数学必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法课时训练

10.4复数综合习题课

【基础练习】

一.选择题

1．复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为(　　)

A．0或－1  B．0

C．1  D．－1

【答案】D

【解析】∵z为纯虚数，∴∴m＝－1，故选D.

两个虚数不能比较大小，故②错误，④正确．

2．在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

【答案】　B

【解析】　＝＝＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．

3．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模||等于(　　)

A.  B．2

C．4  D．

【答案】　D

【解析】由于OABC是平行四边形，故＝，

因此||＝||＝|3－2i|＝，故选D.

4. 设z1＝，z2＝(1＋i)(1－i)，z＝z1＋z2，则＝(　　)

A．3－i  B．＋i

C.－i  D．＋i

【答案】　D

【解析】　z1＝＝＝－i，z1＝(1＋i)(1－i)＝2

z＝z1＋z2＝－I  ∴z＝＋i.

5．已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是(　　)

A． B．

C．－i D．＋i

【答案】D　

【解析】z1z2＝×＝＝＝＋i.

二.填空题

6．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.

【答案】　－1

【解析】z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，

7．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，则∠AOB＝_________.

【答案】

【解析】∵α≠0，β＝(1＋i)α

∴＝1＋i＝，[来源:学科网ZXXK]∴∠AOB＝.

8.设z＝1＋i(i上虚数单位)，则＋z2等于_________

【答案】　1＋i.

【答案】　＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.

三.解答题

9．已知平行四边形ABCD中，A与A对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．

(1)求A对应的复数；

(2)求D对应的复数；

(3)求△APB的面积．

【答案】(1)－2＋2i　(2)5　(3)

【解析】(1)由于ABCD是平行四边形，所以A＝A＋A，于是A＝A－A，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，

即A对应的复数是－2＋2i.

(2)由于D＝A－A，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，

即D对应的复数是5.

(3)由于P＝C＝－A＝，

P＝D＝，

于是P·P＝－，

而＝，＝，

所以··cos∠APB＝－，

因此cos∠APB＝－，故sin∠APB＝，

故S△APB＝sin∠APB

＝×××＝.

即△APB的面积为.

10. 写出下列复数z的倒数的模与辐角．

(1)z＝10；　(2)z＝2.

解：(1)＝ 

＝

＝.

所以的模为，辐角为－＋2kπ，k∈Z.

(2)z＝2＝－i＝2

＝2.

＝

＝.

所以的模为，辐角为＋2kπ，k∈Z.

【提升练习】

1．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(0∈R)，z1＝z2，则θ等于(　　)

A．kπ(k∈Z)  B．2kπ＋(k∈Z)

C．2kπ±(k∈Z)  D．2kπ＋(k∈Z)

【答案】D

【解析】　由复数相等的定义可知，

∴cosθ＝，sinθ＝.

∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.

2．设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则arg z1＋arg z2＋arg z3＝(　　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【答案】C

【解析】∵z1·z2·z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)

＝(3－i)(－1＋3i)＝10i，

∴arg z1＋arg z2＋arg z3＝＋2kπ，k∈Z.

∵arg  z1∈，arg z2∈，

arg z3∈，

∴arg z1＋arg z2＋arg z3∈.

∴arg z1＋arg z2＋arg z3＝.

3.复数

A.     B.      C.     D.

【答案】B

【解析】

故

=

故

于是

4.复数z1、z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)

A．[－1,1]  B．[－，1]

C．[－，7]   D． [，1]

【答案】　C

【解析】　∵z1＝z2，∴

∴λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－，

∵sinθ∈[－1,1]，∴λ∈[－，7]．

5.已知k∈R，且关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则实数k的值为________．

【答案】　±

【解析】　设方程的实数根为x0，则x＋(k＋2i)x0＋2＋ki＝0，

∴

将(2)代入(1)消去k得：－x＋2＝0，∴x0＝±，

当x0＝时，k＝－2，当x0＝－时，k＝2，

综上知，k＝±2.

6.已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝_______．

【答案】　1＋i

【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，

∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，

由复数相等的条件得，

∴

∴z＝1＋i

7.设z＝＋i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝_______.

【答案】　6(－i)

【解析】　z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)

8.若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，对应点在直线y＝x上，则z＝________.

【答案】－3＋4i

【解析】　设＝3t＋4ti(t∈R)，

则z＝3t－4ti，

∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，

∴t2＝1，

∵z的对应点在第二象限，∴t<0，

∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.

9.已知：复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，其中x∈R.求证：复数z不可能是纯虚数．

【证明】　假设复数z是纯虚数，

则有 

由①得x2－3x－3＝1，解得x＝－1或x＝4.

当x＝－1时，log2(x－3)无意义；

当x＝4时，log2(x－3)＝0，这与log2(x－3)≠0矛盾，故假设不成立，所以复数z不可能是纯虚数．

10. 已知z是虚数，且z＋是实数，求证：是纯虚数．

【解析】　设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.

由已知得z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝(x＋)＋(y－)i.

∵z＋是实数，∴y－＝0，即x2＋y2＝1，且x≠±1，

∴＝

＝＝

＝－i.

∵y≠0，x≠－1，

∴是纯虚数．