高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.2 平面与平面垂直第2课时课时练习

11.4.2 平面与平面垂直（2）

【基础练习】

一、单选题

1．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（   ）

如图，在三棱锥中，平面平面，

求证：

证明：因为平面平面

平面平面

，平面

所以______．

因为平面．

所以

A．底面 B．底面 C．底面 D．底面

【答案】C

【解析】

根据面面垂直的性质定理判定得：

BC⊥底面PAC，

故选C．

2．已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是

A．或 B．

C． D．

【答案】A

【解析】

对于A，直线平面，，则或，A正确；

对于B，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴B错误；

对于C，直线平面，直线平面，且，则或与相交或或，∴C错误；

对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴D错误．

故选A．

3．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉ l，则下列命题中是假命题的为

A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

【答案】B

【解析】

过点P且垂直于α的直线一定平行于在β内与交线垂直的直线，故A正确；

过点P且垂直于l的直线有可能垂直于α，如图所示．B不正确；

由题意和面面垂直的判定定理知，选项C正确；

由题意和面面垂直的性质定理知，选项D正确；

故选B．

4．如图，则（    ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

【答案】B

【解析】

由三余弦定理得

选B.

5．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)

A．PD平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

【答案】B

【解析】

∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.

又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，

∴PD⊥平面ABC.故选B

二、填空题

6．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.

【答案】6

【解析】

解：，O为的中点，

.

又平面平面，且交线为，

平面.

平面，，

为直角三角形.

∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个.

故答案为：6.

7．如图，在三棱锥内，侧面底面，且，则 ________．

【答案】

【解析】

∵侧面底面，交线为，(即)，平面PAC，

∴平面，又平面，

∴，∴.

8．如图，平面平面，，，且，则三棱锥的体积______.

【答案】4

【解析】

.

.

三、解答题

9．已知是所在平面外的一点，且平面，平面平面.求证:.

【答案】证明见解析

【解析】

如图，在平面内作于点，

∵平面平面，平面平面，

平面，且，

平面，

又平面，

.

平面，平面，

，

，平面，

平面，

又平面，

.

10．如图，三棱锥中，已知是等腰直角三角形，，是直角三角形，，平面平面.求证：平面平面.

【答案】证明见解析

【解析】

证明  ∵平面平面，平面平面，

又是直角三角形，

所以，

平面.

又平面，.

，，平面，平面，

平面.又平面，

故平面平面.

【提升练习】

一、单选题

1．、、为不同的平面，、、为不同的直线，则的一个充分条件是（   ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】A

【解析】

选项A, 由,可得∥，又, 故,所以A正确.

选项B, ，,,则与可能平行、相交，与可能相交，也可能平行得不出，所以B不正确.

选项C, ，,与可能平行也可能相交，当时，则推不出，所以C不正确.

选项D，，，，由于的位置不定，所以无法判断与的关系，所以D不正确.

故选：A.

2．如图，在四面体ABCD中，已知那么D在面ABC内的射影H必在（     ）

A．直线AB上 B．直线BC上

C．直线AC上 D．内部

【答案】A

【解析】

由可得，即平面内的射影必在平面与平面的交线上，故选A

3．如图所示，三棱锥的底面在平面内，且，平面平面，点是定点，则动点的轨迹是（    ）

A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点

【答案】D

【解析】

因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC，

AC⊂平面PAC，所以AC⊥平面PBC.

又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.

所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.

选D.

4．如图，在四边形ABCD中，，，.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥，使平面平面BCD，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．三棱锥的体积为

【答案】B

【解析】

因为四边形中，，可得，

由，若，可得平面，

即有，这与矛盾，

所以A项不正确；

平面平面，，可得平面，

可得，即有，即，

所以B项正确；

由，平面平面，易得平面，

则，，可得为等腰直角三角形，

所以，所以C不正确；

，所以D项不正确；

故选：B.

5．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为　(　　)

A．2 B． C．4 D．4

【答案】B

【解析】

连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM=，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM=4×=2，所以PM的最小值为2. 选B.

二、填空题

6．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则_______.

【答案】

【解析】

如图，设两个矩形分别为矩形、矩形，

因为平面平面，平面平面，

平面，，故平面，而平面，

所以，同理.

由题意，两个矩形的对角线长分别为，

所以，

所以.故填.

7．如图，四面体中，，平面平面，，，则_______.

【答案】13

【解析】

取的中点，连接.

因为，，所以，所以.

因为，是的中点，所以.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为平面，所以.

在中，.

8．将正方形沿对角线折成直二面角，

①与平面所成角的大小为

②是等边三角形

③与所成的角为

④

⑤二面角为

则上面结论正确的为_______．

【答案】②③④

【解析】

作出如图的图象，E是BD的中点，易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角

对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；

对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；

对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；

对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；

对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角的平面角，又BH=DH=AC,BD=∠BHD=-故二面角不是

综上知②③④是正确的

故答案为②③④

三、解答题

9．如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，且平面平面，证明平面.

【答案】(1)见证明；(2)见证明

【解析】

（1）证明：因为点、分别是棱和的中点，所以，又在矩形中，，所以，

又面，面，所以平面

（2）证明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，

所以平面，

又面，所以①

因为且是的中点，所以，②

由①②及面，面，，所以平面 .

10．如图，在平行六面体中，底面为菱形，和相交于点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求证：.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

证明：（1）如图，连接.

因为，，

所以相互平分，

所以为和的中点.

又因为为的中点，

所以为的中位线，

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

因为四边形为菱形，

所以.

（2）因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为平面，

所以.

又因，

所以.

因为，

所以.