点，
∴在面与面的交线上，
∵是面与面的交线，
所以点必在直线上．
故选：A．

3．正方体的棱长为4，点为的中点，点为线段上靠近的三等分点，平面交于点，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据题意，画出图像如图所示，

过点作，且交于点，

因为，所以点，，，共面，四边形是平行四边形，

所以此点的位置即平面与的交点，

过点作且交于点，

因为，，，

所以和全等，

所以,

点为线段上靠近的三等分点，

所以点为线段上靠近的三等分点，

又点为的中点，

所以，又正方体的棱长为，

所以，即，

故选：D

4．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

【答案】A

【解析】

由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面，所以“这四个点中有三点在同一直线上”，则“这四个点在同一平面上”，反之不一定成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件，故选A．

5．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是(    )

A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面

C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面

【答案】A

【解析】

连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，

∴A1，C1，A，C四点共面，

∴A1C⊂平面ACC1A1，

∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，

∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，

同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．

∴A，M，O三点共线．

故选：A．

二、填空题

6．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别为棱，，CD的中点，则平面MNP与正方形相交形成的线段的长度为________.

【答案】

【解析】

如图，取得中点，的中点，易知，，

所以点面，点面，

故平面与正方形的交线是，而.

故答案为：.

7．如图，为不共面的四点，分别在线段上. （1）如果，那么点在直线_______上；（2）如果，那么点在直线_______上.

【答案】       

【解析】

解：（1）连接，若，则平面，且平面.∵平面平面，∴.

（2）连接.若，则平面，且平面.∵平面平面，.

8．如图所示，是所在平面外一点，，分别是和的重心．若，则______．

【答案】2

【解析】

延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．

∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，

∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且=，

可得MN∥EF且MN=EF，

∵EF为△BCD的中位线，可得EF=BD，

∴MN=BD=．

故答案为2

三、解答题

9．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且，.

（1）证明：E，F，G，H四点共面.

（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？

【答案】（1）见解析（2）当时，四边形EFGH是平行四边形.

【解析】

（1）证明：连接BD

因为,所以

又,所以

所以

所以E,F,G,H四点共面

（2）当时,四边形EFGH为平行四边形

由（1）可知

因为

所以

同理可得

由

可得

得

故当时,四边形EFGH是平行四边形

10．如图，正方体中，棱长，过点的平面与正方体的面相交，交线围成一个正三角形．

（1）在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；

（2）平面将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积．

【答案】（1）正三角形见解析；（2）体积为，表面积为．

【解析】

（1）连接，则为所求三角形（做法不唯一），如图所示；

（2）平面将正方体截成三棱锥和多面体两部分，

，

，

因此体积较大的几何体是多面体，其体积为，

由，得，

又，，

故多面体的表面积为．