高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直图文ppt课件

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问题1：直线与直线所成角
思考：两条相交直线所成角怎么定义?
知识点1：相交直线所成角
两条相交直线所成的角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.
知识点2:异面直线所成的角[来源:Zxxk]
(4)空间两条直线所成角θ的取值范围：0°≤θ≤90°.
【对点快练】1．思考辨析(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线．(　　)(2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．(　　)(3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________.
答案：65°　∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.
问题2:直线与平面垂直
知识点：直线与平面垂直的定义
(1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)符号表示：l⊥a⇔∀m⊂α，l⊥m.
【对点快练】思考1.如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的?
提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内.
2.做一做(1)判断正误.①若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( )②垂直于同一条直线的两条直线平行. ( )③垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( )④垂直于同一个平面的两条直线平行. ( )⑤垂直于同一条直线的直线和平面平行. ( )
答案:①√　②√　③×　④×　⑤√　⑥×
(2)直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能 ( )A.平行B.相交C.异面D.垂直
解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,又∵m⊂α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.答案:A
日常生活中，很多线面的形象可以抽象成直线与平面垂直，如图所示。
由于平面内过指定点的直线有无数条，因此利用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直是不便于操作的，所以我们有必要寻求其他方法来判定直线与平面垂直。
问题3：直线与平面垂直的判定定理
知识点：直线与平面垂直的判定定理
(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
(3)符号语言：如果m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n，则l⊥α.
(4)作用：证明直线与平面垂直.
【对点快练】1.垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何?
答案:垂直于同一条直线的两个平面平行.已知:AA'⊥α,AA'⊥β,求证:α∥β.证明:如图所示,设经过直线AA'的两个平面γ,δ分别与平面α,β相交于直线b,b'和a,a'.因为AA'⊥α,AA'⊥β,所以AA'⊥a,AA'⊥a'.因为AA',a,a'都在平面δ内.所以a∥a',所以a'∥α(线面平行的判定定理).同理b'∥α.又因为a'∩b'=A',所以α∥β.
2.做一做(1)一条直线分别垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.其中不能保证该直线与平面垂直的是 ( )A.①③B.②C.②④D.①②④
解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而②④中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C.答案:C
(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.
证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AA1⊥平面ABCD.又∵EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.
例2.地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由
分析：根据线面垂直的判定定理，只需检测直杆是否与地面上的两条相交直线垂直即可，又因为利用米尺可以量长度，所以可以借助勾股定理来检测。